人教版小學(xué)五年級寒假集訓(xùn)班數(shù)學(xué)思維拓展教材

人教版小學(xué)五年級

寒假集訓(xùn)班數(shù)學(xué)思維拓展教材

實用性科學(xué)性導(dǎo)向性趣味性

目錄

第1講稍復(fù)雜的方程及列方程解應(yīng)用題…….3

第2講平面圖形的面積（一）...........9

第3講平面圖形的面積（二）...........17

第4講平面圖形的面積（三）...........24

第5講平面圖形的面積（四）...........32

第6講復(fù)習(xí)與回顧（一）.................39

第7講圖形變換技巧....................42

第8講最大和最小問題...................49

第9講行程問題........................57

第10講列車過橋問題..................65

第11講復(fù)習(xí)與回顧（二）...............75

第1講稍復(fù)雜的方程及列方程解應(yīng)用題

知識要點：本講將學(xué)習(xí)稍復(fù)雜的一元一次方程和列方程解應(yīng)用題或可化為一元一次

方程的分式方程的解法。涉及的知識點還有：運用乘法分配律去掉方程中的括號。運用

比例的性質(zhì)去掉方程中的分母。

典型例題

例1、解方程：3(3x25)=10-0.5(x-3)

思路點撥：先去掉兩邊的括號，再求解。括號前面是“+”號時，運用乘法分配律

去括號，里面都不變號；括號前面是號時，運用減法的性質(zhì)去括號，a-(b-c)=a-b+c,

注意里面都要變號。

解：根據(jù)分配律去括號得：9x75=10-0.5X+1.5

方程兩邊同時加上0.5x得：9.5x-7.5=11.5

方程兩邊同時加上7.5得：9.5x=19

方程兩邊同時除以9.5得：x=2

解題技巧：方程中含有括號時，先看括號前面的符號，如果括號前面是“+”號，

去掉括號里面都不變號；如果括號前面是號，去掉括號里面都要變號。

舉一反三：

解方程：4(2x-7)-2(x-1)=3(x-1)-2

例2、解方程：3x+2=(x+0.7)+3

思路點撥：

方程兩邊都有除法，將方程的兩邊都乘以6,就可以把方程變形為ax=b的形式。

解：方程兩邊同時乘以6得：3x+2X6=(x+0.7)+3X6,

即：3xX3=(x+0.7)X2

去括號得：9x=2x+1.4

方程兩邊同時減去2x得：9x—2x=2x+1.4-2x,7x=1.4

方程兩邊同時除以7得：x=0.2

解題技巧：當方程兩邊都是除法時，將方程的兩邊都乘以它們的除數(shù)的積(或最

小公倍數(shù))就可以消去除法運算

舉一反三：

解方程：(17-x)4-5=(3x-10.2)+2

思路點撥：

這是個兩邊都是一個分數(shù)形式的方程，形如色=￡,得：axd=bxc,即對角交叉

ba

相乘的積相等。根據(jù)這個性質(zhì)可解方程。

解：對角交叉相乘得：7X(3x-2)=14X2

方程兩邊同時除以7得：3x-2=4

方程兩邊同時加上2得：3x=6

方程兩邊同時除以3得：x=2

舉一反三:

1.6

解方程:=0.4

3.2+x

例4、有兩支蠟燭，第一支長19厘米，第二支長11厘米，同時點燃后每分鐘都燃

燒掉1厘米。多少分后，第一支蠟燭的長度是第二支蠟燭長度的3倍？

思路點撥：

設(shè)x分后，第一支蠟燭的長度是第二只長度的3倍，然后用含有x的式子分別表示

兩支蠟燭的長度：第一支蠟燭的長度是(19-x)厘米，第二支的長度是(11-x)厘米。

找等量關(guān)系：第一支蠟燭的長度=第二支蠟燭長度的3倍

第一支蠟燭的長度=第二支蠟燭長度x3

UU

19-x=(11-x)x3

解：設(shè)x分后，第一支蠟燭的長度是第二支蠟燭長度的3倍。根據(jù)題意可列出方程:

19-x=3(11-x)

19-x=33-3x

2x=14

x=7

答：7分后，第一支蠟燭的長度是第二支蠟燭長度的3倍。

舉一反三：

有兩袋大米，甲袋大米的重量是乙袋的1.2倍，如果從甲袋中取出10千克，兩袋

的重量就相等。甲、乙兩袋大米原來各重多少千克？

例5、某商店甲種糖果的單價為每千克20元，乙種糖果的單價為每千克16元，為

了促銷，現(xiàn)將10千克的乙種糖果和一包甲種糖果混合后銷售，如果將混合后的糖果單

價定為每千克17.5元，那么混合銷售與分開銷售的銷售額相同，這包甲糖果有多少千

克？

思路點撥：

由題意知：混合前糖果的總價=混合后糖果的總價.如果設(shè)這箱甲種糖果的質(zhì)量為

x千克，不混合銷售額為(20X+16X10)元，混合銷售銷售額為17.5(x+10)元，列

出等式解出x即可。

找等量關(guān)系：混合前糖果的總價=混合后糖果的總價

、一________，-------------V-------------

甲的總價+乙的總價=混合后的單價X相合后的總重量

7f

、V'''V'''Y，'V

UU?U

20X+16X10=17.5X(x+10)

