2020年大學(xué)物理學(xué)答案-第3版修訂版-上冊(cè)-北京郵電大學(xué)完全版

2020年大學(xué)物理學(xué)答案—第3版修訂

版—上冊(cè)—北京郵電大學(xué)完全版

大學(xué)物理習(xí)題及解答

習(xí)題一

drdrdv

1.6|Ar|與4有無(wú)不同？df和d7有無(wú)不同？df和

dv

我有無(wú)不同?其不同在哪里?試舉例說(shuō)明.

解：（1）M是位移的模，△「是位矢的模的增量，

即IM沙2-4，4=1司一同;

（2）?是速度的模,即廿

不只是速度在徑向上的分量.

drdrdr

???有（式中戶叫做單位矢）,則丁丁+石

式中M就是速度徑向上的分量，

dri.dr

.?.力行不同如題1-1圖所示.

題

1-1圖

（3）扃dv表示加速度的模，即|_止|_d而v，d加v是加速度。在

切向上的分量.

???有一《表軌道節(jié)線方向單位矢），所以

dvdv?df

——=——r+v——

drdrdr

dv

式中而就是加速度的切向分量.

dr.df

（得與正的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予

討論）

1.7設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為尸、①，在

計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求出r=

drd2r

次+y,然后根據(jù)產(chǎn)dr,及4=W?而求得結(jié)果；又

有人先計(jì)算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)

你認(rèn)為兩種方法哪一種正確?為什么?兩者差別

何在？

解:，在平面直角坐標(biāo)系中，有尸="+爐，

_drdx-dy-t

?.v=—=—i+—/

drdrdr

_d2rd2x^d2y.

a=--=--i+--j

dt2d產(chǎn)d產(chǎn)

故它們的模即為

而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上

的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作

dr.d2

其二，可能是將了與正誤作速度與加速度的模。

在1-1題中已說(shuō)明*不是速度的模，而只是速度

在徑向上的分量，同樣，條也不是加速度的模,

它只是加速度在徑向分量中的一部分

產(chǎn)=出一1畝〃。或者概括性地說(shuō)，前一種方法只

考慮了位矢尸在徑向（即量值）方面隨時(shí)間的變

化率，而沒(méi)有考慮位矢了及速度/的方向隨間的變

化率對(duì)速度、加速度的貢獻(xiàn)。

1.8一質(zhì)點(diǎn)在g平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為

_i_

x=3f+5,y=2/2+3^-4.

式中，以s計(jì)，以m計(jì).⑴以時(shí)間,為變量，

寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；（2）求出尸1s時(shí)

刻和f=2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)

的位移；（3）計(jì)算「=0s時(shí)刻到「=4s時(shí)刻內(nèi)的

平均速度；（4）求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算,

=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；（5）計(jì)算r=Os至！b=4s內(nèi)

質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的

表示式，計(jì)算r=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度（請(qǐng)把位置

矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、

瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量

式）.

解.（］）/=（3f+5）f+（g產(chǎn)+3f—4）7皿

⑵將』，"2代入上式即有

^=81-0.5；m

弓=W+417m

△/=弓一片=37+4.57m

⑶V^=5]—4了/=177+16了

=Ar

v=——G-耳里押=37+5/3

△t4-0

dr--」

（4）/=擊=37+Q+3）/m.s

貝!|V4=37+7；ms

（5）\*v0=3i+3j,v4=3i+lj

/z>\ms

⑹a=——df=li

這說(shuō)明該點(diǎn)只有)方向的加速度，且為恒量。

1.9質(zhì)點(diǎn)沿工軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為

。=2+63”的單位為msrx的單位為m.質(zhì)點(diǎn)

在、=0處，速度為10ms1,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)

處的速度值.

dvdvdxdv

解：.dtdxdtdr

分離變量：udu=adx=(2-]-6x2)dx

兩邊積分得N=2X+2X?

由題知，x=0時(shí)f%=1。，；?c=5()

...v=2J/+%+25m-s-1

1.10已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),其加速度為a=

4+3ES-2,開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，x=5m,v=0,求該質(zhì)

點(diǎn)在『=10s時(shí)的速度和位置.

