2021初三一模幾何綜合分類（教師版 學生版）

初三一模幾何綜合分類整理

參考答案與試題解析

試題范圍：一模幾綜；學習安排：4-6H；命題人

學校:姓名：班級：考號：

①手拉手②K字圖③倍長中④角含半⑤截長補⑥猜造構共計

(6)(2)線⑴角⑴短(2)全等（3）15題

一.一.手拉手（共6小題）

1.（2021?朝陽區(qū)一模）如圖，在等腰三角形ABC中，ZfiAC<60°,AB=AC,D為BC

邊的中點，將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連接8E交AZ）于點F.

（1）依題意補全圖形

（2）求/AFE的度數(shù)；

（3）用等式表示線段AF,BF,EF之間的數(shù)量關系，并證明.

【解答】解：（1）圖形如圖所示:

第1頁（共43頁）

u

(2)：AB=AC=AEf

???點A是△BCE的外心，

1

VZCAE=60°,NCBE=?NCAE,

：.ZCBE=3O0,

*：AB=AC,BD=DC,

：.AD±BCf

：.ZBDF=90°,

：./AFE=/BFD=90°-30°=60°.

(3)結論：EF=AF+BF.

理由：如圖，連接CREC,在EF上取一點T,使得FT=FC,連接CT.

TA。垂直平分線段BC,

:?FB=FC,

AZBFD=ZCFD=ZAFE=60°,

：.ZCFE=60°,

■:FT=FC,

???△CFT是等邊三角形，

：.CF=CT,ZFCT=60°,

\9AC=AE,ZC4E=60°,

?**/\ACE是等邊三角形，

：.CA=CE,ZACE=ZFCT=60°,

：.ZFCA=ZTCEf

AAFCA^ATCE(SAS),

；.AF=ET,

：.EF=FT+ET=BF+AF.

2.(2021?東城區(qū)一模)已知NM4N=30°,點3為邊AM上一個定點，點P為線段A3上

一個動點(不與點A,3重合)，點尸關于直線AN的對稱點為點Q,連接AQ,BQ,點、A

關于直線3Q的對稱點為點C,連接PQ,CP.

(1)如圖1,若點P為線段A8的中點；

第2頁（共43頁）

①直接寫出NAQB的度數(shù)；

②依題意補全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關系:

（2）如圖2,若線段CP與交于點D

①設NBQP=a,求NCPQ的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

②用等式表示線段QC,DQ,QP之間的數(shù)量關系，并證明.

【解答】解：⑴①。關于AN對稱,

：.AP=AQ,/%N=NQAN=30°,

??.△APQ是等邊三角形，

：.PQ=PA,

：.PB=PA,

：.PQ=PA^PB,

/.ZAQB=90°.

②圖形如圖所示：結論：PC=V3B4.

圖1

理由：VZAQB=90Q,A,C關于8。對稱,

：.AQ=QC,

第3頁（共43頁）

：.PQ=QC=AQf

：.ZCPA=90°，

PC

—=tan60°，

PA

：.PC=V3PA.

圖2

VA,C關于3Q對稱，

：.BC=BA,CQ=AQ,

?:BQ=BQ,

：./\BQC^BQA(SSS),

：.ZBCQ=ZBAQ=60°,NBQC=/BQA,

VZAPQ=60°,

：.ZBPQ=\20°,

???N5PQ+N3CQ=180°,

AB,P,Q,C四點共圓，

???ZCPB=ZCQB=ZAQB,

VZAPC+ZCPB=180°,

???N%Q+NPOQ=180°,

：.ZPDQ=\20°,

：.ZDQP+ZDPQ=60Q,

：.ZCPQ=60°-a.

②如圖27中，結論：CD=DP+DQ.

第4頁（共43頁）

理由：連接AD,在AQ上取一點7,使得DT=DP.

圖2-1

ZPAQ+ZPDQ=\SOQ,

P,D,。四點共圓，

：.ZPDT=ZPQA=6Qa,

'：DT=DP,

...△POT是等邊三角形，

：.PD=PT,/￡>PT=/。物=60°,

:.NDPQ=NTPA,

,:PD=PT,PQ=PA,

：.ADPQ^/\TPA(SAS),

：.DQ=TA,

：.AD=DT+AT=PD+DQ,

VA,C關于BQ對稱，

：.DC=AD,

：.CD=DP+DQ.

