必刷提高練【28.1銳角三角函數】(原卷版+解析)

2022-2023學年九年級數學下冊考點必刷練精編講義（人教版）提高第28章《銳角三角函數》28.1銳角三角函數知識點01：銳角三角函數的定義1．（2022秋?寶安區(qū)校級期中）△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，tanB的值是（）A． B． C． D．2．（2022秋?荔城區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列四個選項，正確的是（）A． B． C． D．3．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）在直角三角形中，若各邊都擴大為原來的2倍，則其銳角的三角函數值（）A．都擴大為原來的2倍 B．都縮小為原來的一半 C．都沒有變化 D．不能確定4．（2022?揚州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2＝ac，則sinA的值為．5．（2022?昭陽區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，則cosB的值為．6．（2021秋?井研縣期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則sinB＝．7．（2015秋?醴陵市校級月考）已知，如圖Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求sin∠A和tan∠A．8．（2022?淮北模擬）在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分線，以BC為斜邊在△ABC外作等腰直角△BEC，連接DE．（1）求證：CD＝2AD；（2）當α＝90°時，求DE的長；（3）當0°＜α＜180°時，求DE的最大值．9．（2018?青浦區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分線交邊AC于點D，延長BD至點E，且BD＝2DE，連接AE．（1）求線段CD的長；（2）求△ADE的面積．知識點02：同角三角函數的關系10．（2021秋?邵東市期末）在△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．11．（2021秋?南崗區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA的值為（）A． B． C． D．12．（2021秋?瑤海區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA＝（）A． B． C． D．13．（2021?蒙陰縣模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sinA＝，則cos∠BCD的值為．14．（2020?浙江自主招生）已知：實常數a、b、c、d同時滿足下列兩個等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ為任意銳角），則a、b、c、d之間的關系式是：．15．（2018?姜堰區(qū)二模）若tanα＝1（0°＜α＜90°），則sinα＝．16．（2015秋?迎澤區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝．求cosA，sinB，tanB的值．若α為銳角，tanα＝4，求的值．18．對于同一銳角α有：sin2α+cos2α＝1，現(xiàn)銳角A滿足sinA+cosA＝．試求：（1）sinA?cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．知識點03：互余兩角三角函數的關系19．（2021秋?雁江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則下列結論中不正確的是（）A．a2+b2＝c2 B．sinB＝cosA C． D．sin2A+cos2A＝120．（2021秋?灤州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanB＝（）A． B． C． D．21．（2021秋?合肥期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則sinA＝（）A． B． C． D．22．（2020秋?富川縣期末）如果∠A是銳角，∠A+∠B＝90°，且sinA＝，那么cosB＝．23．（2020秋?中方縣期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB＝．知識點04：特殊角的三角函數值24．（2022秋?豐澤區(qū)校級月考）在△ABC中，若sinA＝，cosB＝，∠A，∠B都是銳角，則∠C的度數是（）A．105° B．90° C．75° D．120°25．（2022?石家莊模擬）下列說法中正確的是（）A．在Rt△ABC中，若，則a＝4，b＝3 B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，則 C．tan30°+tan60°＝1 D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+26．（2021秋?市中區(qū)期末）若銳角α滿足tanα＝，則角α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°27．（2020秋?紫金縣期末）已知α、β均為銳角，且滿足|cosα﹣|+＝0，則α+β的度數為．28．（2020秋?隆回縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么sinA＝．29．（2021春?涼州區(qū)校級期中）在△ABC中，∠A，∠B為銳角，sinA＝，tanB＝．則△ABC的形狀為．30．（2021?佛岡縣校級模擬）在△ABC中，|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，則∠C的度數是．31．（2019秋?工業(yè)園區(qū)期末）計算：tan45°﹣4sin30°cos230°．32．（2020秋?瑤海區(qū)校級月考）計算：+sin45°．2022-2023學年九年級數學下冊考點必刷練精編講義（人教版）提高第28章《銳角三角函數》28.1銳角三角函數知識點01：銳角三角函數的定義1．（2022秋?寶安區(qū)校級期中）△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，tanB的值是（）A． B． C． D．解：如圖：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝＝＝12，∴tanB＝＝，故選：D．2．（2022秋?荔城區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列四個選項，正確的是（）A． B． C． D．解：如圖，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∴tanB＝＝，所以A選項不符合題意；tanA＝＝，所以B選項不符合題意；sinB＝＝，所以C選項符合題意；cosB＝＝，所以D選項不符合題意．故選：C．3．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）在直角三角形中，若各邊都擴大為原來的2倍，則其銳角的三角函數值（）A．都擴大為原來的2倍 B．都縮小為原來的一半 C．都沒有變化 D．不能確定解：根據銳角三角函數的概念，知如果各邊都擴大原來的2倍，則其銳角的三角函數值不變．故選：C．4．（2022?揚州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2＝ac，則sinA的值為．．解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式兩邊同時除以ac得：＝+1，令＝x，則有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），當x＝時，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案為：．5．（2022?昭陽區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，則cosB的值為．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，∴設BC＝x，則AC＝2x，∴AB＝x，則cosB＝＝＝．故答案為：．6．（2021秋?井研縣期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則sinB＝．解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴sinB＝＝．故答案為：．7．（2015秋?醴陵市校級月考）已知，如圖Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求sin∠A和tan∠A．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝10，sin∠A＝＝＝；tan∠A＝＝＝．8．（2022?淮北模擬）在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分線，以BC為斜邊在△ABC外作等腰直角△BEC，連接DE．