解：設(shè)這箱甲種糖果有x千克，不混合銷售銷售額為(20X+16X10)元，混合銷

售銷售額為17.5(x+10)元，由題意知混合銷售與分開銷售的銷售額相同。

列式為：20x+16X10=17.5(x+10),

同學(xué)們自己解答吧！

解題技巧：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用的知識點，正確理解混合糖果的計算方

法：甲、乙兩種糖果混合后的價格和除以甲、乙兩種糖果混合后的數(shù)量和(即單價=總

價+數(shù)量)，是解題的關(guān)鍵。

舉一反三：

某商店選用兩種價格分別為每千克28元和每千克20元的糖果混合成雜拌糖果后出

售，為使這種雜拌糖果的售價是每千克25元，要配置這種雜拌糖果100千克，問要用

這兩種糖果各多少千克？

例6、一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和是7,如果把這個數(shù)的個位數(shù)字與十

位數(shù)字對調(diào)，得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大9,那么原來的兩位數(shù)是多少？

思路點撥：

本題可列方程進行解決，設(shè)原來的個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為7-x,調(diào)換后新的

兩位數(shù)個位7-x,十位為X,然后據(jù)數(shù)位知識及題中所給條件列出等量關(guān)系式進行解答

即可.

找等量關(guān)系：新兩位數(shù)-原來兩位數(shù)=9

'-------v-------''---------v---------'

UV

10x+(7-x)-[10(7-x)+x]=9

解：設(shè)原來的個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為7-x,則原來的數(shù)表示為：10(7-x)+x=70-9x；

調(diào)換后新的兩位數(shù)個位7-x,十位為X,則表示為：10x+(7-x)=9x+7;

根據(jù)題意，列方程得：

9x+7=70-9x+9

18x=72

x=4

所以個位數(shù)字是4,十位數(shù)字是7-4=3,

答：原來的兩位數(shù)為34。

舉一反三：一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是11,如果把十位上

的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，得到的新數(shù)比原來大63,求這個兩位數(shù)是多少？

挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)思維拓展：

1、解方程：

(1)35(x-2)-15(5x-6)=(22x-63)-21(3x-4)

(2)2X(0.3x+4)-5X(0.2x-7)=9

2x+lx-1

(3)7(2x-1)-3(4x-1)-5(3x+2)+27=0(4)5=—

2、一個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字之和是7,如果這個兩位數(shù)加上45,則

恰好成為個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)之后組成的兩位數(shù)。求這個兩位數(shù)是多

