數(shù)學(xué)例題與探究：二項分布及其應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講【例1】擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點的概率。思路分析:首先搞清所求概率是在什么條件下的事件的概率.利用古典概率進行求解.解：設(shè)事件A為“兩顆點數(shù)之和為7"，事件B為“一顆點數(shù)為1”。兩顆點數(shù)之和為7的種數(shù)為3，其中有一顆為1點的種數(shù)為1,故所求概率為P=.綠色通道：在等可能性事件的問題中,求條件概率可采用古典概型的方法更容易理解。計算出基本事件的總數(shù),然后算出有利事件數(shù),從而求出概率。變式訓(xùn)練擲兩顆均勻的骰子，已知點數(shù)不同,求至少有一個為6的概率。解:在“點數(shù)不同”(事件A)的條件下,總的基本事件數(shù)為=30，至少有一個點數(shù)為6的（事件B)事件的個數(shù)為×2=10，∴P（B|A)=.【例2】某學(xué)校一年級共有學(xué)生100名，其中男生60人，女生40人；來自北京的有20人，其中男生12人，若任選一人是女生,問該女生來自北京的概率是多少？思路分析：與例1不同的是此題適合運用條件概率的公式來求解,分清事件A,事件AB.解：A=｛任選一人是女生}，B={任選一人來自北京}，依題意知道北京的學(xué)生有女生8名，這是一個條件概率問題，即計算P(B|A）。由于P（A）=，P(AB)=，則P(B|A）=.綠色通道:求條件概率問題要把握在什么前提條件下的概率問題，也就是搞清事件A、事件B、以及事件AB和它們發(fā)生的概率，再利用條件概率公式進行求解。變式訓(xùn)練根據(jù)歷年氣象資料統(tǒng)計，某地四月份刮東風(fēng)的概率是，既刮東風(fēng)又下雨的概率是.問該地四月份刮東風(fēng)與下雨的關(guān)系是否密切？以“四月份刮東風(fēng)”的條件下,“某地四月份下雨"的概率的大小來說明。解:設(shè)A為“某地四月份刮東風(fēng)”，B為“某地四月份下雨”，則P（A)=，P(B）=,在“某地四月份刮東風(fēng)”的條件下，“某地四月份下雨"的概率P(B|A)=?！纠?】甲、乙兩人獨立地破譯密碼的概率分別為和,求:（1）兩個人都譯出密碼的概率；(2）兩個人都譯不出密碼的概率;（3)恰有一人譯出密碼的概率;(4)至多一人譯出密碼的概率;（5)至少一人譯出密碼的概率.思路分析:把甲獨立破譯記為事件A，乙獨立破譯記為事件B，A與B相互獨立,與B也相互獨立.解:記A為甲獨立的譯出密碼,B為乙獨立的譯出密碼。（1)兩個人都譯出密碼的概率P(AB)=P(A)P（B）=.(2）兩個人都譯不出密碼的概率為P（）=P()P（)=［1-P（A）］[1-P(B)]=。（3）恰有一人譯出密碼分為兩類:甲譯出乙譯不出；乙譯出甲譯不出，即∴P()=P（）+P(）=P（A）P（）+P()P（B)=.(4）至多一人譯出密碼的對立事件是兩人都譯出密碼,∴1—P(AB）=1—P(A)P（B）=.（5）至少一人譯出密碼的對立事件為兩人都沒有譯出密碼,∴1—P（）=。綠色通道:求相互獨立事件同時發(fā)生的概率時,運用公式P（AB)=P(A)P（B)。在解決問題時，要搞清事件是否獨立,同時要注意把復(fù)雜事件分解為若干簡單事件來處理,同時還要注意運用對立事件把問題簡化。變式訓(xùn)練甲、乙、丙三人分別獨立解一道題，甲做對的概率為，三人都做對的概率為，三人全做錯的概率為。（1）分別求乙、丙兩人各自做對此題的概率;(2)求甲、乙、丙中恰有一人做對此題的概率.解：（1）設(shè)甲、乙、丙三人各自做對此題分別為事件A、B、C,則P(A）=，由題意可知:解得P(B）=，P（C)=或P(B)=，P(C)=.（2）設(shè)甲、乙、丙中恰有一人做對此題為事件D,則P(D)=P（A）P（）P（)+P（）P（B）P()+P（)P(）P(C）=?！纠?】設(shè)甲、乙、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0。6和0.5.(1）三人各向目標(biāo)射擊一次,求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)的概率;（2）若甲單獨向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率。思路分析:至少一人命中可考慮對立事件無人命中;恰有兩人命中要分為三個互斥事件,具體哪兩個命中；甲單獨射擊目標(biāo)3次就是獨立重復(fù)試驗問題.解：(1）設(shè)Ak表示“第k人命中目標(biāo)"，k=1、2、3.這里,A1,A2，A3獨立，且P（A1）=0。7，P（A2）=0.6，P(A3）=0.5。從而,至少有一人命中目標(biāo)的概率為1—P（）=1—P(）P（）P（）=1—0.3×0。4×0.5=0.94。恰有兩人命中目標(biāo)的概率為P（A1A2+A1A3+A2A3）=P（A1A2)+P(A1A3）+P(A2A3）=P（A1）P（A2)P()+P(A1)P()P（A3)+P（)P(A2)P(A4)=0.7×0.6×0。5+0.7×0.4×0。5+0。3×0。6×0.5=0.44。答:至少有一人命中目標(biāo)的概率為0.94，恰有兩人命中目標(biāo)的概率為0。44。(2)設(shè)甲每次射擊為一次試驗，從而該問題構(gòu)成三次重復(fù)獨立試驗。又已知在每次試驗中事件“命中目標(biāo)”發(fā)生的概率為0。7,故所求概率為P3（2)=0。