2024年中考數(shù)學(xué)壓軸突破幾何中的折疊題型匯編含答案解析

幾何中的折疊問題1ABCD中，AD=5tanB=2E是ABABCD沿DEBC的對應(yīng)點(diǎn)分別是∠=90°BC(的距離是到)A.5+5DB.25+2C.635過C作CH⊥AD于H作F⊥AD于F，，HD=5HC=25再由折疊證明∠BED=∠ED=135°∠EDC=∠=45°△CHD≌△HD=5F=C作CH⊥AD于H作F⊥AD于，F(xiàn)由已知，AD=5tanB=2，HCHD∴CD=5tan∠CDH==2，∴設(shè)HD=xHC=2x，∴在Rt△HDC中，HC+HD=CD2，2x+x=52，解得x=5，∴HD=5HC=25，，，由折疊可知，∠BED=∠ED∠EDC=∠CD=D∵∠=90°，∴∠BED=∠ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠=45°1∴∠=90°∵∠CHD=∠AD=90°，∴∠CDH+DF=90°，∵∠CDH+∠HCD=90°，∴∠DF=∠HCD，∴△CHD≌△，∴F=HD=5，∴點(diǎn)到BC的距離是F+CH=5+25=35．故選：D．據(jù)折疊的條件推出∠BED=∠ED=135°2△ABCAC邊落在ABl與BC交于點(diǎn)PP到AB的距離為3cmQ為ACPQ的最小值為(．)A.2cmB.2.5cmC.3cm3.5cmC由折疊可得：PA為∠BAC∵將△ABCAC邊落在AB邊上，∴PA為∠BAC的角平分線，∵點(diǎn)Q為AC上任意一點(diǎn)，∴PQ的最小值等于點(diǎn)P到AB的距離3cm．故選C．是解答本題的關(guān)鍵．3?ABCD中，BC=8,AB=AC=45E為BC邊上一點(diǎn)，BE=6F是AB邊上的動△BEF沿直線EF折疊得到△GEFB的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)GDE4tanB=2AFBF13DE=10GE⊥BC時，EF=32G恰好落在線段DE=．其中正確的是()A.①②③B.②③④C.①③④①②④2D過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)HtanB①D作DK⊥BC于點(diǎn)KDE②F作FM⊥BC于點(diǎn)M明△EMF為等腰直角三角EM=FM=xBMBE=BM+EMxEF③△AND∽△CNE出∠ENC=∠ECNEF∥CA④．A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵BC=8,AB=AC=45，1∴BH=BC=4，2∴AH=AB-BH2=8，AHBH∴tanB==2②過點(diǎn)D作DK⊥BC于點(diǎn)KAHKD為矩形，∴DK=AH=8HK=AD=BC=8，∵BE=6，∴CE=2，1∵CH=BC=4，2∴CK=4，∴EK=CE+CK=6，∴DE=EK+DK2=10③過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，∵GE⊥BC，∴∠BEG=90°，∵翻折，∴∠BEF=∠GEF=45°，∴∠EFM=∠BEF=45°，∴EM=FM，設(shè)EM=FM=x，F(xiàn)MBM∵tanB==2，1212∴BM=FM=x，1∴BE=BM+EM=x+x=6，2∴x=4，∴EM=FM=4，∴EF=2EM=42④當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線段DEAC與DE交于點(diǎn)N，∵?ABCD，∴AD∥BC，∴△AND∽△CNE，3ENDNENDECEAD12814∴∴====，，515∴EN=DE=2=CE，∴∠ENC=∠ECN，∴∠BEN=∠ENC+∠ECN=2∠ECN，∵翻折，∴∠BEN=2∠BEF，∴∠BEF=∠ECN，∴EF∥AC，AFBFCEBE2613∴===故選D．4如圖，AB是⊙OC是⊙OBC沿弦BC折疊交直徑AB于點(diǎn)DCD，若∠ABC=α0°<α<45°()BCABCDABADBDCDBCA.sinα=BB.sinα=C.cosα=cosα=連ACAB是⊙O∠ACB=90°AC和CDAC=CDAC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，4由折疊，AC和CD所在的圓為等圓，又∵∠CBD=∠ABC，∴AC和CD所對的圓周角相等，∴AC=CD，∴AC=CD，在Rt△ACB中，ACABCDABsinα==，故選：B．共的圓周角推出等弦．