少？

3、甲、乙二人原來身上的錢數(shù)分別是丙身上的錢數(shù)的6倍和5倍。后來甲又收入180

元，乙又收入30元，甲身上的錢數(shù)就是乙的1.5倍。原來甲、乙、丙三人錢數(shù)之和是

多少？

4、五（1）班教室里有部分學(xué)生在舉行聯(lián)歡會，聯(lián)歡會開始后，10名女生走出教室化

妝，這時教室里男生是女生的2倍；接著又出去了9名男生準備道具，此時教室里女生

是男生的5倍。最初教室里有多少名男生？

5、小明登山，上山每小時行2.4千米，下山每小時行3千米，他從山下到山頂，再從

山頂原路返回山下共用了4.5小時。從山下到山頂?shù)穆烦逃卸嗌偾祝?/p>

6、五（1）班進行了兩次體育達標測試，情況如下：第一次達標的人數(shù)比未達標人數(shù)的

3倍多4人；第二次達標的人數(shù)增加了5人，正好是未達標人數(shù)的6倍。這個班一共有

多少人參加了體育達標測試？

7、兩名運動員在湖的周圍環(huán)形道上練習(xí)長跑，甲每分鐘比乙每分鐘多跑50米，如果兩

人同時同地同向出發(fā)，則經(jīng)過45分鐘甲追上乙；如果兩人同時同地反向出發(fā)，則經(jīng)過

5分鐘可以相遇。求甲、乙二人速度？

第2講平面圖形的面積（一）

結(jié)論1：如果兩個三角形高相等，那么它們底邊的倍數(shù)關(guān)系就等于對應(yīng)三角形面積

的倍數(shù)關(guān)系。

例1、如圖4ABC中，點D、E、F、G為AB邊上四點，且AD=DE=EF=FG=GB,,

△ABC的面積積是1平方厘米，則4AGC的面積是多少平方厘米？

思路點撥：

利用兩個三角形的高相等，則這兩個三角形底邊的倍數(shù)關(guān)系就等于對應(yīng)的兩個三角

形面積的倍數(shù)關(guān)系來解題。

因為：AD=DE=EF=FG=GB所以：S^ADC=S\DEC=SAEFC=SXFGC=S&GBC

?S\ADC=SADEC=SXEFC=SXFGC=5AGBC=1份

貝”SAAGC=1+（1+1+1+1+1）X（1X4）=0.8（平方厘米）

答：AAGC的面積是0.8平方厘米。

解題技巧：此類問題多數(shù)用份數(shù)來解決比較簡單。

舉一反三：

如圖，在三角形ABC中，D是BC的中點，AF=FE=EC,已知三角形ABC的面積

是147平方厘米，三角形CDE的面積是多少平方厘米？

結(jié)論2：如果兩個三角形高相等，那么這兩個三角形面積的倍數(shù)關(guān)系就等于對應(yīng)的底邊

的倍數(shù)關(guān)系。

例2、在圖中，4ABC被分成了四個小三角形,其中三個三角形的面積分別是6cm2、

12cm2和8cm2,求圖中陰影部分的面積？

思路點撥:

根據(jù)結(jié)論2可知：SMKC是S.CD的12+6=2倍=AE=2ED=S.BE=2S^ED

所以陰影三角形BED的面積=8+(12+6)=4(平方厘米)

答：陰影三角形BED的面積是4平方厘米。

舉一反三：

如圖，一個大三角形被分成了四個小三角形，其中三個三角形的面積分別是9cm2、

10cm2和5cm2,那么陰影部分的面積是多少crr)2?

例3、己知圖中，三角形BC。的面積為36平方厘米,0B=30D,求梯形ABCD的面

積。

思路點撥：

因為0B=30D,而三角形BOC與三角形DOC的相等，

SABOC~---------SADOC則SADOC=-------------7--------------=-------------平方厘米。

又三角形ABC與三角形BCD的相等，SMSC

在這兩個三角形上都減去一個相同的三角形,

可以得到SM6O------------SkCDO

于是，SMM與SAB"的倍數(shù)關(guān)系等于A0與的倍數(shù)關(guān)系。

Q_QQ-A

°^CDO~-----------0MOD'0兇。。一一&DOC

所以，梯形ABCD的面積為+++=

舉一反三

1、梯形ABCD的面積是160平方厘米，AC=4AO,求陰影部分的面積。

結(jié)論3：如果長方形內(nèi)有互相垂直的兩條直線，將長方形分成4個小長方形，則相對的

兩個小長方形的面積乘積相等。

例4、如圖所示，一個大長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分別

為45、15和30平方分米，求陰影部分面積為多少平方分米？

思路點撥：根據(jù)結(jié)論一：相對的兩個小長方形的面積乘積相等，可求出陰影部分的

面積。

S陰=45X30+15=90（平方分米）

答：陰影部分面積為90平方分米.

舉一反三：

1、如圖，一個平行四邊形被兩條直線分成4個小平行四邊形，其中三個的面積分

別是22cm2、33cm2、90cm2,陰影部分的面積是多少？

2233

90

結(jié)論4、如果平行四邊形內(nèi)有一點，將這個平行四邊形分成4個小三角形，則相對的兩

個三角形面積的和相等，并等于平行四邊形面積的一半。

例5、如圖所示，。是平行四邊形內(nèi)的一點，AB=3BE,已知三個空白三角形的面積

分別為19,20,35平方厘米，ADOC的面積是多少平方厘米？

思路點撥：根據(jù)結(jié)論4可知：Sy+

20+2X3+?=35+19

所以SADOC=35+19-204-2X3=24（平方厘米）

答：aDOC的面積是24平方厘米。

舉一反三：

1、如圖，ABCD是一個長方形.三角形PAB、PBC和PCD的面積分別是44平方

厘米，144平方厘米和260平方厘米.圖中陰影部分的面積是多少？

結(jié)論5：如果一個平行四邊形和一個三角形等底等高，那么這個三角形的面積是這個平

行四邊形面積的一半。

例6、圖中長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是15平方米，34平

方米，47平方米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方米?