解：:"*4+夕

分離變量，得du=(4+3f)df

積分，得v=4t+~t2+C]

由題知，=0,%=0,???。=。

/32

故5廠

dx.32

又因?yàn)?了二4七廠

3

分離變量，2⑷+V)df

C213

積分得.2,+于+C2

由題知:0,、。=5,??.Q=5

故>2產(chǎn)+步+5

所以"10s時(shí)

2-1

v10=4xl0+-xl0=190m-s

23

x10=2xl0+-xl0+5=705m

一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程

為。=2+3L。式中以弧度計(jì)，，以秒計(jì)，求：⑴

t=2s(2)當(dāng)

加速度的方向和半徑成45°角時(shí)，其角位移是

多少？

解：”⑶

(l),=2s時(shí),q=R，=lxl8x2=36ms-2

22-2

an==lx(9x2)=129r6s

⑵當(dāng)加速度方向與半徑成45。角時(shí)，有345°;今"

即R(D2=R(3亦即(“了二⑻

32

則解得r=9于是角位移為

2

9=2+3/=2+3x—=2.67ra

9

質(zhì)點(diǎn)沿半徑為A的圓周按s=卬一5”的規(guī)律運(yùn)動(dòng),

式中，為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧長(zhǎng),。都是常

量，求：（1*時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；（2），為何值時(shí),

加速度在數(shù)值上等于。.

解：（1），哼=，。-初

d=（%一僅）

則

加速度與半徑的夾角為

(p=arctan—=----------

a”(v0-bt)

（2）由題意應(yīng)有

一4

4

?=/+仇一，),n(%_4)4=()

.??當(dāng)"力時(shí)，a=b

一船以速率匕=30km?hT沿直線向東行駛，另

一小艇在其前方以速率「2=40km?h-1

沿直線向北行駛，問(wèn)在船上看小艇的速度為何？

在艇上看船的速度又為何？

解：（1）大船看小艇，則有-2用,依題意作速

度矢量圖如題1-13圖（a）

(a)(b)

題1-13圖

v=yjv)2+vf=50km-h-1

由圖可知21

3

0=arctan—=arctan—=36.87°

v4

方向北偏西2

⑵小船看大船,則有%=『臉依題意作出速度

矢量圖如題1-13圖(b),同上法，得

匕2=50km-h-1

方向南偏東36.87°

習(xí)題二

一細(xì)繩跨過(guò)一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為

叫的物體，另一邊穿在質(zhì)量為%的圓柱體的豎直

細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng).今看到繩子從圓柱

細(xì)孔中加速上升，柱體相對(duì)于繩子以勻加速度屋

下滑，求叫，性相對(duì)于地面的加速度、繩的張力

及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長(zhǎng)，滑

輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì)).

解:因繩不可伸長(zhǎng)，故滑輪兩邊繩子的加速度均

為由,其對(duì)于叫則為牽連加速度，又知必對(duì)繩子

的相對(duì)加速度為屋，故人對(duì)地加速度，由圖(b)可

知,為

二%一

a2Q，

①

又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力/

在數(shù)值上等于繩的張力7,由牛頓定律，有

m}g-T=m}a}

②

T-m2g=m2a2

③

聯(lián)立①、②、③式，得

_(J/一m2)8+加2優(yōu)

1

+m2

{m}-m2)g一呵壯

m}+m2

r_T_m]m2(2g-a)

叫+g

討論(1)若d=0,貝！h=生表示柱體與繩之間無(wú)相

對(duì)滑動(dòng).

⑵若"=2g,則T=/=0,表示柱體與繩之間無(wú)任何

作用力，此時(shí)叫，叫均作自由落體運(yùn)動(dòng).

(a)(b)

題2-1圖

一個(gè)質(zhì)量為p的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面(傾角

為Q上以初速度％運(yùn)動(dòng)，％的方向與斜面底邊的

水平線AB平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌

道.

解：物體置于斜面上受到重力心，心取力。方向?yàn)?/p>

X軸，XY.

題2-2圖

X方向：工=。

x=vot①

F、,=mgsina=ma

y方向:v

②

v.=0

f=0時(shí)y=0w

1.2

y=—gsina/

由①、②式消去，，得2

2

y=-LgSma-X

2詔

質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在x。平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，受一

恒力作用，力的分量為￡=6N,4=-7N,當(dāng)/=

0時(shí),工=尸0,vv=-2m?s-1,v=0.求

當(dāng)「=2s⑴位矢；⑵速度.