5OA在x軸正半軸上，OC在yOAOC為邊構(gòu)造矩形OABCB的坐標(biāo)為8,6DE分別為OABC△ABE沿AEB的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在CDF的坐標(biāo)為()32301313A30321313302013132030A.,B.,C.,,1313先求得直線CDF作FM⊥CE于點(diǎn)MF作FN⊥OC于點(diǎn)N32Fm,-m+6Rt△EMFm∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為8,6OABC是矩形，DE分別為OABC的中點(diǎn)，∴C0,6D4,0E4,6，由折疊的性質(zhì)可得：EF=BE=4，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，6=b則，4k+b=032k=-b=6解得：，32∴直線CD的解析式為y=-x+6，過點(diǎn)F作FM⊥CE于點(diǎn)MF作FN⊥OC于點(diǎn)N，53設(shè)點(diǎn)Fm,-m+6，23232則MF=CN=6--m+6=mEM=4-m，在Rt△EMF中，EM+MF=EF2，322∴4-m+m=42，3213解得：m=或m=0()，323232133013當(dāng)m=時，y=-×+6=，1332301313∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為故選：A．,，6ABCDEFA折疊在折痕EFDPBAB=2BC=3tan∠BF的值為()333212A.B.3C.A先證明EF=AB=CD=2CF=BF=DE=32∠DEA=90°∠FB=90°AD=D=3，，323212得E=D-DE2=，F(xiàn)=2-=.∵矩形紙片ABCDEFAB=2BC=3，32∴EF=AB=CD=2CF=BF=DE=∠DEA=90°∠FB=90°，由折疊可得：AD=D=3，32∴E=D-DE2=，3212∴F=2-=，6123233∴tan∠BF=故選A=.,矩形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,求解銳角的正切,熟記軸對稱的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.7ABCD中，AB=2BC=3P是邊BCD折疊至線段AP上一點(diǎn)EFC折疊至點(diǎn)．下列說法中錯誤的是()4553A.cos∠BAP=B.當(dāng)AE=時，E⊥AP45C.當(dāng)AE=18-65時，△E是等腰三角形sin∠DAP=C∵矩形ABCD中，AB=2BC=3P是邊BC中點(diǎn)，1232∴BP=BC=∠B=90°，32522∴AP=AB+BP2=2+=，ABAP25245∴cos∠BAP===，故A正確；∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠APB，45∴sin∠DAP=sin∠APB=cos∠BAP=，故D正確；設(shè)DE=E=x，45AE=AD-DE=3-xsin∠DAP=，∵E⊥AP，EAEx3-x45∴sin∠DAP===，4解得x=，353∴AE=AD-DE=3-x=，故B正確；當(dāng)E=AE時，設(shè)DE=E=xAE=AD-DE=3-x，7∴x=3-x，32解得x=；此時,A當(dāng)E=作N⊥AD于點(diǎn)，N則AN=NE；∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠APB，3352∴cos∠DAP=cos∠APB==，52設(shè)DE=E=xAE=AD-DE=3-xE==x，，ANANx335∴==，解得AN=x；56∴AE=AD-DE=3-x=2AN=x，51511解得x=∴AE=；615111811×=；5當(dāng)AE=作H⊥AD于點(diǎn)，H設(shè)DE=E=xAE==AD-DE=3-x，4535∴H=sin∠DAP=3-xAH=cos∠DAP=3-x，325∴HE=AE-AH=3-x-3-x=3-x，5HE+H=E2，2422∴3-x+3-x=x255解得x=65-12；∴AE=3-x=15-65；1811綜上所述，AE=15-65或AE=，故C錯誤，故選C．8如圖，AB為半圓OOCCB為折痕折疊BC交AB于點(diǎn)M，連接CMM為AB的黃金分割點(diǎn)(BM>AM)sin∠BCM的值為()85-125+125-1412A.B.C.A過點(diǎn)M作MD⊥CBDMD交半⊙O于點(diǎn)M′接CMBM′BMAB5-12∠CMB=∠CM′BBC⊥MM′∠BDM=90°=利用直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB=90°A字模型相似三角形△DBM∽△CBADMACBMAB5-12用相似三角形的性質(zhì)可得==得：∠A=∠AMCCA=CMRt△CDMM作MD⊥CBD長MD交半⊙O于點(diǎn)M′CM，BM′，由折疊得：∠CMB=∠CM′BBC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵點(diǎn)M為AB的黃金分割點(diǎn)(BM>AM)，BMAB5-12∴=，∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，DMACBMAB5-12∴==，∵四邊形ACM′B是半⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，DMCMDMAC5-12在Rt△CDM中，sin∠BCM===．