上海市上外附大境中學2025屆數(shù)學高二上期末復習檢測模擬試題含解析

上海市上外附大境中學2025屆數(shù)學高二上期末復習檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面上給定相異兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線的虛軸端點，動點滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.3．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.54．19世紀法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（）A. B.C. D.5．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.6．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)的值是A. B.C. D.7．阿基米德曾說過：“給我一個支點，我就能撬動地球”.他在做數(shù)學研究時，有一個有趣的問題：一個邊長為2的正方形內(nèi)部挖了一個內(nèi)切圓，現(xiàn)在以該內(nèi)切圓的圓心且平行于正方形的一邊的直線為軸旋轉一周形成幾何體，則該旋轉體的體積為（）A. B.C. D.8．已知隨圓與雙曲線相同的焦點，則橢圓和雙曲線的離心，分別為（）A. B.C. D.9．已知橢圓的長軸長為，短軸長為，則橢圓上任意一點到橢圓中心的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.10．直線x﹣y+3＝0的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°11．已知等比數(shù)列中，，，則公比（）A. B.C. D.12．如圖甲是第七屆國際數(shù)學家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項和，則（）A.8 B.9C.10 D.11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與直線平行，且距離為的直線方程為______14．已知，滿足約束條件則的最小值為__________15．在報名的3名男教師和3名女教師中，選取3人參加義務獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方法數(shù)為__________.(結果用數(shù)值表示)16．下圖是個幾何體的展開圖，圖①是由個邊長為的正三角形組成；圖②是由四個邊長為的正三角形和一個邊長為的正方形組成；圖③是由個邊長為的正三角形組成；圖④是由個邊長為的正方形組成.若幾何體能夠穿過直徑為的圓，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結論的序號）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，（1）若，為真命題，為假命題，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍18．（12分）計算：（1）求函數(shù)（a，b為正常數(shù)）的導數(shù)（2）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍19．（12分）已知數(shù)列中，，（）.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和為.20．（12分）已知函數(shù)其中.（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，函數(shù)有兩個零點，，滿足，證明.21．（12分）已知點A（1，2）在拋物線C∶上，過點A作兩條直線分別交拋物線于點D，E，直線AD，AE的斜率分別為kAD，kAE，若直線DE過點P（-1，-2）（1）求拋物線C的方程；（2）求直線AD，AE的斜率之積.22．（10分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+2，x=2是f(x)的一個極值點.（1）求實數(shù)a的值；（2）求f(x)在區(qū)間(-1，4]上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先求動點的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動點的軌跡是圓心為,半徑的圓，當位于圓的最高點時的面積最大，所以,解得；當位于圓的最左端時的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.2、A【解析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A3、C【解析】作出不等式組對應的可行域，再利用數(shù)形結合分析求解.【詳解】解：作出不等式組對應的可行域為如圖所示的陰影部分區(qū)域，由得，它表示斜率為縱截距為的直線系，當直線平移到點時，縱截距最大，最大.聯(lián)立直線方程得得.所以.故選：C4、B【解析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個交點可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B5、D【解析】先求出的坐標，再求出其模【詳解】因為，，所以，故，故選：D.6、C【解析】由方程表示雙曲線知，又雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，所以，即，所以故選C.考點：雙曲線的標準方程與簡單幾何性質.7、B【解析】根據(jù)題意，結合圓柱和球的體積公式進行求解即可.【詳解】由題意可知：該旋轉體的體積等于底面半徑為，高為的圓柱的體積減去半徑為的球的體積，即，故選：B8、B【解析】設公共焦點為，推導出，可得出，進而可求得、的值.