（1）求證：CD＝2AD；（2）當α＝90°時，求DE的長；（3）當0°＜α＜180°時，求DE的最大值．（1）證明：如圖，過點D作DO∥BC交AB于點O，∴∠ODB＝∠CBD，∵BD是角平分線，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，∵OD∥BC，∴＝，△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴CD＝2AD；解：（2）如圖，過點D作DO∥BC交AB于點O，當α＝90°時，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，∵△BEC為等腰直角三角形，BC＝12，∴∠EBC＝45°，BE＝6，∴∠DBE＝90°，由（1）可得AB＝6，＝＝，∴OB＝4，∴BD＝4，∴DE＝＝2；（3）如圖，過點D作DO∥BC交AB于點O，DE交BC于點F，設BC中點為點G，連接EG，∴BG＝6，當α變化時，OB的長度不變，∴點O在以點B為圓心，半徑為4的圓弧上，令圓弧與BC交于點F，∴BF＝4，此時，點D在以點F為圓心，半徑為4的圓弧上，當點D，E，F(xiàn)三點共線時，DE最大，∴GF＝BG﹣BF＝2，∴EF＝＝2，∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．9．（2018?青浦區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分線交邊AC于點D，延長BD至點E，且BD＝2DE，連接AE．（1）求線段CD的長；（2）求△ADE的面積．解：（1）過點D作DH⊥AB，垂足為點H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴DH＝DC＝x，則AD＝3﹣x．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，即CD＝；（2），∵BD＝2DE，∴，∴．知識點02：同角三角函數的關系10．（2021秋?邵東市期末）在△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，則cosA＝（）A． B． C． D．解：在△ABC中，∠C＝90°，∵tanA＝，∴＝，設BC＝3k，則AC＝4k，∴AB＝＝＝5k，∴cosA＝＝＝，故選：B．11．（2021秋?南崗區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA的值為（）A． B． C． D．解：∵∠C＝90°，sinA＝，∴＝，∴設BC＝2k，AB＝3k，∴AC＝＝＝k，∴tanA＝＝＝，故選：D．12．（2021秋?瑤海區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA＝（）A． B． C． D．解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1；∴cosA＝＝＝，∴tanA＝＝＝．故選：D．13．（2021?蒙陰縣模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，若sinA＝，則cos∠BCD的值為．解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，sinA＝＝，∴設BC＝3x，AB＝5x，由勾股定理得：AC＝4x，∴cosA＝＝＝，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴∠A+∠B＝∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cos∠BCD＝cosA＝，故答案為：．14．（2020?浙江自主招生）已知：實常數a、b、c、d同時滿足下列兩個等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ為任意銳角），則a、b、c、d之間的關系式是：a2+b2＝c2+d2．解：由①得asinθ+bcosθ＝c，兩邊平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③由②得acosθ﹣bsinθ＝﹣d，兩邊平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2∴a2+b2＝c2+d2．故答案為：a2+b2＝c2+d2．15．（2018?姜堰區(qū)二模）若tanα＝1（0°＜α＜90°），則sinα＝．解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），∴∠α＝45°，則sinα＝，故答案為．16．（2015秋?迎澤區(qū)校級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝．求cosA，sinB，tanB的值．解：∵sinA＝＝，∴設AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cosA＝＝，sinB＝cosA＝，tanB＝＝．17．（2009秋?滁州期末）若α為銳角，tanα＝4，求的值．解：由tanα＝4知，如果設a＝4x，則b＝x，結合a2+b2＝c2得c＝x；∴sinα＝，cosα＝，∴＝＝﹣．18．（2008秋?閘北區(qū)校級期末）對于同一銳角α有：sin2α+cos2α＝1，現(xiàn)銳角A滿足sinA+cosA＝．試求：（1）sinA?cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．解：（1）∵sinA+cosA＝，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA＝，即1+2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝；（2）∵（sinA﹣cosA）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA，＝1﹣，＝，∴sinA﹣cosA＝±．知識點03：互余兩角三角函數的關系19．（2021秋?雁江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則下列結論中不正確的是（）A．a2+b2＝c2 B．sinB＝cosA C． D．sin2A+cos2A＝1解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，由勾股定理可得a2+b2＝c2，因此選項A不符合題意；由銳角三角函數的定義可得sinB＝＝cosA，因此選項B不符合題意；由銳角三角函數的定義可知，tanA＝，因此選項C符合題意；由于sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝＝1，因此選項D不符合題意；故選：C．20．（2021秋?灤州市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanB＝（）A． B． C． D．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴＝，設AC＝4a，AB＝5a，∴BC＝＝＝3a，∴tanB＝＝＝，故選：B．21．（2021秋?合肥期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則sinA＝（）A． B． C． D．解：在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝，∴設AC＝4a，AB＝5a，∴BC＝＝＝3a，∴sinA＝＝＝，故選：A．22．（2020秋?富川縣期末）如果∠A是銳角，∠A+∠B＝90°，且sinA＝，那么cosB＝．解：∵∠A+∠B＝90°，∴cosB＝sinA＝．故答案為：．23．（2020秋?中方縣期末）在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB＝．解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝＝cosB，所以cosB＝，故答案為：．知識點04：特殊角的三角函數值24．（2022秋?豐澤區(qū)校級月考）在△ABC中，若sinA＝，cosB＝，∠A，∠B都是銳角，則∠C的度數是（）A．105° B．90° C．75° D．120°解：∵sinA＝，cosB＝，∠A，∠B都是銳角，∴∠A＝45°，∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝75°．故選：C．25．（2022?石家莊模擬）下列說法中正確的是（）A．在Rt△ABC中，若，則a＝4，b＝3 B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，則 C．tan30°+tan60°＝1 D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+解：A、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，則a＝3x，b＝4x，x≠0，故A不符合題意；B、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，則，故B符合題意；C、tan30°+tan60°＝+＝，故C不符合題意；D、tan75°＝tan（4