故選：A．(折疊問題)根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9ABCDEFEC的對應(yīng)邊EH經(jīng)過點(diǎn)ACD的對應(yīng)邊HG交BA的延長線于點(diǎn)P．若PA=PGAH=BECD=3BC的長為．943PFBC=2xAH=BE12=aRt△PAF≌Rt△PGFHLFA=FG=FD=xBE=xRt△ABEPFBC=2xAH=BE=a，由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)知FG=FD∠G=∠FAP=90°AB=CD=3AD=BC，∵PA=PGPF=PF，∴Rt△PAF≌Rt△PGFHL，1212∴FA=FG=FD=AD=BC=x，由矩形的性質(zhì)知：AD∥BC∴∠AFE=∠FEC，折疊的性質(zhì)知：∠FEA=∠FEC，∴∠FEA=∠AFE，∴AE=FA=x，由折疊的性質(zhì)知EC=EH=AE+AH=x+a，∴BC=BE+EC=a+x+a=2x，1212∴a=xBE=x，122在Rt△ABE中，AB+BE=AE23+x=x2，解得x=23，∴BC=2x=43，故答案為：4310ABCD中，AB=3AD=6M為AD的中點(diǎn)，N為BCMN折AA'CDMNBCAB的對應(yīng)點(diǎn)分別為的三等分點(diǎn)處時，CP的長為并延長交射線于點(diǎn)PON于點(diǎn)恰好運(yùn)動到．101或5分兩種情況：①當(dāng)CN=2BN時．過點(diǎn)N作NG⊥AD于點(diǎn)GABNG為矩形；②當(dāng)BN=2CNN作NG⊥AD于點(diǎn)GABNGGM=AM-AG=1.再由折疊的性質(zhì)可得∠AOM=90°CN=2BN時．如圖1N作NG⊥AD于點(diǎn)GABNG為矩形，∴NG=AB=3AG=BN=2．∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴AM=3，∴GM=AM-AG=1．由折疊A與對應(yīng)，∴∠AOM=90°，∵∠MAO+∠APD=90°∠MAO+∠AMO=90°，∴∠AMO=∠APD∠GMN=∠APD．又∵∠NGM=∠ADP=90°，∴△ADP∽△NGM，NGADGMDP12∴==，解得DP=2，∴CP=CD-DP=1．②當(dāng)BN=2CN時，如圖2N作NG⊥AD于點(diǎn)GABNG為矩形，∴NG=AB=3AG=BN=4．∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴AM=3，∴GM=AG-AM=1．由折疊A與對應(yīng)，∴∠AOM=90°∠MAO+∠AMO=90°∠MAO+∠APD=90°，∴∠AMO=∠APD∠GMN=∠APD．又∠ADP=∠NGM=90°，∴△ADP∽△NGM，NGADGMDP12∴==，解得DP=2，∴CP=CD+DP=5．綜上，CP的長為1或5．故答案為：1或5．11-11如圖，DE平分等邊△ABC△BDE得到△FDE,AC分別與DF,EF相交于G,H兩點(diǎn)．若DG=m,EH=nm,n的式子表示GH的長是．】m+n2先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得S=SFDE∠F=∠B=60°S=S+SCHESSDGGH2三角形的判定可證△ADG∽△FHG,△CHE∽△FHG==m2GH2S=EHGHn2GH2，=S2∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵折疊△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S=SFDE∠F=∠B=60°=∠A=∠C，∵DE平分等邊△ABC的面積，∴S=S=S∴S=S+S，，又∵∠AGD=∠FGH,∠CHE=∠FHG，∴△ADG∽△FHG,△CHE∽△FHG，Sm2GHm+nGHS=n2GHDGGHEHGH22∴∴==，=，SS2S2+S=2=S+S=1，SS2S∴GH=m+n2，解得GH=m+n2或GH=-m+n2(，)故答案為：m+n2．形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12在矩形ABCDE為AD邊上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)BEABCD沿BE后點(diǎn)A與點(diǎn)FEFBF分別交BCCD于GH兩點(diǎn).