A63

用牛.m168

久-7_2

a=—=——ms

'vm16

(1)

r23c5_i

v=v?+Iadt——24—x2=-m,s

XrXUnJorv84

「2—7c7_i

v=u0+Iadt=x2=—m,s

，＞°J。＞168

于是質(zhì)點(diǎn)在2s時(shí)的速度

_5「7=t

v=——i——/m-s

48

(2)

一/1,2、=12r

「=(%/+耳+2aytJ

,13：1一7i

(-2x2+-x-x4)z+—(—)x4y

2821o

48

2.10質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成

正比的阻力人a為常數(shù)）作用，ko時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度

為％，證明a），時(shí)刻的速度為-=%/5；（2）由o

到,的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離為

團(tuán)％k

x=(T)El-^1;(3)停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的距離

為嗚)；(4)證明當(dāng)y〃必時(shí)速度減至”的：，式中H

為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量.

一kvdv

a=-----=—

答：⑴???mdt

分離變量，得

dv-kdt

vm

「dv_p/-kdt

即J%yJo

v-Ai

In—=Ine

%

kj

v—voe

x=jvdz=￡v0e^dt-竺^(1-e/)

⑵ok

(3)質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即tf8,

故有心“山號(hào)

m

(4)當(dāng)廿7時(shí)，其速度為

--1%

v=vemk=ve=—

ooe

即速度減至I。的上

加。二30。的初速環(huán)從地面拋出，若忽略空氣阻力,

求質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)相對(duì)拋射時(shí)的動(dòng)量的增量.

解：依題意作出示意圖如題2-6圖

mv

在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時(shí)的末速度

大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下，

而拋物線具有對(duì)，軸對(duì)稱性，故末速度與X軸夾角

亦為3。。，則動(dòng)量的增量為

Ap=mv-mv^

由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為所。I,方向豎直向

下.

一質(zhì)量為，”的小球從某一高度處水平拋出，落

在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞.并在拋出1S,跳

回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與

拋出時(shí)相等.求小球與桌面碰撞過(guò)程中，桌面給

予小球的沖量的大小和方向.并回答在碰撞過(guò)程

中，小球的動(dòng)量是否守恒？

解：由題知，小球落地時(shí)間為05s.因小球?yàn)槠?/p>

拋運(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大小為

「g"05g,小球上跳速度的大小亦為彩=05g.設(shè)向

上為，軸正向，則動(dòng)量的增量

邸=mv2-mv,方向豎直向上，

大小

|Ap|=mv2-(-mVj)=mg

碰撞過(guò)程中動(dòng)量不守恒.這是因?yàn)樵谂鲎策^(guò)程

中，小球受到地面給予的沖力作用.另外，碰撞

前初動(dòng)量方向斜向下，碰后末動(dòng)量方向斜向上，

這也說(shuō)明動(dòng)量不守恒.

作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為八(10+2NN,

式中，的單位是S,(1)求4s后，這物體的動(dòng)量和

速度的變化，以及力給予物體的沖量.（2）為了

使這力的沖量為200N?s,該力應(yīng)在這物體上

作用多久，試就一原來(lái)靜止的物體和一個(gè)具有初

速度-671n?s"的物體，回答這兩個(gè)問(wèn)題.

解：（1）若物體原來(lái)靜止，則

醞?=（戶山=￡（10+2z）7dr=56kgm-s-l7沿，軸正向，

△%—=5.6m-s-lr

m

T]=Ap]=56kgrn-s-7

若物體原來(lái)具有-6mJ初速，則

?（）=一加環(huán)，"=機(jī)（一環(huán)+[：￡由）=-mv0+工戶”于是

一="瓦"鼠=甄,

同理，AV2=Av,,I2=7,

這說(shuō)明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不

論物體有無(wú)初動(dòng)量，也不論初動(dòng)量有多大，那么

物體獲得的動(dòng)量的增量（亦即沖量）就一定相同，

這就是動(dòng)量定理.

（2）同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即

I=1（10+2r）dr=l（k+/

Jo

亦即r2+10?-200=0

解得"10s,（—20s舍去）

一質(zhì)量為粗的質(zhì)點(diǎn)在g平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢

量為

r=acoscoti4-/?sincotj

71__________

求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及f=0到'F

的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的改變量.