思路點撥：

根據(jù)結(jié)論5知：5ABEC=sXDFC=s長方形ABC。+2

所以SABEC=S^ADF+SXBFC

uuu

s陰+必1+以247+SA1+3415+5A2

S陰=47+34+15=96（平方米）

舉一反三：

下圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13,35,49.那

么圖中陰影部分的面積是多少？

例7、如圖，一個長方形被兩條互相垂直的線段分割成甲、乙、丙、丁四個小長方

形，已知甲、乙、丁的面積分別是12,22,34,那么陰影三角形的面積是多少？

如上右圖，連接OB,將陰影部分分成三角形AOB,三角形OBC,三角形AOC三

部分；根據(jù)結(jié)論5：等底等高的性質(zhì)，三角形AOB的面積是甲的面積的一半，三角形

OBC的面積是丁的面積的一半，三角形AOC的面積是乙的面積的一半，由此將甲、乙、

丁的面積加起來就是陰影部分的面積的2倍，進而得出陰影三角形的面積。

解：12+2+22+2+34+2,

=6+11+17

=34,

答：陰影三角形的面積是34。

舉一反三：

長方形BEOF,AEOH,HDG。的面積分別是5平方厘米，6平方厘米，9平方厘

米，求陰影部分面積是多少平方厘米？

挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)思維拓展：

1、如圖，一個矩形被分成10個小矩形，其中有6個小矩形的面積如圖所示，那么這個

大矩形的面積是多少？

252030

361612

2、如圖，若長方形APHM,BNHP,CQHN的面積分別為7、4、6,求陰影部分的面

積是多少？

3、如圖，長方形ABCD的長BC是20厘米，EF的長是8厘米，長方形中陰影部分的

面積是多少平方厘米？

4、如圖長方形ABCD的邊AD=8cm,AB=6cm,E為AD中點，對角線AC、BD交于

。點.BE、CE交兩對角線分別交于F、G點，4ABF的面積為7.5cm2,求陰影部分

EFOG的面積.

5、如圖，長方形ABCD中，E、F、G分別是BC、CD、DA邊上的中點，已知長方形

ABCD的面積是60平方厘米，求陰影部分的面積。

6、如圖，平行四邊形ABCD的面積是72平方厘米,E是CD邊上的任一點,AF=FG=GB,

則陰影部分的面積是多少平方厘米？

7、長方形的長是8cm,寬是6cm,三角形AOB的面積為16cm2,求三角形ODC的面

第3講平面圖形的面積(二)

結(jié)論6：“蝴蝶定理”：任意四邊形內(nèi)一點0,將四邊形分成4個小三角形，則有：

?5.XS,=S,X54@AO:OC=(SI+S2):(S4+S3)

蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，

一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以

得到與面積對應(yīng)的對角線的倍數(shù)關(guān)系.

例1、中山公園草坪中有一湖，飼養(yǎng)黑天鵝等珍禽，如圖，四邊形ABCD表示公園,

L表示“天鵝湖”.已知△BOC、△ADO、aCOD的面積分別是18、16和12公頃，

公園陸地總面積是61公頃，那么“天鵝湖”的面積是多少公頃？

AB

X=X

思路點撥：根據(jù)"蝴蝶定理"：S^AuOBS\DuOCS/SAuDOS\BuOC

SMOBX12=16x18

SAAO8=16X18+12=24（公頃）

公園四邊形ABCD的面積=SAAOB+SAOD+SACOB+SAAOB=24+16+18+12=70（公頃）

天鵝湖的面積=SABCD-S公園陸地方面彳=70-61=9.

舉一反三：如圖，某公園的外輪廓是四邊形A8C。，被對角線AC,80分成四個

部分，△AOB面積為1平方千米，△BOC面積為2平方千米，△C。。的面積為3平方

千米，公園由陸地面積是5.75平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千

米？

例2、如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O,如果三角形BCD面積

是三角形ABD面積的3倍，且A0=2厘米，D0=3厘米。那么，CO長度是DO長度

的多少倍？

思路點撥：因為三角形BCD面積是三角形ABD面積的3倍，且三角形ABD和三

角形BCD同底不等高，則公共邊DB上的高的倍數(shù)關(guān)系就等于其面積的倍數(shù)關(guān)系，于

是即可求出CO的長度，問題得解。

解：因為三角形BCD面積=三角形ABD面積的3倍，根據(jù)“蝴蝶定理②”可知:

OC=3AO

所以：OC=3X2=6(厘米)

即CO長度是D。長度：6+3=2倍

答：CO長度是DO長度的2倍。

舉一反三：已知：如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于。，如果三角形ABD

的面積為5,三角形ABC面積為6,三角形BCD面積為10,問三角形OBC的面積是

多少？

結(jié)論7：“梯形蝴蝶定理”梯形內(nèi)一點O,將梯形分成4個小三角形,

則有：S2=S4②Rx$3=52x5

③AO:OC=(S,+S2):(S4+S3)

例3、如圖，$2=2平方厘米，$3=4平方厘米，求梯形的面積是多少平方厘米？

思路點撥：根據(jù)“蝴蝶定理”可知，52XS4=S1X53>且S2=S4

所以：2X2=51X4

即51=2X2^4=1（平方厘米）

故S梯形=1+2+4+2=9（平方厘米）

舉一反三：如下圖，梯形A8CO的48平行于CD,對角線4C,BD交于0,已知

△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABC。的面積是

多少平方厘米？

例4、如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8

平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為多少平方厘米？

思路點撥:

連接DE、CF,四邊形EDCF為梯形，所以SAEE>O=SAFOC，又根據(jù)蝴蝶定理，

S\EDOXS\FOC=S\EOFxS\DOC'S\EDO=S\FOC

所以SAEDOXSAEDO=2X8=16=4X4，所以SA￡DO=4（平方厘米）

SAE￡）C=4+8=12（平方厘米），那么長方形的面積=12X2=24（平方厘米）四邊形OFBC

的面積=24-5-2-8=9（平方厘米）

答：四邊形OFBC的面積為9平方厘米。

舉一反三：

如圖；BD、CF將長方形ABCD分成四塊，紅色三角形面積是4平方厘米，黃色三角

形面積是6平方厘米，問綠色四邊形面積是多少平方厘米？

例5、在長方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四邊形EFGO的面積是9

平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？

思路點撥：

四邊形ABCD是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶定理知：S2\B￡=S4KF，將三角形ABE的陰