若BA=6BC=8FH=CHAE的長為．1292】連接GH明Rt△FHG?Rt△CHG(HL)得FG=CGFG=CG=xRt△BFG6274254+x=(8-x)2CG=FG=BG=ABCD沿BEA與點(diǎn)F2549292∠AEB=∠FEB得∠FEB=∠EBGEG=BG=EF=EG-FG=AE=．GH∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵將矩形ABCD沿BEA與點(diǎn)F重合，∴BF=AB=6,AE=EF,∠BFE=∠A=90°，∴∠GFH=90°=∠C，∵GH=GH,FH=CH，∴Rt△FHG?Rt△CHG(HL)，∴FG=CG，設(shè)FG=CG=xBG=BC-CG=8-x在Rt△BFG中，BF+FG=BG2∴6+x=(8-x)2，74解得：x=，74∴CG=FG=，25x∴BG=8-x=，∵將矩形ABCD沿BEA與點(diǎn)F重合，∴∠AEB=∠FEB，∵AD?BC，∴∠AEB=∠EBG，∴∠FEB=∠EBG，254∴EG=BG=，92∴AE=，9故答案為：．2的關(guān)鍵．13ABCD中，AD=23CD=6E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BCEF△BEF沿EFB落在點(diǎn)GDGBG的延長線交線段CD于點(diǎn)H13∠BAC=30°△EBF∽△BCH∠EGD=90°時，DG的長度是23④線段DG長度的最小值是21-3G落在矩形ABCD的對角線上，BG的長度是3或33有正確判斷的序號)．(寫出所利用正切函數(shù)的定義即可判斷①∠HBC=∠BEF②出點(diǎn)DGFRt△EAD≌Rt△EGDHL③DGEDG長度的最小值是21-3F是線段BCDGE④△BGE⑤．AC，∵矩形ABCD中，AD=23CD=6，ADCD23633∴tan∠ACD===，∴∠ACD=30°，∴∠BAC=30°由折疊的性質(zhì)知EF是BG的垂直平分線，∴∠HBC+∠BFE=90°=∠BEF+∠BFE∴∠HBC=∠BEF，∴△EBF∽△BCH由折疊的性質(zhì)知∠EGF=∠ABC=90°，∵∠EGD=90°，∴點(diǎn)DGFDE，在Rt△EAD和Rt△EGD中，AE=BE=EGDE=DE，∴Rt△EAD≌Rt△EGDHL，∴DG=AD=23∵AE=BE=EG，∴點(diǎn)AGB都在以E為圓心，3為半徑的圓上，DE=23+32=21，∴當(dāng)點(diǎn)DGEDG長度的最小值是21-3F是線段BC上的一點(diǎn)，∴DGE三點(diǎn)不當(dāng)點(diǎn)G落在矩形ABCD的對角線AC上時，由折疊的性質(zhì)知BE=EG，∵E是AB∠BAC=30°，∴BE=EG=EA∠BAC=∠EGA=30°，∴∠BEG=∠BAC+∠EGA=60°，∴△BGE是等邊三角形，∴BG的長度是3F是線段BCG不會落在矩形ABCD的對角線BD1414ABCD沿BEA與點(diǎn)BG=BF．EA并延長分別交BDBC、GF于點(diǎn)、(1)若∠AEB=55°∠GBF=(2)若AB=3BC=4ED=】40°/40度；．5-10/-10+5(1)先證明∠DEF=180°-2×55°=70°∠BFG=∠DEF=70°BG=BF(2)F作FQ⊥AD于QCF=DQFQ=CD=3∠BGF=∠BFG∠DEG=∠BFG∠DGE=∠BGF∠DEG=∠DGEDE=DG=xBD=3+42=5BG=BF=5-xCF=4-5-x=x-1EQ=x-x-1=1EF=1+32=10E=AE=4-xAF=10-4+x用cos∠BFA=cos∠FEQ(1)∵∠AEB=55°∠AEB=∠EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案為：40°．(2)F作FQ⊥AD于Q，∴四邊形FCDQ是矩形，則CF=DQFQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG∠DEG=∠BFG∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴設(shè)DE=DG=x，∵矩形ABCDAB=3BC=4，∴BD=3+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，15∴EQ=x-x-1=1，∴EF=1+32=10，由折疊可得：E=AE=4-x，∴AF=10-4+x，∵∠QEF=∠BFA，∴cos∠BFA=cos∠FEQ，EQEF1FBF∴∴=，10-4+x5-x=，10解得：x=5-10∴DE=5-10．故答案為：5-10．