72×0.3=0。441。答：他恰好命中兩次的概率為0。441.綠色通道：求較復(fù)雜的事件的概率問題要注意:（1）把復(fù)雜事件分解為若干簡單事件;(2）分別求出每個簡單事件的概率.變式訓(xùn)練甲、乙、丙三人向同一飛機射擊，設(shè)擊中目標(biāo)的概率分別為0.4、0。5、0.8.如果只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2，如果有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0。6；如果三人都擊中,則飛機一定被擊落.求飛機被擊落的概率。解：設(shè)甲、乙、丙三人分別擊中的事件為A、B、C，飛機被擊落,要看幾人擊中,若一人擊中，為事件A··+·B·+··C;若有兩人擊中,則為事件··+·B·C+A··C，三人全擊中為事件A·B·C.所以飛機被擊落的概率P=［］×0。2+[］×0。6+P(A·B·C)=（0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.2+0。6×0.5×0.8)×0.2+(0.4×0.5×0.2+0。4×0.8×0.5+0.6×0.5×0。8)×0。6+0。4×0.5×0.8=0.492.答:飛機被擊落的概率為0.492。【例5】假定人在一年365天中的任何一天出生的概率相同,某班級有50名同學(xué)，其中有兩人或兩人以上生日是5月1日的概率是多少？思路分析：每個人生日在某一天是等可能的，50人相當(dāng)于做了50次試驗,故可以認為是n次獨立重復(fù)試驗問題。解：設(shè)“一個人的生日為5月1日”為事件A。50個人的生日相當(dāng)于進行了50次獨立重復(fù)試驗，事件發(fā)生的概率為P(A)=.設(shè)50人中生于5月1日的人數(shù)為X，則P（X=0）=；P(X=1)=?！鄡扇艘陨仙諡?月1日的概率P（X≥2）=1—P（X=0）—P(X=1）=1—≈0.0085。綠色通道:處理一類概率問題時，看能否歸結(jié)為n次獨立重復(fù)試驗，關(guān)鍵是試驗在相同條件下重復(fù)進行，每次事件發(fā)生的概率相同,恰好發(fā)生k次的概率可用公式P(X=k)=(1—p）n-k來計算.變式訓(xùn)練設(shè)有m升經(jīng)過紫外線消毒的自來水,其中含有n個大腸桿菌,今從其中任取一升水進行檢驗，問在取出的一升水中含有k個（k=0,1，2,…，n)個大腸桿菌的概率為多少？解：對于每個大腸桿菌來說只有兩個結(jié)果:落入或不落入被取的一升水中，并且可認為每個大腸桿菌的落入與否是相互獨立的,這樣n個大腸桿菌落入所取的一升水中可看作n次獨立重復(fù)試驗，每次事件的結(jié)果是某一個大腸桿菌落入該升水中(事件A）的概率為P（A）=，故所求概率為P（k)=.【例6】（2005全國高考卷Ⅰ，理20）9粒種子分種在3個坑內(nèi)，每坑3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種，若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種。假定每個坑至多補種一次,求需要補種坑數(shù)的分布列。思路分析：把一個坑需要補種看作事件A，則三個坑相當(dāng)于做了三次重復(fù)試驗，從而把問題進行了轉(zhuǎn)化.解：因為單個坑內(nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為（1-0。5）3=,所以單個坑不需補種的概率為1—.3個坑都不需補種的概率為=0。670;恰有1個坑需要補種的概率為=0。287;恰有2個坑需要補種的概率為=0。041；3個坑都需要補種的概率為=0。002。∴需要補種坑數(shù)的分布列為X0123P0。6700.2870。0410.002綠色通道：有些問題看上去不是n次獨立重復(fù)試驗問題,但經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以看作獨立重復(fù)試驗，把問題進行了簡化,從這里也看到轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)問題的處理中所發(fā)揮的重要作用。有些概率問題可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型來處理.變式訓(xùn)練某企業(yè)正常用水（一天24小時用水不超過一定量)的概率為，則在5天內(nèi)至少4天用水正常的概率是多少?解：5天內(nèi)至少4天正常用水包括兩種情況:（1）恰有4天正常用水,其概率為P1=p4（1-p)=5×（）4×；（2）5天全部正常用水，其概率為P2=p5=（)5=.∴5天內(nèi)至少4天用水正常的概率為P=P1+P2=。【例7】甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是和。假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響。（1）求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；(2）求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；(3）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊.問:乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？