數(shù)學例題與探究：弧度制

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1已知扇形的周長為20cm,當扇形的圓心角為多大時，它有最大面積？思路分析：設扇形的半徑是r，弧長是l，扇形面積可表示為S=lr，l與r之間還要滿足周長為20,即l+2r=20，所以l=20-2r,這樣S就能表示成關于r的二次函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質求最值。解:設扇形的半徑是r，弧長是l，此時扇形的面積為S.由已知條件，知l+2ｒ=20，即l=20—2ｒ.由0＜l＜2πr，得0＜20-2r＜2πr，∴＜r＜10?！郤=lr=（20-2r）r=—r2+10r=—（r-5)2+25（＜r＜10)，當r=5時，S取最大值25，此時l=10，α==2,即當扇形的圓心角為2時,扇形有最大面積25。綠色通道：當扇形周長為定值時，扇形的面積有最大值.其求法是把面積S轉化為關于r的二次函數(shù)，但要注明r的取值范圍。特別注意一個扇形的弧長必須滿足0＜l＜2πr。變式訓練已知扇形面積為25cm2，當扇形的圓心角為多大時，扇形的周長最小?思路分析:設扇形的半徑是r，弧長是l,則25=lr，扇形周長y=l+2r，消去l得y關于r的二次函數(shù),再利用函數(shù)的單調性求最值.解：設扇形的半徑是r,弧長是l，此時扇形的周長為y,則y=l+2r。由題意，得lr=25，則l=,∴y=+2r(r＞0）.利用函數(shù)單調性的定義可以證明：當0＜r≤5時，函數(shù)y=+2r是減函數(shù);當r＞5時，函數(shù)y=+2r是增函數(shù)?！喈攔=5時，y取最小值20，此時l=10,α==2,即當扇形的圓心角為2時，扇形的周長取最小值20。例2如圖1—3—2所示,一繩索繞在半徑為40厘米的滑輪上，繩索的下端B處懸掛著物體W.如果輪子按逆時針方向每分旋轉6圈，那么需要幾秒才能把物體W的位置向上提升100厘米？圖1—3-2思路分析：輪子按逆時針方向旋轉，A點轉過的弧的長等于B點上升到B′時的距離.這是本題中潛藏的等量關系.解：當BB′=100厘米時,AA′=100厘米,AA′所對的圓心角∠AOA′=.∴輪子每分鐘勻速旋轉6圈.∴每秒勻速轉過，t秒轉過?！?，解得t=≈4（秒）,即約需4秒鐘才能把物體W的位置向上提升100厘米。綠色通道：在實際生活中，滑輪是一種重要的省力工具，單個滑輪轉動時,滑輪上的點轉過的弧長與跟它連接的繩索上的點移動的距離是相等的,在分析中,要注意圖形的作用，數(shù)形結合是解決此類問題的有效辦法。變式訓練如圖1-3—3，已知圓上一點A（1，0）按逆時針方向作勻速圓周運動，1秒鐘時間轉過θ(0＜θ≤π)角，經(jīng)過2秒鐘到達第三象限，經(jīng)過14秒鐘又轉到最初位置,則θ角的弧度數(shù)是________________.圖1—3-3思路解析：因為0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π.又因為2θ在第三象限，所以π＜2θ＜,即＜θ＜。由14θ=2kπ（k∈Z），得θ=（k∈Z），所以＜＜，即＜k＜。所以k=4或5，θ=或θ=.答案:或問題探究問題1已知集合M=｛x｜x=+，k∈Z}，N={x｜x=+,k∈Z}，試探索M和N的關系。導思：利用歸納、猜想、證明的方法探索,即先用列舉法表示集合M和N，由此歸納它們之間的關系，猜想出結論后，再證明所得結論。探究：用列舉法表示集合M和N。M={±，±，±，±，…｝,N=｛0,±,±，±，±π,±，±,±，…},歸納：集合M中元素都在集合N中，但是集合N中±不在集合M中.猜想:MN.證法一：把集合M和N中的元素看成“單純”的實數(shù)來討論。設x∈M，則存在k∈Z,滿足x=+=+.∵2k∈Z,∴x∈N.∴MN。設=+，∴k=。則kZ，∴∈N，M，∴MN。綜上所得MN。證法二：把集合M和N中的元素看成弧度制表示的角來討論.如圖1-3-4所示。圖1-3—4集合M中元素x=+，k∈Z可以看成將角的終