影轉(zhuǎn)移到三角形DEF中，

則陰影部分的面積=SiAOC+S四邊稱OGF

=15X84-2+9

=69（平方厘米）

答：陰影部分的面積是69平方厘米。

舉一反三：

如圖，正方形的邊長為10厘米，四邊形ABCD的面積為6平方厘米，那么,

陰影部分的面積為多少平方厘米？

例6、如下圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形

ABC的面積。

思路點撥：

這道題似乎缺少大正方形的邊長這個條件，實際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長沒

關(guān)系。連結(jié)AD（見右上圖），就構(gòu)造了一個梯形ABCD,再根據(jù)“蝴蝶定理”可知：

SAABC=SABZ）C=4*4+2=8（平方厘米）

答：三角形ABC的面積是8平方厘米。

舉一反三：

如圖，由大、小兩個正方形組成的圖形中，小正方形的邊長是6厘米，求

圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)思維拓展

1、如圖，在長方形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，四邊形EFHG的面積是3平

方厘米，陰影部分的面積和是多少平方厘米？

2、如圖，四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，正方形ABCD的邊長為2cm,則

圖中陰影部分的面積為多少cm2?

G

3、如圖中ABCD是個直角梯形(NDAB=/ABC=90°).以AD為一邊向外作長為8

厘米，寬為5厘米的長方形ADEF,連接BE交AD于P,連接PC,求陰影部分面積是

多少平方厘米?

4、如圖的尺寸是將長方形隔成四個小長方形,再拉出斜線，作成三角形.陰影三角形

的面積是多少平方厘米？

5、如圖的兩個正方形，邊長分別為8厘米和4厘米，那么陰影部分的面積是多少平方

厘米？

6、如圖是邊長為4厘米的正方形，AE=5厘米、0B是多少厘米？

7、如圖：四邊形ABCD是一個梯形，兩條對角線把梯形分成了四個小三角形，其中兩

個小三角形的面積分別是6平方厘米和18平方厘米.求梯形的面積是多少平方厘米？

第4講平面圖形的面積（三）

一、學(xué)會利用面積不變巧解題

例1、如圖：平行四邊形ABCD的周長是300cm,求它的面積.

BB

ZR/

Dcn

思路點撥：

利用同一個平行四邊形的面積相等，然后找出等量關(guān)系式，可用方程解答。

DC+BC=3004-2=150(厘米)

如圖，連接AC,設(shè)DC=x(cm),則BC=150-x(cm),則：

等量關(guān)系：DCx20=BCx3Q

UU

X150-X

解：設(shè)DC=x(cm),則BC=150-x(cm),可得方程:

xX20=(150-x)X30

20x=4500-30X

50x=4500

X=90

平行四邊形的面積=90X20=1800(平方厘米)

答：它的面積是1800平方厘米。

舉一反三：

已知三角形ABC的周長是20厘米，三角形內(nèi)一點P到三角形三條邊的距離都是3

厘米，求三角形ABC的面積？

例2、正方形的一組對邊增加6厘米，另一組對邊減少4厘米，結(jié)果得到的長方形

與原正方形面積相等，原正方形的面積是多少平方厘米？

思路點撥：

要求原正方形的面積，應(yīng)知道原來的邊長.依據(jù)條件“得到的長方形與原正方形面

積相等”，將數(shù)據(jù)代入公式即可求得結(jié)果.

設(shè)原正方形的邊長為x厘米，如圖，由于正方形ABCD與長方形AEGH面積相等,

而長方形AEFD是正方形ABCD和長方形AEGH的公共部分，所以長方形EBCF的面

積等于長方形DFGH的面積，于是

6X(x-4)=4x

6x-24=4x

6x-4x=24,

2x=24,

x=12；

所以原正方形的面積是：12X12=144(平方厘米).

舉一反三：

把一個正方形的一組對邊增加3厘米，另一組對邊增加2厘米，所得的長方形的面

積比原來正方形的面積增加了36平方厘米.這個正方形的面積是多少平方厘米？

二、學(xué)會利用添輔助線巧解圖形題

例3、已知正方形ABCD的邊長是5厘米，又EF=FG,FD=DG,求4ECG的面積。

舉一反三：

如圖，長方形ABCD中，AE=DE,DF=FC,EG是GF的2倍，AB=6厘米，BC=

10厘米。求陰影部分的面積。

三、學(xué)會運用割補法、旋轉(zhuǎn)法巧解圖形題

例4、如圖，^ABC是等腰直角三角形，以直角邊AB為直徑作半圓，與斜邊AC

交于D,且AB=20厘米，求陰影部分的面積.

思路點撥:

如圖所示，連接BD,則圖中陰影①和空白②的面積相等，陰影部分就成了三角形

ABC的一半，從而可以求出其面積.