3.(2021?通州區(qū)一模)已知點P為線段AB上一點，將線段4P繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60°,

得到線段4G再將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段B。；連接A。，取4。

中點M,連接8M,CM.

(1)如圖1,當點尸在線段CM上時，求證：PM//BD-,

(2)如圖2,當點尸不在線段CM上，寫出線段BM與CM的數(shù)量關系與位置關系，并

證明.

第5頁(共43頁)

c

圖1圖2

【解答】解：(1)有題意可得，NCAP=60°,KAP=AC,

...△APC是等邊三角形，

AZAPC=60Q,

：.ZBPM=60°,

又；NPBZ)=120°,

：.ZBPM+ZPBD=ISO°,

J.PM//BD.

(2)猜想，CMA.MB,CM=WMB,理由如下：

如圖，延長BM至點G,使得連接AG,BC,GC,PC,

"：AM=MD,GM=BM,

四邊形AGCB是平行四邊形，

：.AG=BD,AG//BD,

AZBAG=180°-ZABD=60c,,

.?./CAG=120°,

「△APC是等邊三角形，

：.AC=CP,/CP8=120°,

:PB=DB=AG,

.?.△CAG/△CP8(SAS),

:.CG=CB,/AFC=/PCB,

第6頁（共43頁）

AZGCB=60°,

...△C8G是等邊三角形，

'：GM=BM,

J.CMVBM,CM=aMB.

4.(2021?北京一模)如圖，在正方形ABCQ中，CD=3,P是CZ)邊上一動點(不與。點

重合)，連接4P，點Q與點E關于AP所在的直線對稱，連接AE,PE,延長CB到點凡

使得8F=OP,連接EF,AF.

(1)依題意補全圖1:

(2)若。P=l,求線段EF的長；

(3)當點P在CQ邊上運動時，能使△AEF為等腰三角形，直接寫出此時的面

積.

圖1備用圖

圖1

(2)連接BP,如圖2.

第7頁(共43頁)

圖2

,/點。與點E關于AP所在的直線對稱，

：.AE=AD,APAD=APAE,

??,四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB,ND=NABF=9U0,

?:BM=BF,

：./\ADP^/\ABF(SAS),

：.AF=AP,ZFAB=ZPAD,

：.ZFAB=ZPAEf

：.ZFAE=ZPABf

(SAS),

：?EF=BP,

???四邊形ABC。是正方形，

：.BC=CD=AB=3,

VDP=1,

：.CP=2,

:?BP=7BC2+CP2=V13,

：.EF=V13；

(3)設。P=x(x>0),則CP=3-x,

：.EF=BP=VCP2+BC2=Vx2-6x+18,

u222

\AE=AD=3fAF=Ap=-JCP+AD=Vx+9,

：.AF>AE9

???當為等腰三角形時，只能有兩種情況：AE=EF^AF=EF9

第8頁(共43頁)

①當時，WV%2-6x+18=3,

解得工=3,

②當4尸=后尸時，

Vx2—6x+18=y/x24-9,

解得后參

.0139

??bgAP=axo3x2=4,

99

綜上△￡?/!2的面積為，或「

24

5.(2021?石景山區(qū)一模)在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a(0°<a<60°).點E是4

ABC內(nèi)動點，連接AE,CE,將△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a,使AC邊與A3重合，得到

/\ADB,延長CE與射線8￡>交于點M(點M與點。不重合).

(1)依題意補全圖1；

(2)探究ZADM與ZAEM的數(shù)量關系為；

(3)如圖2,若OE平分NAQ8,用等式表示線段MC,AE,BQ之間的數(shù)量關系，并證

明.

【解答】解：(1)補全圖1如下:

第9頁(共43頁)

A

(2)???將△人日?繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AO8,

'ZAEC=/ADB,

：.ZADM=ZAEMf

故答案為：ZADM=ZAEM.

(3)MC=AE+BD,理由如下：

連接AM,△AMO和△AME1公共邊為AM,且NAOM=NAEM,

???A、M、D、E共圓，如圖：

VA>M、D、E共圓,

/.ZMAD=/MED,

???QE平分NAQ8,

???/ADE=/EDB,

???將△4EC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AO8,

：.AD=AEfBD=EC,

：.ZADE=ZAED,

:./EDB=/AED,

:.BM〃AE,

：./DME=NAEM,

ZADM=ZAEM.

