數(shù)學(xué)例題與探究：任意角、弧度

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1一條弦的長(zhǎng)度等于半徑r,求:（1）這條弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)；(2）這條弦和劣弧所組成的弓形的面積.思路分析：解決此類問(wèn)題，首先要根據(jù)題意畫(huà)出相關(guān)的圖形,然后對(duì)涉及的量的大小進(jìn)行確定.由已知可知圓心角的大小為，然后用公式求解即可求弧長(zhǎng)，弓形面積可以由扇形面積減三角形面積求得。解:(1）如圖1—1—1,因?yàn)榘霃綖閞的圓O中弦AB=r,則△OAB為等邊三角形，所以∠AOB=。則弦AB所對(duì)的劣弧長(zhǎng)為r。圖1-1-1（2)∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2，S扇形OAB=|α｜r2=××r2=r2,∴S弓形=S扇形OAB—S△AOB=r2—r2=(-)r2.綠色通道:圖形的分解與組合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法之一，本例把扇形看成三角形與弓形的組合，即可運(yùn)用已有知識(shí)解決要求解的問(wèn)題。此類數(shù)形結(jié)合的題目，要盡可能地從圖中,從各種圖形的組合關(guān)系中找到解決問(wèn)題的突破口。變式訓(xùn)練地球赤道的半徑是6370km,所以赤道上1′的弧長(zhǎng)是____________（精確到0。01km).思路解析:1′=rad，弧長(zhǎng)l=r|α|=6370××=1。85(km）.答案:1。85km例2（2005全國(guó)高考卷Ⅲ，1)已知α為第三象限角，則所在的象限是(）A。第一或第二象限B。第二或第三象限C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限思路解析：因?yàn)榈谌笙藿桥c-π之間的角并不等價(jià),由α在第三象限，α應(yīng)在區(qū)間（2kπ+π,2kπ+）(k∈Z)內(nèi)，要判定在第幾象限，需分k是奇數(shù),k是偶數(shù)兩種情況去討論解決，即2kπ+π＜α＜2kπ+kπ+＜<kπ+,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),在第二象限，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，在第四象限。答案：D綠色通道:(1)由α的象限確定2α的象限時(shí)，應(yīng)注意2α可能不再是象限角,對(duì)此特殊情況應(yīng)特別指出。如α=45°，2α=90°就不再是象限角。(2）在本例的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步推導(dǎo)出各個(gè)象限角的半角范圍?？梢越柚鷪D1—1—2來(lái)記憶。圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分別指第一、二、三、四象限角的半角范圍.如當(dāng)α為第一象限角時(shí),為第一、三象限角的前半?yún)^(qū)域；當(dāng)α為第二象限角時(shí),為第一、三象限角的后半?yún)^(qū)域.依此類推。圖1—1—2黑色陷阱:（1)由α是第二象限角，僅想到90°<α<180°，從而得到45°＜＜90°和僅得到為第一象限角，而將是第三象限角的可能性丟掉。(2）解題時(shí)容易將α的范圍誤認(rèn)為90°〈α<180°，即誤認(rèn)為α是鈍角，導(dǎo)致錯(cuò)誤.同時(shí)在得出α的范圍時(shí),不進(jìn)行分類討論，或者討論時(shí)不按奇數(shù)和偶數(shù)分類。變式訓(xùn)練1已知單位圓上一點(diǎn)A(1,0）按逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，1秒鐘時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)θ(0〈θ≤π）角,經(jīng)過(guò)2秒鐘到達(dá)第三象限，經(jīng)過(guò)14秒鐘轉(zhuǎn)到與最初位置重合的位置，求θ角的弧度數(shù)。思路分析：這是一個(gè)涉及終邊相同的角和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，可以根據(jù)題意畫(huà)圖分析，并由此列出角的等式或不等式.解:由0<θ≤π,得0<2θ≤2π，又因?yàn)?θ在第三象限，所以π<2θ≤。由14θ=2kπ（k∈Z），得2θ=(k∈Z)，所以π<<，即〈k<.所以k=4或5;θ=或。變式訓(xùn)練2若銳角α的終邊與它的10倍角的終邊相同，求α。思路分析:與角α終邊相同的角均可以表示為2kπ+α(k∈Z）的形式，注意題目中α是銳角?？梢愿鶕?jù)題意列出方程解出α，這一方法也體現(xiàn)了在三角函數(shù)中“方程思想”的應(yīng)用。解:由題意，得10α=2kπ+α(k∈Z)，∴α=（k∈Z）.又∵α為銳角，∴k可以取1、2兩個(gè)值，即α=40°或α=80°.例3已知扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大?思路分析：根據(jù)題中的已知條件，列出扇形的半徑、圓心角及周長(zhǎng)的關(guān)系表達(dá)式，然后把扇形的面積表示成半徑的函數(shù)，然后利用求函數(shù)最值的方法求解。解:設(shè)扇形的圓心角為θ,半徑為r，由已知條件,得扇形的弧長(zhǎng)l=rθ?！?r+rθ=20,θ=.∴S扇形=r2θ=r2·=r（10-r）=-r2+10r.當(dāng)r=—=5時(shí)，S扇形最大=25，此時(shí)θ=2.綠色通道:幾何圖形求最值的途徑有兩種：一是利用幾何意義，從圖形中直接找出(本例不好找);二是利用函數(shù)求解，即設(shè)出未知量,建立函數(shù)關(guān)系式，然后用函數(shù)的方法解決。變式訓(xùn)練一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在半圓的弧長(zhǎng)，那么扇形的圓心角是_______弧度，扇形的面積是_______。思路解析:設(shè)扇形的圓心角是θ弧度，則扇形的弧長(zhǎng)是rθ，扇形的周長(zhǎng)是2r+rθ。由題意,知2r+rθ=rπ，∴θ=π-2.扇形的面積為S=θ·r2=r2（π-2）.答案:π-2r2(π—2)問(wèn)題探究問(wèn)題1在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水比賽中,常常聽(tīng)到“轉(zhuǎn)體三周"“轉(zhuǎn)體兩周半”的說(shuō)法,像這種動(dòng)作名稱表示的角是多大？導(dǎo)思：解答此類問(wèn)題時(shí)，要考慮到問(wèn)題的多種情況，不要上來(lái)就盲目地解答。首先對(duì)問(wèn)題有個(gè)大體的了解，然后再聯(lián)系所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，可能起到事半功倍的效果.此題不要忽視了轉(zhuǎn)體的順、逆方向會(huì)影響到角的正負(fù)號(hào)。利用角的定義及正角、負(fù)角的概念，這個(gè)問(wèn)題就迎刃而解。探究：如果是逆時(shí)針轉(zhuǎn)體，則分別是360°×3=1080°和360°×2。5=900°；若是順時(shí)針轉(zhuǎn)體，則分別為—1080°和—900°。問(wèn)題2在炎炎夏日，用紙扇驅(qū)走悶熱，無(wú)疑是很好的辦法.紙扇在美觀的設(shè)計(jì)上，可考慮用料、圖案和形狀。若從數(shù)學(xué)角度看,能否利用黃金比例(0.618)去設(shè)計(jì)一把有美感的白紙扇呢?此時(shí)的張角是多大呢?導(dǎo)思：在設(shè)計(jì)紙扇張開(kāi)角（θ)時(shí)，可以考慮從一圓形(半徑為r）分割出來(lái)的扇形的面積（A1）與剩余面積(A2)的比值.若這一比值等于黃金比例，便可