山西省同煤二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

山西省同煤二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法中正確的有（）①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③菱形的直觀圖是菱形；④正方形的直觀圖是正方形.A.① B.①②C.③④ D.①②③④2．已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）A. B.C. D.3．過拋物線C：的準(zhǔn)線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項中有（）個奇數(shù)A.1012 B.1346C.1348 D.13505．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%6．已知是數(shù)列的前項和，，則數(shù)列是（）A.公比為3的等比數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.公比為的等比數(shù)列 D.既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列7．若點是函數(shù)圖象上的動點（其中的自然對數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.8．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A.函數(shù)有極大值和極小值B.函數(shù)有極大值和極小值C.函數(shù)有極大值和極小值D.函數(shù)有極大值和極小值9．在平面上有一系列點，對每個正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，以點為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項之和為，則（）A. B.C. D.10．直線在y軸上的截距是A. B.C. D.11．已知函數(shù)，那么的值為（）A. B.C. D.12．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為_________14．橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為橢圓上異于左右頂點的任意一點，、的中點分別為M、N，O為坐標(biāo)原點，四邊形OMPN的周長為4，則的周長是_____15．__________16．已知春季里，甲地每天下雨的概率為，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙兩地下雨相互獨立，則春季的一天里，已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到、兩點的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過橢圓C的焦點作AB的平行線交橢圓于P，Q，求的面積18．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，且，，三角形為等腰直角三角形，且，.（1）若點為棱的中點，證明：平面平面；（2）若平面平面，點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，點A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點P，Q，求∠PFQ的大小21．（12分）已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，求的最小值，并求此時的值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，是等邊三角形.（1）證明：平面平面.（2）求點到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)斜二側(cè)直觀圖的畫法法則，直接判斷①②③④的正確性，即可推出結(jié)論【詳解】由斜二測畫法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據(jù)兩軸的夾角為45°或135°知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯誤；根據(jù)平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯誤.故選：B.2、D【解析】設(shè)圓錐的半徑為，母線長，根據(jù)已知條件求出、的值，可求得該圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，母線長，因為側(cè)面展開圖是一個半圓，則，即，又圓錐的表面積為，則，解得，，則圓錐的高，所以圓錐的體積，故選：D.3、D【解析】設(shè)切點，點，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準(zhǔn)線方程可得，將問題轉(zhuǎn)化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點，點由題意，拋物線C的準(zhǔn)線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.4、C【解析】由斐波那契數(shù)列的前幾項分析該數(shù)列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數(shù)列的前2022項中的奇數(shù)的個數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因為，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…………所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，又故該數(shù)列的前2022項中共有1348個奇數(shù)，故選：C.5、A【解析】根據(jù)甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件即可求解.【詳解】甲不輸有兩種情況：甲獲勝或甲、乙兩人下成平局，甲獲勝和甲、乙兩人下成平局是互斥事件，所以甲、乙兩人下成平局的概率為.故選：A.6、D【解析】由得，然后利用與的關(guān)系即可求出【詳解】因為，所以所以當(dāng)時，時，所以故數(shù)列既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列故選：D【點睛】要注意由求要分兩步：1.時，2.時.7、A【解析】設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點的坐標(biāo)，則到直線的距離最小值為點到直線的距離，再求解即可.【詳解】解：設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A8、D【解析】則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減9、C【解析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)的圖象上，即可得到遞推關(guān)系式，通過構(gòu)造等差數(shù)列求得的通項公式，得出，最后利用裂項相消，求出數(shù)列前項和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數(shù)列且，，則，，則，即，故答案選：.10、D【解析】在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【詳解】令x=0，則y=-2，即直線在y周上的截距為-2，故選D.11、D【解析】直接求導(dǎo)，代入計算即可.【詳解】，故.故選：D.12、D【解析】對于A，利用空間向量基本定理判斷，對于B，利用向量的定義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，共面向量定理判斷【詳解】對于A，若三個向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯誤，對于B，因為向量是自由向量，是可以自由平移，所以當(dāng)所在的直線是異面直線時，有可能共面，所以B錯誤，對于C，當(dāng)三個向量兩兩共面時，如空間直角坐標(biāo)系中的3個基向量兩兩共面，但這3個向量不共面，所以C錯誤，對于D，因為A，B，C三點不共線，，且，所以A，B，C，D四點共面，所以D正確，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)給定條件探求出橢圓長軸長與其焦距的關(guān)系即可計算作答.【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，焦距為，即，依題意，，而直線是圓的切線，即，則有，又點在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：14、【解析】先證明則四邊形OMPN是平行四邊形，進而根據(jù)橢圓定義求出a，再求出c，最后求出答案.【詳解】因為M,O,N分別為的中點，所以，則四邊形OMPN是平行四邊形，所以，由四邊形OMPN的周長為4可知，，即，則，于是的周長是.故答案為：.15、【解析】先由題得到，再整體代入化簡即得解.【詳解】因為，所以，則故答案為【點睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、##0.5【解析】根據(jù)條件概率求概率的方法即可求得答案.【詳解】設(shè)A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率為p，則，因為甲乙兩地下雨相互獨立，所以，于是在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由題意可得a＝2，，求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意可求出的坐標(biāo)，則可求出直線PQ的方程，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出的值，從而可求出的值【小問1詳解】由橢圓定義可得2a＝4，所以a＝2，又因點在橢圓C上，所以，解得：，所以a的值為2，橢圓C的方程為【小問2詳解】由橢圓的方程可得，，，所以，所以直線PQ的方程為，設(shè)，，由可得，所以，，所以，所以18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，進而證明平面，即可證明平面，從而證明平面平面.（2）以點為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【小問1詳解】因為為等腰直角三角形，點為棱的中點，所以，又因為，，所以，又因為在中，，，所以，所以，所以，又因為，所以平面，又因為為平行四邊形，所以，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，，所以平面，又因為，以點為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則由，，可得令，得，設(shè)直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再計算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結(jié)果.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點為，連接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)邊長關(guān)系可知，，，，，∴，.∵三棱錐和的體積比為，∴，∴，∴.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.20、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，驗證，即∠PFQ＝90°．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達定理，結(jié)合直線MA的方程為．求出、．利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可【小問1詳解】由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F(xiàn)（1，0），則，，故，即∠PFQ＝90°當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y＝k（x﹣1），其中k≠0聯(lián)立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0由題意，知Δ＞0恒成立，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，直線MA的方程為，令x＝4，得，即，同理可得所以，因為0，所以∠PFQ＝90°綜上，∠PFQ＝90°21、（1）;（2），.【解析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化簡函數(shù)的解析式，利用基本不等式可以求出函數(shù)的最小值.【小