第10頁(共43頁)

：?/DME=ZADMf

在△AM。和中，

Z.MAD=Z.MED

乙40M=NOME,

、DM=DM

：.(A4S),

：.AD=MEf

：.AE=ME,

*：MC=ME+EC,

：.MC=AE+BD.

6.(2021?大興區(qū)一模)如圖1,等邊△ABC中，點P是BC邊上一點，作點C關于直線AP

的對稱點。，連接CO,BD,作AEJ_BD于點E；

(1)若/以C=10°,依題意補全圖1,并直接寫出NBCD的度數(shù)；

(2)如圖2,若/B4C=a(0°<a<30°),

①求證：NBCD=NBAE；

②用等式表示線段8￡>,CD,AE之間的數(shù)量關系并加以證明.

AZACB=60°,

VC關于直線AP的對稱是D,

：.APA.CD,AC^AD,

N4CD=90-N%C=90°-10°=80°,

NBCD=ZACD-N4CB=20°；

(2)①證明：如圖，連接A￡>,

根據(jù)題意得，AO±CD

'：ZPAC=a,

第11頁(共43頁)

BC

E

-0=90°-a,

,/△ABC是等邊三角形，

AZACB=60°,

，NBCD=ZACD-NAC8=900-a-60°=30°-a,

???C關于直線4尸的對稱是O,

：.AP±CD,AC=AD,

：.ZPAD=ZPAC=a,

t：AB=AC=AD,AELBD,

11I

AZBAE=ZDAE=^ZBAD=CZBAC-ZCAD）=.（60°-2a）=30°-a,

：.ZBCD=ZBAE；

②解：用等式表示線段8D,CD,AE之間的數(shù)量關系是AE=C￡>+爭犯

證明：在AE上截取AF=C￡>,連接BF,

：△ABC是等邊三角形，

，A8=AC,

?：/BCD=/BAE,

:.△BAF?XBCD（SAS）,

；?NABF=NCBD,BF=BD,

；?NFBE=NABC=60°,

.*.EF=BF?sin60o=^BF=?BD,

:*AE=AE+EF=CD+9BD.

二.二.K字圖（共2小題）

7.（2021?延慶區(qū)模擬）在正方形ABC。中，點E在射線8C上（不與點B、C重合），連接

DB,DE,將。E繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF,連接BF.

第12頁（共43頁）

（1）如圖1,點E在8c邊上.

①依題意補全圖1:

②若A8=6,￡C=2,求8尸的長；

（2）如圖2,點E在BC邊的延長線上，用等式表示線段BD,BE,BF之間的數(shù)量關

【解答】解（1）圖形如圖所示.

過點尸作FHLCB,交CB的延長線于H,

?.?四邊形A8C。是正方形，

：.CD=AB=6,ZC=90°,

；NDEF=/C=90°,

:.NDEC+NFEH=9Q°,NDEC+NEDC=90°,

：.ZFEH=ZEDC,

在△OEC和△￡1";中，

2H=NC=90°

乙FEH=4EDC,

.EF=DE

：./\DEC^^EFH(AAS),

：.EC=FH=2,CD=BC=EH=6,

：.HB=EC=2,

：.Rt^FHB中，BF=>JFH2+BH2=V22+22=2&.

第13頁（共43頁）

(2)結論：BF+BD=y[2BE.

理由：過點、F作FHLCB,交CB于H,

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.CD=AB=6,NACB=90°,

；/￡>EF=NACB=90°,

:.NDEC+NFEH=90°,NDEC+NEDC=90°,

：.ZFEH=ZEDC,

在△￡>￡：€■和△EF”中，

NFHE=乙DCE=90°

乙FEH=4EDC,

.EF=DE

:.△DEgAEFH(A4S),

：.EC=FH,CD=BC=EH,

:.HB=EC=HF,

:ADCB和△BH/都是等腰直角三角形，

：.BD=y/2BC=y[2HE,BF=yj2BH,

■:HE+BH=BE,

：.BF+BD=>/2BE.

8.（2021?房山區(qū)一模）已知：在△4BC中，ZA=45",ZABC=a,以BC為斜邊作等腰

RtZ\B￡>C,使得A,。兩點在直線BC的同側(cè)，過點。作。于點E.

（1）如圖1,當a=20°時,

①求/CQE的度數(shù)；

②判斷線段AE與BE的數(shù)量關系；

（2）若45°<a<90°,線段AE與BE的數(shù)量關系是否保持不變？依題意補全圖2,并

證明.

