數(shù)學北師大版（2019）必修第二冊 2.61第3課時用余弦定理、正弦定理解三角形 課件

2.6.1第3課時用余弦定理、正弦定理解三角形課標闡釋

1.會用正弦定理、余弦定理解決與三角形有關(guān)的幾何計算問題.(數(shù)學運算、邏輯推理)2.會用正弦定理、余弦定理解決與距離、高度、角度有關(guān)的實際問題.(數(shù)學建模、數(shù)學運算)思維脈絡

激趣誘思知識點撥滑行的距離滑冰是一項集力量、耐力和速度于一身的運動項目.在第21屆溫哥華冬奧會上,有兩個滑冰者甲和乙位于冰面上A、B兩點,A與B相距100m.如果甲從A出發(fā),以8m/s速度沿著一條與AB成60°角的直線滑行,同時乙從B出發(fā),以7m/s的速度沿著與甲相遇的最短直線滑行.那么相遇時,甲滑行了多遠呢?激趣誘思知識點撥一、解三角形與三角形有關(guān)的幾何計算在三角形的三條邊和三個角這6個元素中,如果已知3個(至少含一邊長),那么由余弦定理和正弦定理,就可以求得其他3個元素.具體情形如下:情形1

已知兩個角的大小與一條邊的邊長.先由三角形內(nèi)角和等于180°求出第三個角的大小,然后依據(jù)正弦定理求得另外兩條邊的邊長.情形2

已知兩條邊的邊長及其夾角的大小.先由余弦定理求出第三條邊的邊長,然后再由余弦定理求得第二、第三個角的大小.激趣誘思知識點撥情形3

已知三條邊的邊長.由余弦定理求出兩個角,再利用三角形內(nèi)角和等于180°求出第三個角.情形4

已知兩條邊的邊長和其中一邊對角的大小.首先,由正弦定理求出第二條邊所對角的正弦,這時,要判斷是兩解、一解還是無解.然后,根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°得到第三個角的大小.最后,由余弦定理或正弦定理求得第三條邊的邊長.激趣誘思知識點撥名師點析1.應用正弦定理可以解決怎樣的解三角形問題?(1)已知三角形的任意兩個角與一邊,求其他兩邊和另一角.(2)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角,求另一邊的對角,進而計算出其他的邊和角.2.應用余弦定理可以解決哪些解三角形問題?(1)已知三角形的兩邊及其夾角,求其他的邊和角.(2)已知三角形的三邊,求三個角.激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥答案(1)C

(2)等腰直角三角形

激趣誘思知識點撥二、解三角形的實際應用1.實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥2.解三角形應用題的步驟解三角形應用題時,通常都要根據(jù)題意,從實際問題中抽象出一個或幾個三角形,然后通過解三角形,得到實際問題的解.求解的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.激趣誘思知識點撥(1)解題思路(2)基本步驟①分析:理解題意,弄清已知與未知,畫出示意圖(一個或幾個三角形);②建模:根據(jù)已知條件與求解目標,把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中,建立一個解三角形的數(shù)學模型;③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得數(shù)學模型的解;④檢驗:檢驗所求的解是否符合實際問題,從而得出實際問題的解.激趣誘思知識點撥微思考張曉同學從家中出發(fā),先向東走了1000m,然后拐彎向北走了200m,你能用什么方法確定其方位?答案方向角激趣誘思知識點撥微練習1從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系是(

)A.α>β

B.α=βC.α+β=90° D.α+β=180°解析如圖,在A處望B處的仰角α與從B處望A處的俯角β是內(nèi)錯角,根據(jù)水平線平行,得α=β.答案B激趣誘思知識點撥微練習2已知目標A的方位角為135°,請畫出其圖示.解如圖所示:激趣誘思知識點撥微練習3請分別畫出北偏東30°,南偏東45°的方向角.解如圖所示:探究一探究二當堂檢測解三角形與三角形有關(guān)的幾何計算角度1

三角形中線段長度的計算例1在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的長.探究一探究二當堂檢測解在△ABD中,設BD=x,由余弦定理,得BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA即142=x2+102-2·10x·cos

60°,整理得x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.由AD⊥CD,∠BDA=60°,知∠CDB=30°,探究一探究二當堂檢測反思感悟

解決此類問題要處理好兩個關(guān)鍵點(1)找出已知某邊長的三角形,從中篩選出可解三角形.(2)找要求線段所在的三角形,確定所需條件.解題時二者應結(jié)合,明確解題思路.探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測角度2