【詳解】設公共焦點為，則，則，即，故，即，，故選：B9、A【解析】不妨設橢圓的焦點在軸上，設點，則，且有，利用二次函數(shù)的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】不妨設橢圓的焦點在軸上，則該橢圓的標準方程為，設點，則，且有，所以，.故選：A.10、C【解析】先求斜率，再求傾斜角即可【詳解】解：直線的斜截式方程為，∴直線的斜率，∴傾斜角，故選：C【點睛】本題主要考查直線的傾斜角與斜率，屬于基礎題11、C【解析】利用等比中項的性質可求得的值，再由可求得結果.【詳解】由等比中項的性質可得，解得，又，，故選：C.12、B【解析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】由題意，設所求直線方程為，根據(jù)兩平行直線間的距離公式即可求解.【詳解】解：由題意，設所求直線方程為，因為直線與直線的距離為，所以，解得或，所以所求直線方程為或，故答案為：或.14、2【解析】由題意，根據(jù)約束條件作出可行域圖，如圖所示，將目標函數(shù)轉化為，作出其平行直線，并將其在可行域內(nèi)平行上下移動，當移到頂點時，在軸上的截距最小，即.15、18【解析】由題設，選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師，應用組合數(shù)求出選取方法數(shù).【詳解】選取方式有：選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師，∴不同的選取方法有：種.故答案為：18.16、①【解析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進而求其外接球半徑，并與比較大小，即可確定答案.【詳解】①由題設，幾何體為棱長為的正四面體，該正四面體可放入一個正方體中，且正方體的棱長為，該正四面體的外接球半徑為，滿足要求；②由題設，幾何體為棱長為的正四棱錐，如下圖所示：設，連接，則為、的中點，因為四邊形是邊長為的正方形，則，所以，，所以，，所以，，，所以點為正四棱錐的外接球球心，且該球的半徑為，不滿足要求；③由題設，幾何體為棱長為的正八面體，該正八面體可由兩個共底面，且棱長均為的正四棱錐拼接而成，由②可知，該正八面體的外接球半徑為，不滿足要求；④由題設，幾何體為棱長為的正方體，其外接球半徑為，不滿足要求；故答案為：①.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)化簡命題p，將m=3代入求出命題q，再根據(jù)或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計算作答.【詳解】(1)依題意，：，當時，：，因為真命題，為假命題，則與一真一假，當真假時，即且或，無解，當假真時，即或且，解得或，綜上得：或，所以實數(shù)x的取值范圍是；(2)因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件，于是得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)導數(shù)的運算法則，結合復合函數(shù)的求導法則，可得答案;（2）求出函數(shù)的導數(shù)，結合基本不等式求得導數(shù)的取值范圍，根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合正切函數(shù)的單調(diào)性，求得答案.【小問1詳解】由題意得：；【小問2詳解】,由于，故，當且僅當時取等號，故，則P處的切線的斜率，由為曲線在點P處的切線的傾斜角可得，由于，故的取值范圍為：.19、（1）（2）【解析】由已知式子變形可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式易得利用錯位相減法，得到數(shù)列的前項和為解析：（1）由，（）知，又，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，∴（2），，兩式相減得，∴點睛：本題主要考查數(shù)列的證明，錯位相減法等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力，轉化能力和計算能力．第一問中將已知的遞推公式進行變形，轉化為的形式來證明，還可以根據(jù)等比數(shù)列的定義來證明；第二問，將第一問中得到的結論代入，先得到的表達式，利用錯位相減法，即可得到數(shù)列的前項和為20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間,無遞減區(qū)間；（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，從而判斷其正負，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意可得到，進而變形為，然后換元令，將證明的問題轉換為成立的問題，從而構造新函數(shù)，求新函數(shù)的導數(shù)，判斷其單調(diào)性，求其最值，進而證明不等式成立.【小問1詳解】時，，,令，當時，，當時，，故，則，故是單調(diào)遞增函數(shù)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為,無遞減區(qū)間；【小問2詳解】當時，函數(shù)有兩個零點，，滿足,即，所以，則，令，由于，則，則x2=tx故，要證明，只需證明，即證，設，令，則，當時，，即在時為增函數(shù)，故，即，所以在時為增函數(shù)，即，即，故，即.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及涉及到零點的不等式的證明問題，解答時要注意導數(shù)的應用，主要是根據(jù)導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求函數(shù)極值或最值，解答的關鍵時對函數(shù)式或者不等式進行合理的變形，進而能構造新的函數(shù)，利用新的函數(shù)的單調(diào)性或最值達到證明不等式成立的目的m.21、（1）（2）【解析】（1）代入點即可求得拋物線方程；（2）聯(lián)立方程后利用韋達定理求出，，，，然后代入即可求得斜率的積.【小問1詳解】