2025屆江西省于都實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆江西省于都實驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是（）A.既不互斥也不對立 B.互斥又對立C.互斥但不對立 D.對立2．已知在一次降雨過程中，某地降雨量（單位：mm）與時間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可表示為，則在時的瞬時降雨強度為（）mm/min.A. B.C.20 D.4003．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果是（）A. B.C. D.4．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，一條平行于y軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則經(jīng)點B反射后的反射光線必過點（）A. B.C. D.5．在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，，則（）A.9 B.3C. D.6．數(shù)列中前項和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知分別是等差數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.C. D.8．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)9．《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸10．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m11．已知點，和直線，若在坐標平面內(nèi)存在一點P，使，且點P到直線l的距離為2，則點P的坐標為（）A.或 B.或C.或 D.或12．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，由數(shù)學(xué)家斐波那契研究兔子繁殖問題時引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）14．已知函數(shù)，則_________15．已知空間向量，則使成立的x的值為___________16．若、是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點是線段上的動點（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值18．（12分）已知數(shù)列通項公式為：，其中．記為數(shù)列的前項和（1）求，；（2）數(shù)列的通項公式為，求的前項和19．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：.20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的焦距為4，且過點.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點為B，右焦點為F，直線l與橢圓交于M，N兩點，問是否存在直線l，使得F為的垂心（高的交點），若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)，（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）已知圓：與直線：.（1）證明：直線過定點，并求出其坐標；（2）當時，直線l與圓C交于A，B兩點，求弦的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義可得答案.【詳解】把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，所以它們的關(guān)系是互斥但不對立.故選：C.2、B【解析】對題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)，再求時對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則，所以在時的瞬時降雨強度為mm/min.故選：B3、B【解析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項相消法可求得輸出結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)，不成立，，；第二次循環(huán)，不成立，，；第三次循環(huán)，不成立，，；以此類推，最后一次循環(huán)，不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：B.4、D【解析】求出、坐標可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出，根據(jù)選項可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯(lián)立解得，所以，因為反射光線平行于y軸，根據(jù)選項可得D正確,故選：D5、A【解析】利用等比數(shù)列的通項公式可得，結(jié)合條件即求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由，，得，解得或，又單調(diào)遞減，故，.故選：A.6、B【解析】由已知求得，再根據(jù)當時，，，可求得范圍.【詳解】解：因為，則，兩式相減得，因為是遞增數(shù)列，所以當時，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.7、D【解析】利用及等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解.【詳解】分別是等差數(shù)列的前項和，故，且，故，故選：D8、C【解析】求導(dǎo)得，再解不等式即得解.【詳解】由得，根據(jù)題意得，解得故選：C9、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長，公差為，則，所以立夏日影長丈，即四尺五寸.故選：D10、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當?shù)淖鴺讼?，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上設(shè)拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.11、C【解析】設(shè)點的坐標為，根據(jù)，點到直線的距離為，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)點的坐標為，線段的中點的坐標為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點在直線上，∴，又點到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點的坐標為或，故選：C12、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因為，由，，得，所以，得，因為，所以，，所以，，所以，.故答案為：.14、【解析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計算可得的值.【詳解】，，因此，.故答案為：.15、##【解析】利用空間向量垂直的坐標表示列方程求參數(shù)x的值.【詳解】由題設(shè)，，可得.故答案為：.16、【解析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因為△ABF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點，，B為雙曲線上一點，則，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率，常常不能經(jīng)過條件直接得到a，c的值，這時可將或視為一個整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程，從而得到離心率的值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結(jié)論.（2）以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系寫出點與點的坐標由于軸，可設(shè)，可得出與的坐標設(shè)為平面的法向量，求出法向量.是關(guān)于的一個式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因為，所以又因為平面平面，平面平面，，所以平面又平面，所以又因為，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因為，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系則，因為軸，可設(shè)，可求得，設(shè)為平面的法向量則令，解得，所以又因為是平面的法向量所以，因為，所以所以當時，取到最小值18、（1）；；（2）.【解析】（1）驗證可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，；（2）由（1）可求得，利用錯位相減法可求得結(jié)果.【小問1詳解】當時，；當時，；當時，；數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；，；【小問2詳解】由（1）得：，，，，兩式作差得：.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)數(shù)列通項與前項和的關(guān)系，構(gòu)造新等式，作差整理得到，進而求解結(jié)論；（2）求出數(shù)列{an}的通項公式，再代入裂項求和即可.【小問1詳解】證明：因為，所以當時，，兩式相減，得到，整理得，又因為an＞0，所以，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為3；【小問2詳解】證明：當n＝1時，6S1＝（a1+1）（a1+2），解得a1＝1或a1＝2，因為a1＜2，所以a1＝1，由（1）可知公差d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×3＝3n﹣2，所以，所以＝.20、（1）（2）存在：【解析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的關(guān)系，計算求值，即可得答案.（2）由（1）可得B、F點坐標，可得直線BF的斜率，根據(jù)F為垂心，可得，可得直線l的斜率，設(shè)出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，結(jié)合垂心的性質(zhì)，列式求解，即可得答案.【小問1詳解】因為焦距為4，所以，即，又過點，所以，又，聯(lián)立求得，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】由（1）可得，所以，因為F為垂心，直線BF與直線l垂直，所以，則，即直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為，，與橢圓聯(lián)立得，，所以，因為F為垂心，所以直線BN與直線MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又時，直線l過點B，不符合題意，所以，所以存在直線l：，滿足題意.21、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算，，求出切線方程即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)函數(shù)