15(1)操作判斷(1)ABCDE是BC邊上(點(diǎn)E不與點(diǎn)BC重合)AE折疊△ABE到△AFE(2)所示；(2)沿過點(diǎn)FE的對稱點(diǎn)G落在AEMNC的對稱點(diǎn)記為H(3)所示；BM(4)所示．①BMN三點(diǎn)()一條直線上；②AE和BN的位置關(guān)系是；③如圖(5)ANE在BC上的位置，()點(diǎn)EAN平分∠DAE．(2)遷移探究蘇鈺同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片ABCDAB=4BC=6(1)(6)或圖(7)．請完成下列探究：①當(dāng)點(diǎn)N在CD(6)BE和CN有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②當(dāng)DN的長為1BE的長．16(1)①在，②AE⊥BN；③不存在；BECN23165(2)①=②BE=2或．(1)①E的對稱點(diǎn)為EBF⊥EEMF⊥EE，②由①AE⊥BN∠BAE=∠CBNAAS可判定△ABE≌△BCN③由AAS可判定△DAN≌△MANAM=ADAB=AMAB>AM(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN②當(dāng)N在CD上時，△ABE∽△BCNN在AD△ABE∽△NAB質(zhì)即可求解．(1)解E的對稱點(diǎn)為E，∴BF⊥EEMF⊥EE，∴BFM共線，②由①知：BFM共線，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，∠BAE=∠CBN在△ABE和△BCN中，∠ABC=∠BCN，AB=BC∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四邊形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，∠D=∠AMN在△DAN和△MAN中，∠DAN=∠MANAN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜邊，∴AB>AM，17∴AB=AM與AB>AM矛盾，BECN23(2)=由(1)中的②得：∠BAE=∠CBN，∠ABE=∠C=90°，∴△ABE∽△BCN，BECNABBC23∴==；②當(dāng)N在CD上時，CN=CD-DN=3，由①知：△ABE∽△BCN，BECNABBC23∴==，23∴BE=CN=2，當(dāng)N在AD上時，AN=AD-DN=5，∵∠BAE=∠CBN=∠ANB，∠ABE=∠BAN=90°，∴△ABE∽△NAB，BEABBE4ABAN4∴∴==，，5165∴BE=，165綜上所述：BE=2或．16在矩形ABCD中，AD=2AB=8P是邊CD△BPC沿直線BP折疊得到△．(1)如圖1P與點(diǎn)D重合時，BC′與AD交于點(diǎn)EBE的長度；(2)當(dāng)點(diǎn)P為CDBC′與直線AD相交于點(diǎn)EDE的長度；(3)如圖2AB中點(diǎn)FDFC′恰好落在DFBFDP(1)BE的長度為5；11383(2)DE的長度為或;(3)四邊形BFDP是平行四邊形(理由見解析)18本題利用了折疊的知識(折疊后的兩個圖形全等)以及矩形的性質(zhì)()及平行四邊形的判定有關(guān)知識．(1)利用矩形性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可推出BE=DEBE=x,則DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；CGAB8BCAECG4(2)設(shè)DE=m,則AE=m+8BE交CD于G△AEB∽△CBG出==832m+8134323CG=PC=CD=PC=CD=m+83(3)由中點(diǎn)定義可得AF=BF作M∥AD交AB于點(diǎn)MF作FN⊥于點(diǎn)N12FMAFMAD質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得∠BP=∠CBP=∠BC△M∽△FDA=△BFN∽△M12FM=FN∠F=∠F=∠M推出∠F=∠BP線的判定定理可得DF∥BPBFDP是平行四邊形．點(diǎn)睛片段(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折疊得：∠DBC=∠，∴∠ADB=∠∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，設(shè)BE=xDE=xAE=8-x，在Rt△ABE中，AE+AB=BE2，∴(8-x)+4=x2，解得：x=5，∴BE的長度為5；(2)設(shè)DE=mAE=m+8BE交CD于G，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=8CD=AB=4AD∥BC∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，CGABBCAE32CG48∴==，m+8∴CG=，m+813434343732當(dāng)PC=CD=時，BP=BC+PC2=8+=，連接作H⊥CD于點(diǎn)H∵將△BPC沿直線BP折疊得到△，∴⊥BP△≌△BPC，∴S=2S，1212∴BP?