專題09菱形(考點(diǎn)剖析)-2018-2019學(xué)年浙江省八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末必考點(diǎn)復(fù)習(xí)(浙教版)(原卷版+解析)

專題09菱形【考點(diǎn)剖析】菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.1、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有自己特有的性質(zhì)，如下：①菱形的四條邊都相等；②菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半.④對(duì)稱性：菱形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.2、菱形的判定菱形的判定方法：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；③四條邊相等的四邊形是矩形.菱形的性質(zhì)【典例】例1．已知菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為12cm，面積為30cm2，則這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．例2．如圖，F(xiàn)是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，AC與BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠1＝∠2，則下列結(jié)論：①AE＝BE；②BF⊥AD；③AC＝2BF；④CE＝BF+BG．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④例3．如圖，菱形ABCD與矩形BMDN有公共對(duì)角線BD，M，N在AC上，且AC＝4，BD＝2，則AD：DM＝___________．【鞏固練習(xí)】1．若菱形的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)8、6，則菱形的面積為（）A．48 B．24 C．14 D．122．菱形OACB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（2，﹣6） D．（2，6）3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣6，0），（4，0），點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（6，8） B．（10，8） C．（10，6） D．（4，6）4．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于點(diǎn)H，且DH與AC交于點(diǎn)G，AGcm，則GH的長(zhǎng)為（）A．cm B．cm C．cm D．cm5．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．40°6．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，則∠EFC＝__________°．菱形的判定【典例】例1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．（1）求證：CE＝AD；（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由．【鞏固練習(xí)】1．如圖：將兩張平行且寬度相等的紙條交叉重疊在一起，點(diǎn)A、B、C、D分別是紙條平行邊的交點(diǎn)．求證：四邊形ABCD是菱形．2．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn)，DF、EG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．（1）求證：四邊形FBGH是平行四邊形；（2）如果AC平分∠BAH，求證：四邊形ABCH是菱形．3．如圖，點(diǎn)E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE＝DF．（1）試判斷四邊形AECF的形狀；（2）若AE＝BE，∠BAC＝90°，求證：四邊形AECF是菱形．4．如圖，在?ABCD中，AC⊥CD．（1）延長(zhǎng)DC到E，使CE＝CD，連接BE，求證：四邊形ABEC是矩形；（2）若點(diǎn)F，G分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接AF，CG，試判斷四邊形AFCG是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．菱形的判定與性質(zhì)【典例】例1．已知，如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，AE⊥BF于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)E，連接EF．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四邊形ABCD的面積．【鞏固練習(xí)】1．如圖，菱形ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，BE∥AC，AE∥BD，EO與AB交于點(diǎn)F．（1）試判斷四邊形AEBO的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）求證：EO＝DC．2．已知平行四邊形ABCD中，CE⊥AB，垂足為O，CE與DA的延長(zhǎng)線相交于E，且DA＝AE，連接AC、BE；（1）如圖1，求證：四邊形ACBE是菱形；（2）如圖2，連接DO，若∠EAC＜90°，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖2中所有面積等于△DOC的面積的鈍角三角形．專題09菱形【考點(diǎn)剖析】菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.1、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有自己特有的性質(zhì)，如下：①菱形的四條邊都相等；②菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半.④對(duì)稱性：菱形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.2、菱形的判定菱形的判定方法：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；③四條邊相等的四邊形是矩形.菱形的性質(zhì)【典例】例1．已知菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為12cm，面積為30cm2，則這個(gè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．【答案】5【解析】解：設(shè)另一條對(duì)角線長(zhǎng)為xcm，則12x＝30，解之得x＝5．故答案為5．【點(diǎn)睛】設(shè)另一條對(duì)角線長(zhǎng)為x，然后根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式列方程求解即可．主要考查菱形的面積公式：兩條對(duì)角線的積的一半．例2．如圖，F(xiàn)是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，AC與BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠1＝∠2，則下列結(jié)論：①AE＝BE；②BF⊥AD；③AC＝2BF；④CE＝BF+BG．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【解析】解：連接DB交AC于O∵ABCD為菱形∴AD∥CB，AD＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，∠DAC＝∠CAB∴∠1＝∠DAC，且∠1＝∠2∴∠CAB＝∠2∴AE＝BE故①正確∵AE＝BE，EG⊥AB∴AG＝GBAB∵F是AD中點(diǎn)∴AFAD∴AF＝AG，且∠DAC＝∠CAB，AE＝AE∴△AEF≌△AEG，∴∠AFE＝∠AEG＝90°∴BF⊥AD故②正確∵AB＝AB，∠AFB＝∠AOB，∠2＝∠CAB∴△AFB≌△ABO∴BF＝AOAC∴AC＝2BF故③正確∵∠2+∠CAB+∠CAD＝90°且∠2＝∠CAB＝∠CAD∴∠2＝∠CAB＝∠CAD＝30°∴BOAB＝BG且EB＝EB∴Rt△EGB≌Rt△EOB∴EG＝EO∴CE＝CO+EO＝BF+EG故④錯(cuò)誤故選：A．【點(diǎn)睛】連接DB交AC于O，由菱形性質(zhì)可得∠DAC＝∠CAB＝∠1，可得∠1＝∠2，可得AE＝BE，且EG⊥AB可得AGAB，可證△AEF≌△AEG，可判斷①②．由△ABO≌△ABF可判斷③．由∠DAC＝∠CAB＝∠2，可得∠DAC＝∠CAB＝∠2＝30°，可得BO＝BG，可證△BEO≌△BEG，可得EG＝EO，則CE＝CO+EO＝BF+EG可判斷④．本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)解決問(wèn)題．