解：（1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，射擊4次，相當(dāng)于做4次獨立重復(fù)試驗,故P(A1)=1-P（）=1-（)4=。（2)記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標(biāo)"為事件A2，“乙射擊4次,恰有3次擊中目標(biāo)"為事件B2，則P(A2）=×()2×(1—)4—2=,P(B2）=×（)3×（1—)4—3=。由于甲、乙射擊相互獨立,故P（A2B2)=P（A2）P(B2）=×=。（3）記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中"為Di(i=1、2、3、4、5），則A3=D5D4，且P(Di）=.由于各事件相互獨立,故P（A3）=P(D5)P（D4）P（）P（）=。答：甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為。兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率為。乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為.綠色通道：處理“至多"“至少”問題的概率時，可考慮對立事件。在處理復(fù)雜問題時要把問題分為若干簡單問題,然后分別求出概率,利用互斥事件或相互獨立事件的概率公式進行求解.變式訓(xùn)練甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗,單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0。6.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響，求：（1)前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率;（2)本場比賽乙隊以3∶2取勝的概率。（精確到0。001)解：單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6,乙隊勝甲隊的概率為1—0.6=0.4.（1)記“甲隊勝三局”為事件A,“甲隊勝兩局”為事件B,P（A)=0.63=0。216，P（B）=×0.62×0。4=0。432,∴前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率為P(A）+P（B）=0。648.（2)若本場比賽乙隊3∶2取勝,則前四局雙方應(yīng)以2∶2戰(zhàn)平，且第五局乙隊勝.所以,所求事件的概率為×0。42×0。62×0。4=0.138.【例8】有10臺機床各自獨立工作，因修理調(diào)配等原因,每臺機床停車的概率為0。2,求（1）同時停車臺數(shù)X的概率分布；（2)10臺機床中恰有一臺停車的概率;（3)10臺機床中最多一臺停車的概率.思路分析：10臺獨立工作且停車概率相等可看作n次獨立重復(fù)試驗來處理。解:（1)由題意知，X服從參數(shù)n=10，p=0.2的二項分布,即X—B（10，0。2)。由二項分布的概率分布，知P（X=k)=0.2k0。810—k（k=0，1，2，3，…,10）。(2)“10臺中恰有一臺停車”相當(dāng)于X的取值為1,即P(X=1)=0。210.810—1≈0。2684。（3)“10臺機床中最多一臺停車”是指“有0臺停車”或“恰有一臺停車",等價于X取值為0和1.P(X≤1）=P(X=0）+P（X=1)=0.200.810+0.210.810—1≈0。3758.綠色通道：數(shù)學(xué)中的很多問題都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，把一個問題換一個角度來考慮轉(zhuǎn)化為熟悉問題，使問題迎刃而解。此題轉(zhuǎn)化為了二項分布問題,避免了大量的重復(fù)計算.變式訓(xùn)練某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為0.8,計算:(1)五次預(yù)報中恰有四次準(zhǔn)確的概率;（2）五次預(yù)報中至少四次準(zhǔn)確的概率.（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)解：(1)記“預(yù)報一次，結(jié)果準(zhǔn)確"為事件A，預(yù)報五次相當(dāng)于做5次獨立重復(fù)試驗,五次預(yù)報中恰好四次準(zhǔn)確的概率為×0。84×（1—0.8)1≈0。41.(2)五次預(yù)報中至少四次準(zhǔn)確的概率，就是五次預(yù)報中恰有四次準(zhǔn)確的概率與五次都準(zhǔn)確的概率和,即P=×0。84×（1-0。8)1+×0.85×（1—0。8)0≈0.410+0。328≈0.74.問題探究問題1:日常生活中經(jīng)常遇到名額分配問題，在人多名額少時，往往采取抽簽的方式來確定，抽簽有先有后，對各人公平嗎？你對這種抽簽決定式認同嗎?試說出你的理由.導(dǎo)思:抽簽、抓鬮問題在日常生活中經(jīng)常遇到,從概率學(xué)的角度看是非常合理的。我們看一種方案是否合理，要從概率角度考查對每人是否公平，若每人的機會均等就是合理的.在這里我們要注意的是探究過程中有一個前提:后抽者不知道前面人的結(jié)果.也可以從所有獎券的排列上來考慮。得出一般公式：如果在n張票中有一張中獎,n個人依次從中抽取一張，且后人不