=2×BC?PC，191243731243即×=2××8×，163737∴=，∵∠CH+∠BPC=90°∠PBC+∠BPC=90°，∴∠CH=∠PBC，∵∠=∠BCP=90°，∴△H∽△BPC，HPCCHBCBPH43CH8∴====，4316379637∴H=CH=，∵∠HG=∠EDG=90°，∴H∥AE，∴∠GC′H=∠AEB，∴△GH∽△EBA，m+8GHABHAEGH4∴==，6437(m+8)∴GH=，∵CH+GH=CG，96376437(m+8)1132m+8∴+=，解得：m=，3113經(jīng)檢驗，m=是該方程的解，11∴DE=；323838381032當(dāng)PC=CD=時，BP=BC+PC2=8+=，連接作H⊥CDCD交的延長線于點(diǎn)HG⊥AD于點(diǎn)G8105同理可得：=，同理△H∽△BPC，8583HPCCHBCBPH83CH8∴====，85245∴H=CH=，24545∴DH=CH-CD=-4=，∵∠HDG=∠H=∠GD=90°，∴四邊形H是矩形，4585∴G=DH=DG=H=，∵∠GE=∠A=90°∠EG=∠BEA，∴△EG∽△BEA，20454EGAEGAB15∴===，∴AE=5EG，85325∵AE+EG=AG=AD-DG=8-=，325∴5EG+EG=，16∴EG=，1585161583∴DE=DG+EG=+=，118綜上所述，DE的長度為或；33(3)四邊形BFDP∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴AF=BF，過點(diǎn)作M∥ADAB交于點(diǎn)MF作FN⊥N于點(diǎn)則∠M=∠ADF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC,AB∥CD，∴M∥BC，∴∠M=∠BC，12由翻折得：∠BP=∠CBP=，，∠BC=BC=8∵M(jìn)∥AD，∴△M∽△FDA，F(xiàn)MAFFMBFMADM∴∴==，，∵∠BNF=∠=90°∠FBN=∠BM，∴△BFN～△MFNBFFMBFMFN∴∴==，，BF∴FM=FN，又∵FM⊥CMFN⊥B，，12∴∠F=∠F=∠M，∴∠F=∠BP，∴DF∥BP，21∴四邊形BFDP是平行四邊形．17矩形ABCD中，AB=6AD=8E為對角線ACE作EF⊥AD于點(diǎn)FEG⊥AC交邊BC于點(diǎn)G△AEF沿AC折疊得△AEHHG．(1)如圖1H落在邊BCAH=CH；(2)如圖2AHGHG的長；(3)若△EHG是以EGEF的長．(1)見解析9(2)HG=(3)EF=4103或4(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明∠ACH=∠HAC(2)結(jié)合(1)的方法AG=CGRt△AEGRt△HEG分別求得EG,HG；(3)當(dāng)△EHG是以EG①當(dāng)EG=EH②當(dāng)EG=HG合(2)的方法，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)即可解決問題．(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠ACH.∵△AHE由△AFE折疊得到，∴∠HAC=∠DAE，∴∠HAC=∠ACH，∴AH=CH；(2)∵矩形ABCD中，AB=6,AD=8．∴AC=10.當(dāng)AHG三點(diǎn)在同一條直線上時，∠EHG=90°．同(1)可得AG=CG．又∵EG⊥AC，1∴AE=AC=5．2∵∠AEH+∠HEG=90°∠AEH+∠HAE=90°，∴∠HEG=∠HAC=∠CAD．EGAE34∵在Rt△AEG中，tan∠EAG==，，34154∴EG=AE=．HGEG35∵在Rt△HEG中，sin∠HEG==3594∴HG=EG=．(3)①若EH=EG3①(圖3①)22設(shè)EF=EH=EG=x，∵EF⊥AD，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，AEACAE10AFADAF8EFCDx∴∴====654∴AE=x,AF=x，3343∴AH=AF=x，∵∠AHE=∠CEG=90°∠HAE=∠GCEEH=EH，∴△AHE≌△CGEAAS，∴AH=CE，4353∴x=10-x，103∴x=103∴EF=．②若HG=GE3②．