解：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為

p=mv=mco（-asincoti+bcoscotj）

71

將-0和“方分別代入上式，得

p-mcobjp=-mcoai

則動(dòng)量的增量亦即x質(zhì)置所2受外務(wù)的沖量為

7=Ap=p2-pj=-mco{ai+bj）

一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為%ms,當(dāng)子彈在

槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為F

二（""）N（〃，b為常數(shù)）,其中,以秒為單位：（1）假設(shè)

子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走

完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；（2）求子彈所受的沖量.（3）

求子彈的質(zhì)量.

解：（1）由題意，子彈到槍口時(shí)，有

_a

F=（a-ht）=0b

⑵子彈所受的沖量

/=［（6r-ht）dt=at--bt2

Jo2

將’4代人,得

1=匕

2b

（3）由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量

Ia2

m--=------

%2。%

一炮彈質(zhì)量為機(jī)，以速率「飛行，其內(nèi)部炸藥使

此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加

的動(dòng)能為T,且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的攵倍，

如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為

2kT2T

v+vm,vkm

證明：設(shè)一塊為叫，則另一塊為〃%,

㈣=6%及+m2=m

kmm

m=-----,=-----

于是得1kA+\2k+\

又設(shè)町的速度為匕,%的速度為打，則有

T12121mv2

1=-m]Vj+—m2v2-~

②

mv=mxVj+m2v2

③

聯(lián)立①、③解得

v2=(k+\)v—kv]

④

將④代入②，并整理得

2T

(V,-V)2

km

2T

于是有V'=V±fc

將其代入④式，有

2kT

v2=v±y--

Vm

又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只

能取

12kT2T

Vj=v+-----,v=v-

m2km

證畢.

設(shè)%=7f_6jN.(1)當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

r=-3i+4]+16km時(shí)，求戶所作的功.(2)r,試求平均

功率.（3）如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg,試求動(dòng)能的

變化.

解：（1）由題知，心為恒力，

人合=戶6=（7\6J）?（—3f+4）+16后）

=一21—24=-45J

（3）由動(dòng)能定理，^=A=-45J

以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖?/p>

力與鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在鐵錘擊第

一次時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi)1cm,問(wèn)擊第二

次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時(shí)的速

度相同.

解：以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為y坐標(biāo)正

向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為

題2-13圖

f=-ky

第一錘外力的功為A

A=J/'dy=￡-fdy=￡kydy=1

①一

式中廣是鐵錘作用于釘上的力，/是木板作用于

釘上的力，在d—0時(shí)，f1-f.

設(shè)第二錘外力的功為4,則同理，有

②

由題意，有

&=A=A(—mv2)

即

所以,

于是釘子第二次能進(jìn)入的深度為

Ay=y2-y,=V2-1=0.414cm

設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量為Q在其保守力場(chǎng)中位矢

為，點(diǎn)的勢(shì)能為Ep(r)=Ur",試求質(zhì)點(diǎn)所受保守力

的大小和方向.

方向與位矢尸的方向相反，即指向力心.

一根勁度系數(shù)為匕的輕彈簧A的下端，掛一根

勁度系數(shù)為七的輕彈簧入8的下端

一重物C,C的質(zhì)量為,求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩

彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈性勢(shì)

能之比.

解：A、BC,有

FA=FB=Mg

又FA=3

FB=k2^x2

所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為

AXjk2

AXk、

2

彈性勢(shì)能之比為

E1/A2k,1

Pn?—心Ar?

2--

(1)試計(jì)算月球和地球?qū)Αǎ矬w的引力相抵消的

一點(diǎn)P,距月球表面的距離是多少？X1024kg,X

108m,X1022kg,X106m.(2)如果一個(gè)lkg的物

體在距月球和地球均為無(wú)限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零，那

么它在p點(diǎn)的勢(shì)能為多少？

解：(1)設(shè)在距月球中心為「處尸月引"地引，由萬(wàn)有

引力定律，有

「疝%j「疝%也

G-r^=GWrf

經(jīng)整理，得

,7.35x1()22

24

=75.98xlO+,7.35x1()22、3.48x1()8

=38.32x1()6m

則P點(diǎn)處至月球表面的距離為

67

h=r-rn=(38.32-1.74)xlO=3.66xl0m

(2)質(zhì)量為小的物體在p點(diǎn)的引力勢(shì)能為

y也-

E，r(R—r)

“rSil7.35X1O222r25.98X1024

=-6.67x10"x----------6.67x10"x----------——-

3.83xl07(38.4-3.83)xl07

=1.28xl()6j

,一物體質(zhì)量為2kg,以初速度1=3m?s】從斜

面A點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為8N,到達(dá)B點(diǎn)

后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈

簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度.