解：陰影部分的面積：20X20+2+2,

=400+2+2,

=100（平方厘米）；

答：陰影部分的面積是100平方厘米.

解題技巧：組合圖形的面積一般是轉(zhuǎn)化到規(guī)則圖形中，利用面積公式進行計算解答。

此題的關(guān)鍵是作出輔助線，將陰影部分轉(zhuǎn)化到三角形中，即可得解.

舉一反三：

如圖中等腰直角三角形的腰長6厘米，求陰影部分的面積.

例5、如圖，正方形ABCD的邊長是20厘米，E、F分別是AB和BC的中點，那

么四邊形BEGF的面積是多少平方厘米?

思路點撥：

取CD的中點和A相連，取AD的中點和B相連，這樣大正方形被分割成一個小正

方形、四個小三角形和四個小梯形，而每個小三角形和小梯形又可以拼湊成一個小正方

形，這樣一共是5個小正方形，且5個小正方形的面積相等。

即四邊形BEGF的面積=一個小三角形+一個小梯形之和=每個小正方形的面積=20

X20+5=80平方厘米

答：四邊形BEGF的面積是80平方厘米。

舉一反三：

如圖大正方形的邊長為10厘米，E、F、G、H分別為各邊上的中點，那么中間小

正方形的面積是多少平方厘米？

幽

例6、如圖所示，在直角三角形ABC中有一個正方形BDEF,點E正好落在直角

三角形的斜邊AC上，已知AE=10米，EC=13厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少？

思路點撥

G

圖中有正方形，說明有很多相等的邊。

EFED,這是提示我們將這個圖形進行變形的重要線索。

于是，我們將三角形CDE順時針旋轉(zhuǎn)90°,如圖。

這時，我們將兩個三角形變成。

觀察圖形NAEC=++ZAEF+ZDEC=,ZDEF=90°

那么/AEG=ZCED+ZAEF=。

進而知道，三角形AEG是三角形。

三角形AEG的面積=平方厘米。

所以陰影部分的面積為平方厘米。

舉一反三：

如圖，在直角三角形ABC中有一個正方形BDEF,E點正好落在直角三角形的斜

邊AC上，已知AE=10厘米，EC=8厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？

BDC

挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)思維拓展：

1、求下圖陰影部分的面積

2、將一個長方形的長減少3厘米，寬增加2厘米，就得到一個與原來的這個長方形面

積相等的正方形，原來長方形的面積是多少平方厘米？

3、如下圖，正方形ABCD的邊長是10cm,BO長是8cm,求AE的長。

4、已知一個四邊形的兩條邊的長度和三角形的度數(shù)，那么這個四邊形的面積為多少？

5、如圖，求平行四邊形ABCD的周長。

6、如圖四邊形ABCD的周長是60厘米,M到各邊的距離都是4.5厘米，求四邊形ABCD

的面積是多少平方厘米？

7、如圖在三角形ABC中，AE垂直于BC,CD垂直于AB,AE=12厘米，CD=15厘米,

AB邊比BC邊短4厘米，求三角形ABC的面積是多少平方厘米？

8、如圖，在直角三角形ABC內(nèi)有一個正方形BDEF,己知AB=3厘米，BC=4厘米,

AC=5厘米，EG垂直于AC,且EG=1厘米，求正方形BDEF的面積。

第5講平面圖形的面積（四）

四、學(xué)會利用差不變求面積

利用兩個圖形面積相等或差不變，都增加（或減少）同一個圖形，則這兩個圖形面

積的差還是不變,這樣將兩個圖形的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個圖形的面積差，從而解決問題。

例1、如圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形ECB的直角邊

EC長8厘米.已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求CG長

是多少厘米？

由“陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米”可知：都同時放大，

加上梯形BCGF的面枳，則平行四邊形的面積比直角三角形的面積大10平方厘米，于

是利用三角形的面積公式即可求出三角形BCE的面積，進而可求出平行四邊形的面積,

CG的長即可求出。

解：平行四邊形ABCD的面積=10X8+2+10=40+10=50（平方厘米）；

CG=504-10=5（cm）

答：CG長為5厘米。

解題技巧：兩個圖形同時增加梯形，其實就是平行四邊形的面積比直角三角形的面

積大10平方厘米，求出直角三角形的面積，問題即可得解.

舉一反三：

如圖中平行四邊形ABCD的面積比直角三角形BCF的面積大80平方厘米.已知

BC=20厘米，CF=16厘米，求CE的長.

F

五、學(xué)會利用份數(shù)解圖形題

例2、如圖在三角形ABC中，D點為AB的中點，E點為BC的中點，F(xiàn)點為BE

的中點，已知三角形DCF面積為63平方厘米，則三角形ABC面積為多少平方厘米?