第14頁（共43頁）

c

圖1

【解答】解：（1）①?；/。8=90°,CD=DB,

：.ZDBC=ZDCB=45°,

:.NDBE=NDBC-NABC=25°,

；DELAB,

：.ZDEB=90°=/CDB,

:.NCDE+NEDB=NEDB+NABD=90°,

:.NCDE=NDBE=25°；

②AE=BE,理由如下：

如圖1,延長BD至〃，使BD=DH,連接CH,

'：BD=DH,CDLBD,

：.CH=BC,

：.NCHB=NCBH=45°,

AZA=ZCWB=45°,ZWCB=90°,

.?.點A,點C,點B,點”四點共圓，

,：ZHCB=90Q,

.?.8〃是直徑，。是圓心,

第15頁（共43頁）

VD￡±AB,

：.AE=BE-,

（2）不變，理由如下：

如圖2,延長8。至H,使BD=DH,連接C”,

:.CH=BC,

；.NCHB=NCBH=45°,

：.ZA=ZCHB=45°,NHCB=9Q°,

...點A,點B,點C,點H四點共圓，

:NHCB=90°,

.?.BH是直徑，。是圓心，

'：DE±AB,

：.AE=BE.

三.三.倍長中線（共1小題）

9.（2021?平谷區(qū)一模）在△河（；中，NACB=90°,AC=BC,。是直線A8上一點（點。

不與點A、B重合），連接。C并延長到E,使得CE=CQ,過點E作直線BC,交

直線BC于點F.

（1）如圖1,當點。為線段AB的上任意一點時，用等式表示線段ERCF、AC的數(shù)量

關系，并證明；

（2）如圖2,當點。為線段BA的延長線上一點時，依題意補全圖2,猜想線段EF、CF、

AC的數(shù)量關系是否發(fā)生改變，并證明.

第16頁（共43頁）

【解答】解：（1）結論：AC=EF+FC,

理由如下：過。作。〃_LCB于”，

VEF1CF,

:?/EFC=/DHC=9N,

在△尸EC和△”O(jiān)C中，

(￡.EFC=乙DHC=90°

ZFCF=Z.DCH,

\EC=CD

:ZEgAHDC(A4S),

:?CH=FC,DH=EF,

VZDHB=90°,ZB=45°,

:.DH=HB=EF,

：.AC=BC=CH+BH=FC+EF；

(2)依題意補全圖形，結論：EF=FC+AC,

理由如下：

第”頁（共43頁）

過。作DH1CB交CB的延長線于H,

'：EFLCF,

:.NEFC=NDHC=90°,

在△PEC和△HOC中，

NFCE=乙DCH

乙EFC=Z.DHC=90°,

EC=DC

：./\FEC^/\HDC(AAS),

:.CH=FC,DH=EF,

VZD//B=90°,/B=45°,

：.DH=HB=EF,

：.EF=CH+BC=FC+AC.

四.四.角含半角(共1小題)

10.(2021?豐臺區(qū)一模)如圖，在△ABC中，NACB=90°,CA=CB,點P在線段4B上,

作射線CP(0°<ZACP<45°),將射線CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到射線C。,

過點4作A￡)J_CP于點。，交CQ于點E,連接BE.

(1)依題意補全圖形；

(2)用等式表示線段AC,DE,2E之間的數(shù)量關系，并證明.

第18頁(共43頁)

c

【解答】解：（1）如圖所示:

Q

(2)結論：AD+BE=DE.

理由：延長D4至R使。尸連接。凡

???AD1.CP,DF=DE,

:.CE=CF,

：.ZDCF=ZDCE=45°,

VZACB=90°,

??.NACD+N￡C8=45°,

VZDCA+ZACF=ZDCF=45°,

:./FCA=/ECB,

在△ACF和△BCE中，

CA=CB

Z.ACF=乙BCE,

CF=CE

:?△ACFQXBCE(SAS),

:?AF=BE,

：.AD+BE=DE.

五.五.截長補短(共2小題)

11.（2021?門頭溝區(qū)一模）在正方形ABC。中，將邊A。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）

第19頁（共43頁）

得到線段AE,AE與CQ延長線相交于點F,過B作BG〃AF交Cf于點G,連接BE.

(1)如圖1,求證：NBGC=2NAEB；

(2)當(45°<a<90°)時,依題意補全圖2,用等式表示線段AH,EF,OG之間的

數(shù)量關系，并證明.