解：取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢(shì)

能零點(diǎn)，彈簧原

長(zhǎng)處g彈性勢(shì)能零點(diǎn)。則由功能原理，有

zm

-frs=-1g12+mgssin37°)

12

mv+sin37°-frs

k2-------1------------

2

式中s=4.8+0.2=5m,x=0.2m,再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得

4=1390N-m-1

再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度本

r1

-frs=mgs'sin37°--kx

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得/=1.4m,

則木塊彈回高度

〃'=s'sin370=0.84m

質(zhì)量為M的大木塊具有半徑為R的四分之一弧

形槽，.質(zhì)量為，〃的小立方體從曲面的頂端滑下,

大木塊放在光滑水平面上，二者都作無(wú)摩擦的運(yùn)

動(dòng)，而且都從靜止開(kāi)始，求小木塊脫離大木塊時(shí)

的

解：心從〃上下滑的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，以八

地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則

有

11

mgR--mv?2+—MV92

又下滑過(guò)程，動(dòng)量守后，&加，加為系統(tǒng)則在〃，脫

離M瞬間，水平方向有

mv-MV=0

聯(lián)立，以上兩式，得

v=12Mg.

N(m+M)

一個(gè)小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對(duì)

心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向互相垂

直.

證：兩小球碰撞過(guò)程中，機(jī)械能守恒，有

~mvo=^mv\+；根田

即詔=V：+*

①

(a)(b)

(a)(b)

又碰撞過(guò)程中，動(dòng)量守恒，即有

mv0=mv1+mv2

亦即%=G+%

②

由②可作出矢量三角形如圖(b),又由①式可知

三矢量之間滿足勾股定理，且以記為斜邊，故知可

與當(dāng)是互相垂直的.

第三習(xí)題

一質(zhì)量為”的質(zhì)點(diǎn)位于(和必)處，速度為昨匕

質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿，負(fù)方向的力/的作用，求相對(duì)于

坐標(biāo)原點(diǎn)的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力

矩.

解：由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為

r=xJ+y]j

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為

f=-fi

所以，質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量為

Zo=rxmv

=(xj+yJ)x/7j(vJ+vyJ)

={xxrnvy-yxmvx}k

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為

==(x/+y7)x(-/T)=y〃

哈雷彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓.它離

太陽(yáng)最近距離為6=X10%時(shí)的速率是匕=x

104m?s-1,它離太陽(yáng)最遠(yuǎn)時(shí)的速率是I=義

102m?s-1少？（太陽(yáng)位

于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。）

解：哈雷彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽(yáng)的引力一

一即有心力的作用，所以角動(dòng)量守恒；又由于哈

雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半

徑垂直，故有

匕=r2mv2

104

z]Vi_8.75xlOx5.46xl0l2

-7—■2).ZOX]Um

2

v29.08xio

物體質(zhì)量為3kg,尸0時(shí)位于「=4fm,v=7+67m-s-1,

如一恒力八5加作用在物體上，求3秒后，（1）物

體動(dòng)量的變化；（2）相對(duì)二軸角動(dòng)量的變化.

-1

解：（1）Ap=|fit=￡5jdt=15Jkgm-s

⑵解（一）x=xO+%/=4+3=7

12zc15c，

y=+—at'=6x3+—x—x3~=25.5/

223

即斤=4f,弓=77+25.5)

Vx=V0,r=1

v=v+tzr=6+—x3=11

yv0n>v3

%=：i+6j,v=7+11]

即2

Z]=rxx/nv,=47x3(7+67)=721

L2=r2xmv2=(7?+25.5J)x3(1+11j)=154.5)1

2-1

AL=Z2-Z]=82.5^kg-m-s

,.dz

解(二)?:M=7

AZ=fAf-dr=f(rxF)dr

JoJo

=￡(4+r)7+(6r+^)x|r2)Jx5；dz

2-1

=f5(4+t)kdt=82.5工kg-m-s

JO

題2-24圖

平板中央開(kāi)一小孔，質(zhì)量為加的小球用細(xì)線系

住，細(xì)線穿過(guò)小孔后掛一質(zhì)量為M的重物.小球

作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為％時(shí)重物達(dá)到平衡.今

在M的下方再掛一質(zhì)量為％的物體，如題2-24

圖.試問(wèn)這時(shí)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度〃和

半徑，為多少？

解：在只掛重物時(shí)M,小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

為Mg,即

M}g=mrncoJ

①

掛上網(wǎng)后，則有

（M+^2）g=mr'①'2

②

重力對(duì)圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量

守恒.