思路點撥：

如果兩個三角形的高相等，則這兩個三角形底邊的倍數(shù)關(guān)系就等于對應(yīng)的兩個三角

形面積的倍數(shù)關(guān)系。

設(shè)SxDBF=1份>貝USAOCF=S\DFE+SADEC=1+2=3份

SMBC=（1+1+2）X2=8份

每份的面積=63+3=21（平方厘米）

S\ABC=21X8=168（平方厘米）

答：三角形ABC面積為168平方厘米。

舉一反三：

如圖，三角形ABC的面積是30平方厘米，D是BC的中點，AE的長是ED的長

的2倍，那么三角形CDE的面積是多少平方厘米？

例3、如圖，一個正方形被四條線段分成了面積相等的五部分，若AC長20cm,

則AB=cm?

思路點撥：連接CD,設(shè)正方形的面積為5份。

S=正方形面積的一半=5+2=2.5份，而$=2份，所

°AABD

q-252=0.5份,

0ABCD~

因為24-0.5=4,所以AB=4BC,即AB=20+(4+1)X4=16(cm).

舉一反三：

如圖，一個邊長為120cm的等邊三角形被分成了面積相等的五塊；那么，AB=

cm.

六、學(xué)會從整體角度解圖形題

如果兩個三角形的底相等，將兩個三角形的高相加，合并成一個整體，再根據(jù)三

角形面積=底乂合并后的高+2,從而解決所求問題。

例4、如圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，EF和BC平行，ECH的面積是7平方厘

米，求：EG的長是多少厘米？

思路點撥：因為SAECH=SAEGH+SAEGC,SAEGH=EGXAE4-2,SAEGC=EG

XEB+2,再根據(jù)乘法的分配率可解答。

解：根據(jù)以上分析知：

SAECH=SAEGH+SAEGC,

SAECH=EGxAE4-2+EGxEB4-2,

S^ECH=EGx（AE+EB”2=AE+EB^>=AB

、____VJ\___vJ

uu

7=EGX4+2

EG=3.5（厘米）

答：EG的長是3.5厘米。

舉一反三：

圖中多邊形的面積是多少？

七、學(xué)會拉動中巧解圖形題

有些圖形題解答起來很棘手，如果我們能拉動某一動點，將圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形，

問題即可迎刃而解。

例5、如圖所示，P為平行四邊形ABCD外一點，已知三角形PAB和三角形PCD

的面積分別為7cm2和3cnA平行四邊形的面積為多少？

思路點撥:

我們可以假設(shè)P點是可以移動，不妨拉動P點，由特殊到一般，將復(fù)雜的圖形題簡

單化。

D

（將P點向平行四邊形內(nèi)拉彎

得出結(jié)論:

請同學(xué)們自己完成吧!

舉一反三：

如圖，P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，已知4PAB的面積為10cm2,4PCD的面

積為8平方厘米，平行四邊形的面積是多少？

D

例6、如圖，長方形ABCD中，AB=7厘米，BC=10厘米，AE=CF=4厘米，DG=BH=3

厘米.求陰影部分的面積？

思路點撥：

如例5方法一樣，將0點拉到和F點重合，如圖所示：則上下兩個三角形=AEX

AB4-2=4X74-2=14（平方厘米）

左右兩個三角形面積=DGXBC+2=3X10+2=15（平方厘米）

即陰影部分的面積=14+15=29（平方厘米）

答：陰影部分的面積是29平方厘米。

舉一反三：

如圖，長方形ABCD中，AB=24cm,BC=36cm,E是BC的中點，BF=DG=6cm,

H為AD上任意一點，則陰影部分的總面積是多少平方厘米？

綜合練習(xí)

1、如圖，把三角形ABC的一條邊A8延長1倍到。，把它的另一邊AC延長2倍到E,

得到一個較大的三角形AOE，三角形IDE的面積是三角形八8c面積的（）倍.

A.3B.4C.5D.6

A

2、如圖，正方形ABCD邊長是6厘米，三角形甲（AFD）是正方形的一部分，三角形

乙（FCE）的面積比三角形AFD大6平方厘米，求CE長多少厘米？

3、如圖，正方形ABCD的邊長為6分米，點E、F分別為AD、BC的中點，M、N、K

分別是AB、CD的三等分點，P為正方形ABCD內(nèi)任意一點，求陰影部分的面積是多

少平方分米？

4、兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。

A

5、如圖中長方形ABCD和長是16厘米，寬是12厘米，三角形CEF的面積是

72平方厘米，那么0G長多少厘米？

AD

6、三角形ABC的面積是80平方厘米，EC=AE,BD=4AD,三角形ADE的面積是多

少平方厘米？

7、如圖，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別為AB和AC的中點.那

么三角形EBF的面積是多少平方厘米？

8、如圖，EC=3BE,AD=4CD,三角形ABC的面積是200平方厘米，那么，三角形AED

的面積是多少平方厘米？

B-E

'D

第6講復(fù)習(xí)與回顧（一）

一、選擇題。

1、從1840年（鴉片戰(zhàn)爭）到2015年間。共有（）個閏年（含1840和2015年）

A.40B.41C..42D.43

2、兩個數(shù)的和是847,棋子一個加數(shù)的個位是0,如果將這個0去掉就與另一個加數(shù)