【解答】解：(1)證明：?.?邊A。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到線段

：.AD=AE,

正方形ABCD,

：.AB=AD=AE,

NAEB=NABE,

'CBG//AF,

NAEB=NGBE,

：.NABE=NAEB=NGBE,

：.NABG=2NAEB,

正方形ABCD,

：.AB//CD,

：.NBGC=ZABG,

:.NBGC=2/AEB；

(2)補全圖2如下：

線段AH,EF,OG之間的數(shù)量關系為：EF=AH+DG,理由如下:

在DC上取DN=AH,連接AN交BG于交BE于P,連接EM,如圖:

第20頁(共43頁)

：.AB=AD,/ADN=NBAH=90°,

又DN=AH,

.?.△AON絲(SAS),

：.ZDNA=ZAHB,NDAN=/ABH,

VZDNA+ZDAN^90°,

AZDAN+ZAHB=90°,

AZAPH=90°,

：.ZBPM=ZBPA^90Q,

由(1)知NA8E=NGBE,

且BP=BP,

:.XABP4l\MBP(ASA),

：.AB=MB,

ffijNABE=NGBE,

.二△ABH絲△MBH(.SAS),

：.ZHAB=ZHMB=90°,

；.A、H、M、8共圓，

/.NAHB=NGMN,

：.ZDNA=ZGMN,

：.GN=GM,

'：CF//AB,BG//AF,

四邊形ABGF是平行四邊形，

：.BG=AF,

'：AF^AD=AB=MB,

：.EF=GM,

第21頁（共43頁）

：.EF=GN,

,：GN=DG+DN,

：.EF=DG+AH.

12.（2021春?海淀區(qū)校級月考）如圖，AB=AC,ZBAC=9Q°,過點C作直線點

D,E是直線/上的動點（。在E的右側(cè)），且滿足連接B。，NABQ的平分線

與射線AE交于點F,與射線AC交于點G.

（1）如圖1,當點C在線段OE上，且NCAE=30°時，若A8=3,求線段EF的長；

（2）如圖2,當點。在點C的左側(cè)時，

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段AG,CD,EF的數(shù)量關系，并證明.

【解答】解：⑴V/1AC,NC4B=90°,

：.l//AB,ZACE=90°,

'：AB=AC=3=DE,ZCAE=30°,

：.cosZCAE==cos30°=ZAEC=6O0,

：.AE=2y[3,

\"DE=AB,DE//AB,

...四邊形4E￡?B是平行四邊形，

.?./ABO=NAEC=60°,

平分NAB。，

1

：?NABF=*/ABD=30。,

VZBAF=ZBAC+ZCAE=120°,

AZAFB=180°-120°-30°=30°=NABF,

第22頁（共43頁）

：.AB=AF=3f

：.EF=AE-AF=2^3-3,

(2)①根據(jù)題意畫出圖形為:

?EF=DC+AG,理由如下：

過A作/于"，交.BD于M,交/于N,

:?/BHM=/BHA=9U°,

?.?8尸平分NA8Q,

4ABH=/MBH,

：?NBAH=NBMH,

：.BA=BMf

由(1)得，四邊形A8DE是平行四邊形，

：.AF//BM,

,NAFB=NMBF=NABF,

：.AF=AB,

：.AF=BM,

???四邊形48Mb是菱形，

：、FM〃AB,FM=ABt

：.FM//DE,FM=DE,

，四邊形EFMD是平行四邊形，

1?EF=DM,

*：DE//AB,

:?/DNM=NBAM,

■:/BMA=/DMN,/BMA=NBAM,

第23頁（共43頁）

/DNM=4DMN,

:?DM=DN,

VZACN=ZCAB=90°,

：.ZCAN+ZCNA=90°=/CAN+/HAB,

:?/CAN=/GBA,

'：AC=AB,

：.AAC^ABAG（ASA）,

:?CN=AG,

：.DN=DC+CN=DC+AG,

：.EF=DC+AG.

六.猜造構全等共3題（標記的重要性）（共3小題）

Q

13.（2021?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=ACfZBAC>90,。是△ABC內(nèi)一點,

ZADC=ZBAC.過點B作8/〃CD交4。的延長線于點￡

(1)依題意補全圖形；

(2)求證：NCAD=NABE：

(3)在(1)補全的圖形中，不添加其他新的線段,在圖中找出與CD相等的線段并加

以證明.

