2025屆山東省陽谷縣第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆山東省陽谷縣第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則()A． B． C． D．2．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里4．為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A． B． C． D．5．《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A． B． C． D．6．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．8．已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是其一條漸近線上一點，且以為直徑的圓經(jīng)過點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．810．若實數(shù)、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．11．已知集合，定義集合，則等于（）A． B．C． D．12．tan570°=（）A． B．- C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)為奇函數(shù)，則_______.14．已知數(shù)列滿足：點在直線上，若使、、構(gòu)成等比數(shù)列，則______15．如圖是某幾何體的三視圖，俯視圖中圓的兩條半徑長為2且互相垂直，則該幾何體的體積為________.16．四邊形中，，，，，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l的極坐標方程為，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標方程；（2）求直線l被圓截得的弦長．18．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下：等級不合格合格得分頻數(shù)624（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學(xué)期望．19．（12分）如圖（1）五邊形中，,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點為線段的中點，且平面.（1）求證：平面平面；（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.21．（12分）某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件，質(zhì)檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗，這些零件的長度服從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨立．若零件的長度滿足，則認為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設(shè)充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則．22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線極坐標方程為.若直線交曲線于，兩點，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴，故選D【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．2、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個選項，再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個選項.【詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.3、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.4、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯題.5、C【解析】

由題意知：，，設(shè)，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設(shè)，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實部與虛部對應(yīng)相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算，需掌握復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)題意，設(shè)點在第一象限，求出此坐標，再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)點在第一象限，雙曲線的一條漸近線方程為，所以，，又以為直徑的圓經(jīng)過點，則，即，解得，，所以，，即，即，所以，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率，解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當時，，由于關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當時，，則不滿足題意；當時，當時，，沒有整數(shù)解當時，，至少有兩個整數(shù)解綜上，實數(shù)的最大值為故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.10、D【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，得，可得點，由得，平移直線，當該直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故選：D.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．11、C【解析】

根據(jù)定義，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】因為集合，所以，則，所以.故選:C.【點睛】本題考查集合的新定義運算，理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可．【詳解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-2【解析】

由是定義在上的奇函數(shù),可知對任意的,都成立,代入函數(shù)式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域為,,是奇函數(shù),則,即對任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、13【解析】

根據(jù)點在直線上可求得，由等比中項的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】在上，，成等比數(shù)列，，即，解得：.故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)三項成等比數(shù)列求解參數(shù)值的問題，涉及到等比中項的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、20【解析】

由三視圖知該幾何體是一個圓柱與一個半球的四分之三的組合，利用球體體積公式、圓柱體積公式計算即可.【詳解】由三視圖知，該幾何體是由一個半徑為2的半球的四分之三和一個底面半徑2、高為4的圓柱組合而成，其體積為.故答案為：20.【點睛】本題考查三視圖以及幾何體體積，考查學(xué)生空間想象能力以及數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.16、【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當時，取最小值，進而計算出結(jié)果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當時，取到最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．x2+y2＝1．（2）16【解析】

（1）直接利用極坐標方程和參數(shù)方程公式化簡得到答案.（2）圓心到直線的距離為，故弦長為得到答案.【詳解】（1），即，即，即.，故.（2）圓心到直線的距離為，故弦長為.【點睛】本題考查了極坐標方程和參數(shù)方程，圓的弦長，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.18、（1）64，65；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件，由條件概率公式可求出；（3）從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機抽取10人進行座談，其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為，“合格”的學(xué)生數(shù)為6；由題意可得，5，10，15，1，利用“超幾何分布”的計算公式即可得出概率，進而得出分布列與數(shù)學(xué)期望．【詳解】由題意知，樣本容量為，．（1）平均數(shù)為，設(shè)中位數(shù)為，因為，所以，則，解得．（2）由題意可知，分數(shù)在內(nèi)的學(xué)生有24人，分數(shù)在內(nèi)的學(xué)生有12人．設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件，則，所以．（3）在評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人，則“不合格”的學(xué)生人數(shù)為，“合格”的學(xué)生人數(shù)為．由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1．，．所以的分布列為0510151．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了計算能力，屬于中檔題．19、（1）見解析（2）【解析】試題分析:（1）根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直,再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立;（2）通過已知條件求出各邊長度,建系如圖所示,求出平面的法向量,根據(jù)線面角公式代入坐標求得結(jié)果.試題解析:（1）證明：取的中點，連接，則，又，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，∴平面，∴.由即及為的中點，可得為等邊三角形，∴，又，∴，∴，∴平面平面，∴平面平面.（2）解：，∴為直線與所成的角，由（1）可得，∴，∴，設(shè)，則，取的中點，連接，過作的平行線，可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，∴，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則為平面的一個法向量，∵，則直線與平面所成角的正弦值為.點睛:判定直線和平面垂直的方法:①定義法．②利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．平面與平面垂直的判定方法:①定義法．②利用判定定理：一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直．20、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，