即=r'mv'

=>啰()=/①'

③

聯(lián)立①、②、③得

V〃叫

/_1M]g(M+用2)3

J叫%

,M,+M,I—M~

飛輪的質(zhì)量比=60kg,半徑R=,繞其水平中心

軸。轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900rev?mirf：現(xiàn)利用一制動(dòng)

的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力?

可使飛輪減速.已知閘桿的尺寸如題2-25圖所

示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)〃二，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)

慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算.試求：

(1)設(shè)F=100N,問(wèn)可使飛輪在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)停止

轉(zhuǎn)動(dòng)?在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)？

(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的

力F?

解：(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖

(b)).圖中N、V是正壓力，F(xiàn),、7是摩擦力，F(xiàn),

和4是桿在A點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，R是輪的重

力，P是輪在。軸處所受支承力.

(a)

桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對(duì)A點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，

設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，則有

=0

F(l,+L)z-N'l.N=丘

'1Z1/

對(duì)飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有"-工式中負(fù)號(hào)表示夕

與角速度。方向相反.

?.*Fr=N=N'

J；"2

Fr-RN'-尸

I=-mR1,

又?:2

8=FrR_-24h+k)F

"IniRl,

①

以八100N等代入上式，得

-2x0.40x(0.50+0.75)-2

D—60x0.25x0.50X100=rad-s

3

由此可算出自施加制動(dòng)閘開(kāi)始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)

的時(shí)間為

一——900x2乃'3=7』

/760x40

這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角位移為

°2604234

=53.1x2乃rad

可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了53.1轉(zhuǎn).

2zr

⑵%=900x而rad',要求飛輪轉(zhuǎn)速在二2s內(nèi)減少一

半，可知

t2t2

用上面式⑴所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力

為

FmRl^p

2〃(/1+4)

60x0.25x0.50x15^-

-2x0.40x(0.50+0.75)x2

=177N

固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑

的水平對(duì)稱軸。。轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)大小圓柱體的半徑分

別為R和,,質(zhì)量分別為M和機(jī).繞在兩柱體上的

細(xì)繩分別與物體叫和心相連，叫和飛則掛在圓柱體

的兩側(cè)，.設(shè)R=,r=,〃?=4kg,M=10kg,

%=嗎=2kg,且開(kāi)始時(shí)叫，加2離地均為〃=2m?求:

(1)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；

(2)兩側(cè)細(xì)繩的張力.

解：設(shè)，”外和B分別為町，性和柱體的加速度及

角加速度，方向如圖(如圖b).

(a)圖(b)

圖

(1)叫，叫和柱體的運(yùn)動(dòng)方程如下:

T2-m2g=m2ci?

m1g-7；=機(jī)i%②

作-心=甲③

式中T：=T[,T；=12?2=r/3,ay=R/3

I=LMR2+-mr2

22

由上式求得

cRm.-rm

"EnE2+嗎9戶g

_0.2x2—0.1x2

-xl0x0.202+-x4x0.102+2x0.202+2x0.102

22

=6.13rad-s-2

⑵由①式

T2=m2rft+m2g=2x0.10x6.13+2x9.8=20.8N

由②式

T[=nt[g-m、R0=2x9.8-2x0.2.x6.13=17.1N

.設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為

M,半徑為「，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，

忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)叫=50kg,=

200kg,M=15kg,r=m

解：分別以叫，叫滑輪為研究對(duì)象，受力圖如圖(b)

所示.對(duì)〃儲(chǔ)叫運(yùn)用牛頓定律，有

m

iS-Ti=rn2aQ)

1=m\a(^)

對(duì)滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有

T2r-Tir=(—Mr~)/3

③2

又，”力

④

聯(lián)立以上4個(gè)方程，得

m-s-2

(a)圖(b)圖

,一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為一長(zhǎng)為/,可繞過(guò)一端。的

水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿于水平位置由靜止開(kāi)始擺

卜■?

