數(shù)學例題與探究：從力做的功到向量的數(shù)量積

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1若｜a|=1，｜b|=，(a-b）⊥a，則向量a與b的夾角為（）A。30°B。45°C。90°D。135°思路解析：設(shè)a與b的夾角為θ，∵(a-b）·a=0?！鄚a｜2-b·a=0.∴b·a=1.∴cosθ==.又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案:B綠色通道：求向量a與b的夾角的步驟：（1）計算b·a，｜a｜，｜b｜；（2)計算cos〈a，b〉;（3）根據(jù)范圍確定夾角的大小。變式訓練1已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與思路分析:求a與b的夾角余弦值，只要求出a·b與|a|、｜b|即可.解：∵（a+3b）⊥(7a－5b∴（a+3b）·（7a－5b∴7a2+16a·b－15b又∵（a－4b）⊥(7a－2b∴（a－4b)·(7a－2b∴7a2－30a·b+8b①－②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=｜b|2.代入①式，得7|a|2+8|b|2－15|b|2=0，故有｜a|2=｜b｜2，即｜a｜=|b｜.∴cos〈a，b>=.又∵0°≤<a，b〉≤180°，∴〈a，b>=60°,即a與b的夾角為60°.變式訓練2已知△ABC中，a=5,b=8，·=—20，試求C.有個同學求解如下:解：如圖2-5-4，∵｜|=a=5，||=b=8，圖2—5—4∴cos∠C=.又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.這位同學的解答正確嗎？如果你是他的數(shù)學老師，你會給他寫什么批語?思路解析:這位同學的解答不正確，其原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義.由于BC與兩向量的起點并不同，故∠C≠<，>,而是∠C＋〈，〉=180°,則cos〈，〉=。又∵0°≤〈,>≤180°,∴〈，>=120°?！唷螩=60°。所以這位同學的解答不正確,∠C=60°；批語是：如果你再理解了向量夾角的定義,那么這道題就能做對了，請你再試試吧.例2已知向量a、b不共線，且｜2a+b｜=|a+2b｜，求證:（a+b）⊥（a－b思路分析：可以證明（a+b）與（a－b)垂直,轉(zhuǎn)化為證明(a+b)與（a－b）的數(shù)量積為零.也可以利用向量線性運算的幾何意義來證明。證法一:∵|2a+b｜=｜a+2b∴（2a+b）2=（a+2b）2∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4∴a2=b2。∴（a+b）·(a－b）=a2－b2=0。又a與b不共線，a+b≠0,a－b≠0,∴（a+b）⊥（a－b).證法二：如圖2—5-5所示，在平行四邊形OCED中,設(shè)=a，=b，A、B、N、M分別是OC、OD、DE、EC的中點.圖2-5—5則有2a+b=+=+=，a+2b=+=+=，a+b=,a—b==?！遼2a+b｜=|a+2b|，∴||=||.∴△OMN是等腰三角形.可證F是MN的中點。∴⊥?！唷汀！唷?。∴（a+b)⊥(a－b）.綠色通道：證明向量垂直的兩種方法：①應(yīng)用化歸思想,轉(zhuǎn)化為證明這兩個向量的數(shù)量積為0.②應(yīng)用向量加減法的幾何意義來證明。變式訓練向量a、b均為非零向量，且｜a｜=｜b|,求證:(a-b)⊥（a＋b）。思路分析：轉(zhuǎn)化為證明向量（a—b）和（a＋b）的數(shù)量積為0；或應(yīng)用向量加減法的幾何意義來證明。證法一：如圖2—5—6所示，在平行四邊形OACB中,圖2—5-6設(shè)=a,=b,則a-b=,a+b=，∴｜｜=｜|.∴四邊形OAＣB是菱形?！郞C⊥BA.∴⊥，即（a—b)⊥(a＋b）。證法二：∵｜a｜=｜b｜，∴(a-b）·(a＋b）=a2-b2=|a｜2—|b｜2=0.∵a、b均為非零向量，∴a-b≠0,a＋b≠0?！啵╝—b)⊥（a＋b）.問題探究問題（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，化簡｜｜2+｜|2-2||·｜|cos<，〉;（2）在等邊△ABC中，化簡｜｜2+｜|2—2|｜·｜｜cos〈,〉;（3）由（1）和（2）你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論，并加以證明。導思：歸納、猜想、證明是人類認識世界和發(fā)現(xiàn)世界的主要手段，觀察式子的結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合向量的數(shù)量積便可發(fā)現(xiàn)結(jié)論。探究：(1）∵∠BAC=90°,∴cos〈，〉=0?！鄚｜2+|｜2-2｜｜｜|cos〈，>=|｜2+|｜2=|｜2.(2）∵｜｜2=|｜2=｜|2，〈,〉=60°，∴｜|2+||2—2｜｜｜｜cos〈,〉=｜｜2+｜|2-｜|2=||2=|｜2。（3)可發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：在△ABC中，有｜|2+｜|2-2|｜｜｜cos<，〉=||2；||2+|｜2—2||||cos〈,>=｜｜2；||2+｜｜2—2||｜|cos<，〉=｜｜2.可以用語言敘述：三角形任一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.此結(jié)論稱為余弦定理。證明：如圖2-5-7，在△