B4---------------------------------

【解答】(1)解：圖形如圖所示.

T

(2)證明：9：CD//BE,

AZCDE=NAEB,

第24頁(共43頁)

,?ZADC=ZBAC,

：.ZABC+ZACB=NDAC+NACD=NCDE=NAEB,

VZBAE+ZABE+ZAEB=180°,ZBAE+ZDAC+2ZABC=\80°,

???N8AE+/A8E+2NA8C=180°，

：.ZCAD=ZABE.

(3)解：結論：CD=AE.

理由：在力E的延長線上取一點丁，使得CO=CT,

?：CD=CT,

；?NT=NCDT,

'：CD//BEf

：./AEB=/T,

9

：AB=AC,ZABE=ZCATf

：./\ABE^/\CAT(A45),

:?AE=CT,

：.CD=AE.

14.（2021?順義區(qū)一模）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,CD_LA8于點O,ZA=a.

（1）求出NDC3的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）延長CQ至點E,使CE=AC,連接AE并延長交C3的延長線于點F.

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段E/與5c之間的數(shù)量關系，并證明.

【解答】解：（1）???等腰三角形A8C中，AB=AC,ZA=a,

180°-aa

JZACB=ZB=-2~=90°2

*：CD.LABf

：.ZACD=90°-ZA=90°-a,

第25頁（共43頁）

CfCY

；.NDCB=NACB-NACD=90°-J-90°+a=~

（2）①如圖即為補全的圖形；

證明：VZACE=ZACB-ZDCB=90°-1-=90°-a,

,:CE=AC,

：.ZCAE=ZCEA=-養(yǎng)-。）=45°+參

NAEC=NF+NECF,

.?.45。+|=ZF4-J,

：.ZF=45°,

過點E作EHJLFC于點H,過點A作AGLFC于點G,

：.ZBAG=ZCAG=^,

在aAGC和△（；”￡；中，

2AGC="HE=90°

ACAG=LECH,

AC=EC

：./\AGC^/\CHE（A4S）,

：.CG=EH,

VZF=45°,

：.FH=EH,

設EH=FH=x,則

，BC=2CG=2x,

.EFV2xV2

"BC~2x-2-

15.（2021?海淀區(qū)一模）如圖，在△4BC中，AB=AC,NBAC=40°,作射線CM,ZACM

=80°.。在射線CM上，連接A。，E是A。的中點，C關于點E的對稱點為F,連接

第26頁（共43頁）

DF.

(1)依題意補全圖形；

(2)判斷AB與。尸的數(shù)量關系并證明；

(3)平面內(nèi)一點G,使得OG=DC,FG=FB,求NCDG的值.

備用圖

圖1

(2)AB=DF,理由如下：

是AO的中點，

：.AE=DE,

；C關于點E的對稱點為F,

：.CE=EF,

又；ZAEC=ZFED,

：.AAEC^ADEF(SAS),

：.AC=DF,

'：AB=AC,

：.AB=DF；

(3)如圖2,連接4尸,

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■:AE=DE,CE=EF,

???四邊形ACDF是平行四邊形，

AZACM+ZCAF=180°,AF=CD,DF=AC=AB,

：.ZCAF=l00°=4CDF,

：.ZBAF=140°,

?；DG=DC,

???點G在以點。為圓心，QC為半徑的圓上，

?:FG=FB,

???點G在以點尸為圓心，所為半徑的圓上，

???兩圓的交點為G,

?；AB=DF,AF=DG,FB=FG,

:.XABFUXDFG(5S5),

AZBAF=ZFDG=140°,

：.ZCDG=40°,

同理可證

AZBAF=ZG'DF=140°,

???NCOG=360°-100°-140°=120°,

綜上所述：NCQG=40°或120°.

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初三一模幾何綜合分類整理

試題范圍：一模幾綜；學習安排：4-6H；命題人：

學校:姓名：班級：考號：

①手拉手②K字圖③倍長中④角含半⑤截長補⑥猜造構共計

(6)(2)線⑴角⑴短(2)全等（3）15題

一.手拉手共6小題（典型2、倍長、標記猜、截長補短、無度數(shù)自己構造）

1.（2021?朝陽區(qū)一模）如圖，在等腰三角形ABC中，ZBAC<60°,AB=AC,D為BC

邊的中點，將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連接8E交AZ）于點F.