相同，原來兩個數(shù)的差是（）。

A.693B.721C.747D.770

3、某顧客買了60瓶酒，每瓶付13元，退空瓶時，售貨員說，每只空瓶比瓶中的酒少

11元，顧客應(yīng)退回空瓶的錢是（）元。

A.10B.20C.60D.720

4、計算：0.i0q...fl84Xa四…011的結(jié)果小數(shù)點后面有（）個0。

84個011個0

A.73B.94C.95D.96

5、將6（X+13）錯寫成6X+13,結(jié)果比原來（）。

A.減數(shù)65B.減少78C.增加13D.跟x的取值有關(guān)

6、如圖，每個小正方形的面積都是1,則△ABC的面積是（）。

C.6D.8

二、填空題.

1、兒子與父親的年齡和是46歲，且父親的年齡比兒子年齡的3倍多2歲，父親

歲。

2、一串數(shù)有9個數(shù)，從中間的數(shù)往前數(shù)，一個數(shù)比一個數(shù)小1,；從中間的數(shù)往后數(shù),

一個數(shù)比一個數(shù)大2,這9個數(shù)的總和是280,那么最大的數(shù)是.

3、一個叫“打紙漂”的游戲中，需將紙張折疊成如右圖所示的正方形。

/3厘米，請

已知圖中四個相同的直角三角形的兩條直角邊分別為2厘米和

問大正方形的面積是平方厘米。

4、一年有365天或366天，那么請問五年可能有天。

5、光的速度是每秒30萬千米，太陽離地球1億5千萬千米，光從太陽到地面要用

分鐘。（保留一位小數(shù)）

6、15位教授，有人帶1個研究生，有人帶2個研究生，有人帶3個研究生，他們共帶

了26個研究生，其中帶2個研究生的教授比帶1個研究生的教授多1人，那么帶3個

研究生的教授有人。

三、解答題。

1、有一組數(shù)列:3,5,7,11,13,15,17。

（1）如果其中缺少一個數(shù)，這個數(shù)是多少？為什么？

（2）如果其中多一個數(shù)，這個數(shù)是多少？為什么？

2、某校五（一）班有學(xué)生45人，每人在暑假里都參加體育隊，其中參加足球隊的有

25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，

足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，請問：三項都參加的有多少

人？

3、口袋里有5個同樣的小樣，分別標有1、2、3、4、5。一次性摸出2個小球，兩個

小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)算大胖贏，為奇數(shù)算小胖贏。誰贏的可能性大？為什么？

4、校合唱團共有164人，其中女生人數(shù)比男生人數(shù)的1.7倍多2人，合唱團的男生、

女生各有多少人？（列方程解應(yīng)用題）

挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)思維拓展：

選擇題。

1、把算式8（x+0.8）當成8x+0.8來計算，得到的得數(shù)與正確答案相差（）.

A.0.8B.5.6C.6.4D.8

2、有一個周長是120米的圓形花壇，在它的周圍每隔6米栽了1株丁香花，每相鄰的

2株丁香花之間又栽了2株丁香花，共栽了（）株月季花。

A.38B.40C.42D.44

3、小馬虎在計算一道除法算式時，將兩位小數(shù)的被除數(shù)的小數(shù)點漏掉了，得到的商是

12,己知除數(shù)是42,原式中的被除數(shù)是（）。

A.5040B.504C.50.4D.5.04

4、己知數(shù)x位于11和19之間，那么8、12、x的平均數(shù)可能是（）。

A.12B.14C.16D.18

5、五（1）班數(shù)學(xué)期末考試的平均成績是90分，男生、女生的平均分數(shù)分別是88.5和

93分，五（1）班的男生人數(shù)是女生人數(shù)的（）倍。

A.5B.4C.3D.2

6、如圖，把邊長為1的小正方形疊成“金字塔”形，然后用黑白相間

染色。如果最底層有21個正方形，最底層中染成黑色的正方形有

（）個。

A.11B.10C.9D.8

7、5除以7的商的小數(shù)點后第2014個數(shù)字是（）o

A.2B.4C.5D.8

8、如圖1的一張正方形紙片，沿虛線對折得圖2,再對折一次得圖3,然后用剪刀沿圖

3中虛線剪去一個角，再打開后的形狀是（）。

圖，圖2圖3ABCD

第7講圖形變換技巧

例1如果每個小三角形的面積都是1平方厘米，那么連接A、B、C三點的三角形

的面積是多少平方厘米。

思路點撥

如圖，連接這三個點構(gòu)成的三角形ABC看起來跟我們已知條件沒有關(guān)系，但是可

以把它分割開來看。

如圖AAOB的面積可以看做是由個小三角形構(gòu)成的平行四邊形的

△BOC的面積可以看做是由個小三角形構(gòu)成的平行四邊形面積的一半；

△AOC的面積可以看做是由個小三角形構(gòu)成的平行四邊形面積的一半。

于是可以求出AAOB的面積=