證明問題

探究一探究二當堂檢測反思感悟

解決此類問題時,要靈活運用三角形中特有的恒等變形公式、三角形邊和角的相互轉(zhuǎn)換公式,主要是正弦定理、余弦定理,因此這類題型都可用不同的途徑求解.探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測解三角形的實際應用角度1

測量距離問題§1

求可到達點與不可到達點之間的距離問題例3如圖,一名學生在河岸緊靠岸邊筆直行走,開始在A處,經(jīng)觀察,在河的對岸有一參照物C,與學生前進方向成30°角,學生前進200m后到達點B,測得該參照物與前進方向成75°角.(1)求點A與參照物C的距離;(2)求河的寬度.探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測反思感悟

1.測量從一個可到達的點與一個不可到達的點之間的距離問題,一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個角和一條邊解三角形的問題,從而運用正弦定理解決.2.如圖,點B為不可到達點,求A,B的距離的具體解題步驟:(1)取基線AC(盡量長),且使AB,AC不共線;(2)測量AC,∠BAC,∠BCA;探究一探究二當堂檢測變式訓練3

如圖所示,為了測量河的寬度,在一岸邊選定兩點A,B,望對岸標記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則河的寬度為

m.

解析由題意,得∠ACB=180°-30°-75°=75°,所以△ABC為等腰三角形.因為河寬即邊AB上的高,這與邊AC上的高相等,過點B作BD⊥AC于D,所以河寬=BD=120sin

30°=60(m).答案60探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測反思感悟

測量兩個不可到達的點之間的距離問題,一般是先把求距離問題轉(zhuǎn)化為應用余弦定理求三角形的邊長的問題,再把求未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題,最后運用正弦定理解決問題.探究一探究二當堂檢測(1)A處與D處的距離;(2)燈塔C與D處的距離.探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測角度2

測量高度問題例5如圖,為了測量河對岸的塔高AB,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D,測得CD=200m,在點C和點D測得塔頂A的仰角分別是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.探究一探究二當堂檢測反思感悟

1.在測量底部不可到達的建筑物的高度時,可以借助正弦定理或余弦定理,構(gòu)造兩角(兩個仰角或兩個俯角)和一邊或三角(兩個方向角和仰角)和一邊,如圖所示.探究一探究二當堂檢測2.解決測量高度問題的一般步驟:探究一探究二當堂檢測變式訓練5如圖,在山頂鐵塔上B處測得一點A的俯角為α,在塔底C處測得A處的俯角為β.若鐵塔高為m米,則山高CD為

米.

探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測因為AB=40

m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此測繪人員到達點B時,目標參照物P相對于該測繪人員的方位角為180°-120°=60°,且目標參照物P與他的距離為40

m.探究一探究二當堂檢測反思感悟

解決實際測量中的角度問題的基本步驟(1)找準觀測點以及參照物,根據(jù)“上北下南,左西右東”確定正北方向;(2)根據(jù)題意作出示意圖;(3)分析圖中的已知量和未知量,標出有關(guān)角和線段的大小;(4)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.探究一探究二當堂檢測變式訓練6如圖所示,從A到B,方位角是50°,距離是470m;從B到C,方位角是80°,距離是860m;從C到D,方位角是150°,距離是640m,試計算從A到D的方位角和距離.探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測§2

航海與追擊中的角度問題例7某漁輪在航行中不幸遇險,發(fā)出呼救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁輪在方位角為45°,距離為10nmile的C處,并測得漁輪正沿方位角為105°的方向,以9nmile/h的速度向某小島靠攏,我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救,求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間.探究一探究二當堂檢測探究一探究二當堂檢測反思感悟

1.本題欲求方位角,先求邊長,而要求邊長,需先求時間.由于艦艇與漁輪同時在移動,因此相遇點不確定,即艦艇的航向不確定,解題時畫圖的關(guān)鍵是設出相遇點B,畫出可以求解的三角形.2.解決這類問題,首先明確題中所給各個角的含義,然后分析題意,根據(jù)題意畫出正確的示意圖,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,運用正弦定理或余弦定理求解.探究一探究二當堂檢測1.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍,則它的頂角的余弦值為(

)答案B探究一探究二當堂檢測2.若P在Q的北偏東44°50'方向上,則Q在P的(

)A.東偏北45°