（1）依題意補全圖形

（2）求NAFE的度數(shù)；

（3）用等式表示線段AF,BF,EF之間的數(shù)量關系，并證明.

第29頁（共43頁）

2.（2021?東城區(qū)一模）已知/M4N=30°,點B為邊AM上一個定點，點P為線段AB上

一個動點（不與點A,B重合），點尸關于直線AN的對稱點為點。，連接A。，80,點A

關于直線8Q的對稱點為點C,連接尸。，CP.

（1）如圖1,若點P為線段AB的中點；

①直接寫出NAQB的度數(shù)；

②依題意補全圖形，并直接寫出線段CP與4P的數(shù)量關系；

（2）如圖2,若線段CP與BQ交于點￡>.

①設NBQP=a,求NCP。的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示線段OC,DQ,OP之間的數(shù)量關系，并證明.

第30頁（共43頁）

3.(2021?通州區(qū)一模)已知點尸為線段AB上一點，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,

得到線段4C；再將線段BP繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段8。；連接AD,取AD

中點M,連接BM,CM.

(1)如圖1,當點尸在線段CM上時，求證：PM//BD；

(2)如圖2,當點尸不在線段CM上，寫出線段與CM的數(shù)量關系與位置關系，并

證明.

圖1圖2

第31頁(共43頁)

4.(2021?燕山區(qū)一模)如圖，在正方形48co中，C￡>=3,尸是CD邊上一動點(不與。

點重合)，連接AP,點。與點E關于AP所在的直線對稱，連接AE,PE,延長CB到點

F,使得BF=OP,連接EF,AF.

(1)依題意補全圖1;

(2)若。P=l,求線段EF的長；

(3)當點P在C。邊上運動時，能使AAE尸為等腰三角形，直接寫出此時△D4P的面

積.

第32頁(共43頁)

5.(2021?石景山區(qū)一模)在△ABC中，AB=AC,ZBAC^a(0°<a<60°).點E是4

ABC內(nèi)動點，連接AE,CE,將△/!￡：(：繞點4順時針旋轉(zhuǎn)a,使AC邊與48重合，得到

△ADB,延長CE與射線8。交于點M(點M與點。不重合).

(1)依題意補全圖1；

(2)探究NAOM與NAEM的數(shù)量關系為；

(3)如圖2,若。E平分N4O8,用等式表示線段MC,AE,8。之間的數(shù)量關系，并證

明.

第33頁(共43頁)

6.(2021?大興區(qū)一模)如圖1,等邊4ABC中，點尸是BC邊上一點，作點C關于直線AP

的對稱點。，連接C。，8。，作AEJ_B￡>于點E；

(1)若/B4C=10°,依題意補全圖1,并直接寫出/BC。的度數(shù);

(2)如圖2,若/B4C=a(0°<a<30°),

①求證：NBCD=NBAE；

②用等式表示線段8D,CD,AE之間的數(shù)量關系并加以證明.

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二.K字圖（共2小題）

7.（2021?延慶區(qū)一模）在正方形ABCD中，點E在射線BC上（不與點8、C重合），連接

DB,DE,將DE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF,連接8尸.

（1）如圖1,點E在8c邊上.

①依題意補全圖1:

②若A8=6,EC=2,求8尸的長；

（2）如圖2,點E在BC邊的延長線上，用等式表示線段BQ,BE,BF之間的數(shù)量關系.

圖1圖2

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8.（2021?房山區(qū)一模）已知：在△ABC中，ZA=45Q,ZABC=a,以BC為斜邊作等腰

RtABDC,使得A,。兩點在直線BC的同側(cè)，過點。作。EJ_AB于點E.

（1）如圖1,當a=20°時,

①求/CQE的度數(shù)；

②判斷線段AE與BE的數(shù)量關系；

（2）若45°<a<90°,線段AE與BE的數(shù)量關系是否保持不變？依題意補全圖2,并

證明.

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三.倍長中線（共1小題）

9.（2021?平谷區(qū)一模）在△ABC中，/ACB=90°,AC^BC,。是直線AB上一點（點。

不與點A、8重合），連接。C并延長到E,使得CE=CD,過點E作EF上直線BC,交

直線BC于點F.

（1）如圖1,當點。為線段A8的上任意一點時，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量

關系，并證明；

（2）如圖2,當點D為線段BA的延長線上一點時、依題意補全圖2,猜想線段E