(圖3②)過點(diǎn)G作GM⊥HE，設(shè)EF=a,5∵EC=10-a，3∵∠AHE=∠CEG=90°∠HAE=∠GCE，∴△AHE∽△CGE，34345315254∴EG=EC=10-a=-a，∵∠GME=∠EHA∠MGE=90°-∠MEG=∠HAE，∴△MGE∽△HEA，MEAHAHAEEGAEADAC∴∵==，45=，4∴AH=AE，545451554∴ME=EG=-a=6-a，2∴HE=2ME=12-2a=EF，∴12-2a=a，∴a=4，∴EF=4，103綜上，EF=或4．2318綜合與實踐ABCDEFA與點(diǎn)EB落在點(diǎn)C1∠與∠的數(shù)量關(guān)系．EFA與BE上的點(diǎn)GB落在EF上的點(diǎn)PPD2∠APD2A關(guān)于直線CP的對稱點(diǎn)PABAAC，，的度∠PAB3數(shù)．初步嘗試：∠=∠∠APD=60°∠PAB=15°BE=CEBE=BE∠AEB=∠⊥AE，，，∠C=90°AE∥△AFP≌△DFPSAS△APD是等邊三角形，即可得到答案；CAA(2)△APD∠PDC=30°得∠PAC=15°∠ACP=30°AC=A，C∠ACP=∠CP=30°，證明△AAB≌△CABSSS到∠CAB=30°∠CAP=∠CAP=15°∠PAB的度數(shù)．∠=∠，，，由折疊的性質(zhì)可知，BE=CEBE=BE∠AEB=∠⊥AE∴BE=CE=BE，∴∠=∠B∠=∠C，∵∠+∠B+∠C+∠=2∠B+∠C=180°，∴∠C=90°⊥，∴AE∥，∴∠AEB=∠，∴∠=∠；∠APD=60°理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD∠ADC=90°，24由折疊性質(zhì)可得：AF=DFEF⊥ADAB=AP，AF=DF在△AFP和△DFP中，∠AFP=∠DFP=90°，F(xiàn)P=FP∴△AFP≌△DFPSAS，∴AP=PD，∴AP=AD=PD，∴△APD是等邊三角形，∴∠APD=60°；CAA，、由(2)得△APD是等邊三角形，∴∠PAD=∠PDA=∠APD=60°AP=DP=AD，∵∠ADC=90°，∴∠PDC=30°，又∵PD=AD=DC，12∴∠DPC=∠DCP=×180°-30°=75°∠DAC=∠DCA=45°，∴∠PAC=∠PAD-∠DAC=60°-45°=15°∠ACP=∠DCP-∠DCA=75°-45°=30°，，，由對稱性質(zhì)得：AC=C∠ACP=∠CP=30°∴∠ACA=60°，∴△ACA是等邊三角形，A=CB=BAB=BC在△AAB與△CAB中，，∴△AAB≌△CABSSS，12∴∠AAB=∠CAB=∠AAC=30°，又∵∠CAP=∠CAP=15°，∴∠PAB=∠CAB-∠CAP=15°．19綜合與實踐ABCDADBCEFBA的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)NBM．(1)如圖(1)若AB=BCN落在EF上時，BF和BN的數(shù)量關(guān)系是∠NBF的度數(shù)為．思考探究：25(2)在AB=BC△BMN沿BNM的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M．當(dāng)點(diǎn)M落在CD(2)BNBM分別交EF于點(diǎn)JK．若DM=4BJK的面積．開放拓展：(3)如圖(3)ABCD中，AB=2AD=4BBMA的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)NABNM沿BNA的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)PM的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，11連接CPDPPC=PDAM的長．(溫馨提示：2+3=2-3，=2-1)2+11(1)BF=BN60°2(2)2+2(3)4-2312(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得：AB=BNBF=CF=BC∠BNF=30°直角三角形的兩銳角互余可得結(jié)論；(2)由折疊得：BM=BMRt△ABM≌Rt△CBM(HL)知AM=CM∠ABM=∠CBM△BFJ12ABCDBF=FJ=BC=2+2JK=2面積公式可得結(jié)論；1(3)如圖(3)點(diǎn)P作PG⊥BC于GPH⊥CD于HDH=CH=CD212=AB=1PG=CH=1BN=BP=AB=2∠NBP=∠ABNPL233=xML=2xMP=3xNL==NM+ML(1)AB=BNBF=CF∠BFN=90°，∵AB=BC，1∴BF=BN，2∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，12故答案為：BF=BN60°；(2)由折疊得：BM=BM，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△