貴陽(yáng)市第十八中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

貴陽(yáng)市第十八中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2．在長(zhǎng)方體中，，，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)，的夾角為（）A. B.C. D.3．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足且，則的值是（）A.1 B.4C.－3 D.64．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.5．過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則（）A.2 B.2C.1 D.16．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件7．“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種8．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.1209．橢圓上的點(diǎn)P到直線(xiàn)x+2y-9=0的最短距離為（）A. B.C. D.10．已知a，b為不相等實(shí)數(shù)，記，則M與N的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公比，則＝（）A. B.C. D.12．已知直線(xiàn)l：的傾斜角為，則（）A. B.1C. D.－1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總書(shū)記在“十九大”報(bào)告中指出：堅(jiān)定文化自信，推動(dòng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛(ài)好者的探究欲望．如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角中，第10行第8個(gè)數(shù)是______14．棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)到截面的距離等于__________.15．?dāng)?shù)列中，，則______16．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)的交點(diǎn)為P，，的斜率均存在且乘積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡為曲線(xiàn)C.（1）求曲線(xiàn)C的方程;（2）若點(diǎn)M在曲線(xiàn)C上，過(guò)點(diǎn)M且垂直于OM的直線(xiàn)交C于另一點(diǎn)N，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q.直線(xiàn)NQ交x軸于點(diǎn)T，求的最大值.18．（12分）已知拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且與x軸垂直的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)，|AB|＝4（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn)，若△OPQ的面積為4，求直線(xiàn)l的斜率（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）19．（12分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)（1）求直線(xiàn)AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿(mǎn)足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值20．（12分）已知數(shù)列，，，為其前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）要設(shè)計(jì)一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設(shè)計(jì)才能使得總成本最低？22．（10分）某廠(chǎng)有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為（1）若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬(wàn)元的工資，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)維修，都產(chǎn)生5萬(wàn)元的利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn)．若該廠(chǎng)在雇傭維修工人時(shí)，要保證在任何時(shí)刻多臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠(chǎng)每月獲利最大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點(diǎn)：1.指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.2、C【解析】設(shè)出長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量求異面直線(xiàn)所成角即可.【詳解】如下圖所示，以，，所在直線(xiàn)方向，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，所以，，設(shè)異面直線(xiàn)，的夾角為，所以，所以，即異面直線(xiàn)，的夾角為.故選：C.3、A【解析】根據(jù)題意，由于，可知數(shù)列是公差為-3的等差數(shù)列，則可知d=-3,由于=，故選A4、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據(jù)“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C5、C【解析】應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示求的坐標(biāo)，由且列方程求y值.【詳解】由題設(shè)，，則且，所以，即，可得.故選：C6、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，非充分，故A錯(cuò).當(dāng)不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當(dāng)在中，，反之，故為充要條件，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，，，充分條件，因?yàn)?，?dāng)時(shí)成立，非必要條件，故D錯(cuò).故選：B.7、B【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B8、A【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，由加法原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒(méi)有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A9、A【解析】與已知直線(xiàn)平行，與橢圓相切的直線(xiàn)有二條，一條距離最短，一條距離最長(zhǎng)，利用相切，求出直線(xiàn)的常數(shù)項(xiàng)，再計(jì)算平行線(xiàn)間的距離即可.【詳解】設(shè)與已知直線(xiàn)平行，與橢圓相切的直線(xiàn)為，則所以所以橢圓上點(diǎn)P到直線(xiàn)的最短距離為故選：A10、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因?yàn)?，又，所以，即故選：A11、A【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式直接計(jì)算即可.【詳解】由已知可得.故選：A.12、A【解析】由傾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)l的傾斜角為，所以斜率.所以，解得：.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、120【解析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式系數(shù)的相關(guān)知識(shí)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?xiàng)式展開(kāi)式第項(xiàng)的系數(shù)為，所以，第10行第8個(gè)數(shù)是.故答案為：12014、【解析】根據(jù)勾股定理可以計(jì)算出，這樣得到是直角三角形，利用等體積法求出點(diǎn)到的距離.【詳解】解：如圖所示，在三棱錐中，是三棱錐的高，，在中，,,,所以是直角三角形，，設(shè)點(diǎn)到的距離為，.故A到平面的距離為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到線(xiàn)的距離，利用等體積法求出點(diǎn)到面的距離.是解題的關(guān)鍵.15、1【解析】根據(jù)可得，則，所以可得數(shù)列是以6為周期周期數(shù)列，再由計(jì)算出的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，因?yàn)?，，所以，所以，所以所以，故答案為?16、2【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的加法法則，對(duì)求導(dǎo)，再求即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩直線(xiàn)的斜率之積為得到方程，整理即可；（2）設(shè)，，，根據(jù)設(shè)、在橢圓上，則，再由，則，即可表示出直線(xiàn)、的方程，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程，即可得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到，令，則，最后利用基本不等式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，定點(diǎn)，，直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為，，【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，，則，，所以又，所以，又即，則直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，由，解得，即，所以令，則，所以因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為；18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義以及拋物線(xiàn)通徑的性質(zhì)可得，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，得，利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理可得的值，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，根據(jù)三角形面積公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由拋物線(xiàn)的定義得到準(zhǔn)線(xiàn)的距離都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為y2＝4x（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因?yàn)橹本€(xiàn)l與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，則，y1y2＝-4，所以又點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離，所以，解得，即【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，意在考查綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力和較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題19、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線(xiàn)向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個(gè)平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線(xiàn)與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個(gè)法向量為令設(shè)平面一個(gè)法向量為令因此【點(diǎn)睛】本題考查利用向量求線(xiàn)線(xiàn)角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1）（2）【解析】(1)按照所給條件，先算出的表達(dá)式，再按照與的關(guān)系計(jì)算,；(2)裂項(xiàng)相消求和即可.【小問(wèn)1詳解】由題可知數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，又因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】所以；故答案為：，.21、當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時(shí)，總成本最底.【解析】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進(jìn)而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進(jìn)而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時(shí)成本最小.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價(jià)為元，由題意得：，則，表面積造價(jià)，，令，得，令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時(shí)，總成本最底.22、（1）答案見(jiàn)解析（2）雇傭3名【解析】（1）設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，由題意知，即可由二項(xiàng)分布求解；（2）設(shè)該廠(chǎng)雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時(shí)刻多臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計(jì)算3人，4人時(shí)的獲利即可得解.【小問(wèn)1詳解】每臺(tái)機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為，4臺(tái)機(jī)器相當(dāng)于4次獨(dú)立試驗(yàn)設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問(wèn)2詳解】設(shè)該廠(chǎng)雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4