例3．如圖，菱形ABCD與矩形BMDN有公共對(duì)角線BD，M，N在AC上，且AC＝4，BD＝2，則AD：DM＝___________．【答案】：【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，DO＝BO，∴∠AOD＝90°，∵AC＝4，BD＝2，∴AO＝2，DO＝1，∴AD，∵四邊形BMDN是矩形，∴DB＝MN＝2，∴DO＝MO＝1，∴DM，∴AD：DM：，故答案為：．【點(diǎn)睛】由菱形的性質(zhì)可知BD⊥AC，進(jìn)而可利用勾股定理分別求出AD，DM的長(zhǎng)，則其比值即可求出．本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是充分利用勾股定理求出AD，DM的長(zhǎng)，再求它們的比值．【鞏固練習(xí)】1．若菱形的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)8、6，則菱形的面積為（）A．48 B．24 C．14 D．12【答案】B【解析】解：∵菱形的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)8、6，∴S8×6＝24．故選：B．2．菱形OACB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（2，﹣6） D．（2，6）【答案】B【解析】解：如圖，連接AB，交OC于點(diǎn)D，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是2，∴OC＝8，BD＝AD＝2，∴OD＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，﹣2）．故選：B．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣6，0），（4，0），點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（6，8） B．（10，8） C．（10，6） D．（4，6）【答案】B【解析】解：∵A（﹣6，0），B（4，0），∴AB＝10，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝DC＝10，在Rt△ADO中，OD8，∴D（0，8），∵CD∥AB，∴C（10，8），故選：B．4．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于點(diǎn)H，且DH與AC交于點(diǎn)G，AGcm，則GH的長(zhǎng)為（）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】B【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC＝8cm，BD＝6cm，∴AO＝4cm，BO＝3cm，在Rt△AOB中，AB5cm，∵BD×AC＝AB×DH，∴DHcm，在Rt△DHB中，BHcm，則AH＝AB﹣BHcm，∴GHcm．故選：B．5．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】A【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故選：A．6．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，則∠EFC＝__________°．【答案】105【解析】解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD∠BCD＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∵CE⊥AD，∴∠ACE∠ACD＝30°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∵CE＝BC，∴∠E＝∠CBE＝45°，∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACE＝180°﹣45°﹣30°＝105°，故答案為：105．菱形的判定【典例】例1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．（1）求證：CE＝AD；（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵M(jìn)N∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE＝AD；（2）四邊形BECD是菱形，理由如下：∵D為AB中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴四邊形BECD是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．【鞏固練習(xí)】1．如圖：將兩張平行且寬度相等的紙條交叉重疊在一起，點(diǎn)A、B、C、D分別是紙條平行邊的交點(diǎn)．求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵兩條紙條寬度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形2．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn)，DF、EG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．（1）求證：四邊形FBGH是平行四邊形；（2）如果AC平分∠BAH，求證：四邊形ABCH是菱形．【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：（1）∵點(diǎn)F、G是邊AC的三等分點(diǎn)，∴AF＝FG＝GC．又∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴DH∥BG．同理：EH∥BF．∴四邊形FBGH是平行四邊形．（2）連結(jié)BH，交AC于點(diǎn)O．∵四邊形FBGH是平行四邊形，∴BO＝HO，F(xiàn)O＝GO．又∵AF＝FG＝GC，∴AF+FO＝GC+GO．即：AO＝CO．∴四邊形ABCH是平行四邊形．∴AH∥BC．∴∠HAC＝∠BCA．∵AC平分∠BAH，∴∠HAC＝∠BAC．∴∠BAC＝∠BCA．∴AB＝BC．又∵四邊形ABCH是平行四邊形，∴四邊形ABCH是菱形．3．如圖，點(diǎn)E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE＝DF．（1）試判斷四邊形AECF的形狀；（2）若AE＝BE，∠BAC＝90°，求證：四邊形AECF是菱形．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）解：四邊形AECF為平行四邊形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，又∵BE＝DF，∴AF＝CE，∴四邊形AECF為平行四邊形；（2）證明：∵AE＝BE，∴∠B＝∠BAE，又∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠BCA＝90°，∠CAE+∠BAE＝90°，∴∠BCA＝∠CAE，∴AE＝CE，又∵四邊形AECF為平行四邊形，∴四邊形AECF是菱形．4．如圖，在?ABCD中，AC⊥CD．（1）延長(zhǎng)DC到E，使CE＝CD，連接BE，求證：四邊形ABEC是矩形；（2）若點(diǎn)F，G分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接AF，CG，試判斷四邊形AFCG是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CD＝CE，∴CE∥AB，CE＝AB，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∵AC⊥CD，∴∠ACE＝90°，∴四邊形ABEC是矩形；（2）四邊形AFCG是菱形，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∵點(diǎn)F、G分別是BC、AD的中點(diǎn)，∴AG＝DGAD，BF＝CFBC，∴AG＝CF，∴四邊形AFCG是平行四邊形，∵∠ACD＝90°，G為AD的中點(diǎn)，∴AG＝CG，∴四邊形AFCG是菱形．菱形的判定與性質(zhì)【典例】例1．已知，如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，AE⊥BF于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)E，連接EF．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四邊形ABCD的面積．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB＝AF．∴四邊形ABEF是菱形．（2）作FG⊥BC于G，∵四邊形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OEAE＝3，OBBF＝4，∴BE5，∵S菱形ABEF?AE?BF＝BE?FG，∴GF，∴S平行四邊形ABCD＝BC?FG．【點(diǎn)睛】（1）先證明四邊形ABEF是平行四邊形，再證明鄰邊