(1)初始時(shí)刻的角加速度；

(2)桿轉(zhuǎn)過(guò)。角時(shí)的角速度.

解：(1)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有

加gg=(；加廣)尸

B言I

(2)由機(jī)械能守恒定律，有

mggsin。=3(；山-)G2

3gsin9

co=

,質(zhì)量為長(zhǎng)為/的均勻直棒，可繞垂直于棒一

端的水平軸。無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來(lái)靜止在平衡

位置上.現(xiàn)有一質(zhì)量為機(jī)的彈性小球飛來(lái)，正好

在棒的下端與棒垂直地相撞.相撞后，使棒從平

衡位置處擺動(dòng)到最大角度*30°處.

(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速%的

值；

(2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量？

解：(D設(shè)小球的初速度為%,棒經(jīng)小球碰撞后

得到的初角速度為。，而小球的速度變?yōu)樨鞍搭}

意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)

量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式：

mv()l-Ico+mvl

①

-mvl=-Ia)2+-mv2

2022

②

上兩式中碰撞過(guò)程極為短暫，可認(rèn)為棒

沒(méi)有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺

到最大角度。=30。，按機(jī)械能守恒定律可列式:

1,I

-Ico2=Mg—(1-COS30。)

③22

由③式得

1l[J

r2

@=[竽(1—COS300)2=半(1一等)

由①式

1a)

"“一標(biāo)

④

由②式

i-生

m

⑤

所以

求得

個(gè)6(2—63m+M

12m

(2)相碰時(shí)小球受到的沖量為

JFdt=Amv=mv-mv0

由①式求得

f?JIco1J

Jrar=mv-mv0=———=

_j6(2-g)M.

6

負(fù)號(hào)說(shuō)明所受沖量的方向與初速度方向相反.

3

一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R并以角速度。轉(zhuǎn)動(dòng)著的

飛輪(可看作勻質(zhì)圓盤)，在某一瞬時(shí)突然有一片

質(zhì)量為例的碎片從輪的邊緣上飛出，.假定碎片

脫離飛輪時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上.

(1)問(wèn)它能升高多少？

(2)求余下部分的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.

解：(1)碎片離盤瞬時(shí)的線速度即是它上升的初

速度

v0=Ro)

設(shè)碎片上升高度〃時(shí)的速度為則有

/=詔-2gh

令「。，可求出上升最大高度為

⑵圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量碎片拋出后圓盤的

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量近，碎片脫離前，盤的角動(dòng)量

為口，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變

為零，但內(nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動(dòng)量，碎片與破

盤的總角動(dòng)量應(yīng)守恒，即

Ico=rco,+mv^R

式中〃為破盤的角速度.于是

|MR2CO=(gMR2-mR2)口'+mv°R

(|MR2-mR2)co=(|MR2-mR2)co'

得角速度不變)

圓盤余下部分的角動(dòng)量為

1)

(-MR2-mR72)co

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

/=；(g/R2_加*)02

一質(zhì)量為，八半徑/A的自行車輪，假定質(zhì)量均

勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng).另一質(zhì)量為

外的子彈以速度嗎射入輪緣(如題3。17圖所示方

向).

(D開(kāi)始時(shí)輪是靜止的，在質(zhì)點(diǎn)打入后的角速度

為何值？

(2)用加/。和。表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點(diǎn))最后動(dòng)

能和初始動(dòng)能之比.

解：(1)射入的過(guò)程對(duì)。軸的角動(dòng)量守恒

Rsin。%%=(m+

..(m+m0)R

(2)

2

Ek2(m+nto)Rm0sin

『一

彈簧、，N?m-1；-m2,,時(shí)，它的速率為

多大？假設(shè)開(kāi)始時(shí)物體靜止而彈簧無(wú)伸長(zhǎng).

解：以重物、滑輪、彈簧、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，重

物下落的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，以最低點(diǎn)為重力

勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則有

meh=—mv2+—Ia>2+—khr

222

又co=vlR

(2mgh-kh2)k2

V=

故有vrf+/

_](2x6.0x9.8x0.