2020-2021學年新人教A版（2019）高一數學暑假作業(yè)綜合十一（含解析）

綜合十一-【新教材】人教A版(2019)

高一數學暑假作業(yè)(含解析)

一、單選題

1.下列不等式或命題一定成立的是()

①lg(/+；)》lgx(x>0)；@sinx+>2(%*kn,kGZ)；

@x2+1》2|x|(x6/?)；④y=^=(xGR)最小值為2.

A.①②B.②③C.①③D.②④

2.科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構造

得到，任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形,

并把中間一段去掉，這樣，原來的一條線段就變成了4條小線段構成的折線，稱為

“一次構造”；用同樣的方法把每條小線段重復上述步驟，得到16條更小的線段

構成的折線，稱為“二次構造”，…，如此進行“〃次構造”，就可以得到一條科

赫曲線,若要在構造過程中使得到的折線的長度達到初始線段的1000倍，則至少需

要通過構造的次數是().(取lg3ko.4771,lg2?0.3010)

3.已知函數/'(x)=cos卜%—§一2sin(x+E)cos(x+：),%eR,給出下列四個命

題：

①函數70)的最小正周期為2兀；

②函數“X)的最大值為1;

③函數/⑺在卜葭］上單調遞增;

④將函數/⑺的圖象向左平移卷個單位長度，得到的函數解析式為g(x)=sin2x.

其中正確命題的個數是()

A.1B.2C.3D.4

如圖在梯形ABC。中，BC=2AD,DE=EC,設麗

a,BC=b，則麗=

A.為+/

B.與+樂

D.7+部

24

5.下列四個選項中，正確的是

A.復平面內實軸上的點都表示實數，虛軸上的點都表示純虛數

B.若復數Z1，Z2滿足資+Z2=0,則zg=0且域=0

C.若復數Zi，Z2滿足區(qū)|=\z2\,則Z?=zf

D.設z為復數，a,bG.R,若z+a=22+bi,則，+a=2z—bi

6.在棱長為1的正方體ABCD-AiBiGA中，ACCB。O,E是線段&C（含端點）上

的一動點，

①0E1

②0E〃面4修山；

③三棱錐&-BDE的體積為定值；

④0E與4cl所成的最大角為90。.

上述命題中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

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7.某校為了解高三年級學生在線學習情況，統(tǒng)計了2020年4月18日?27日（共10天

）學生在線學習人數及其增長比例數據，并制成如圖所示的條形圖與折線圖的組合

圖.根據組合圖判斷，下列結論正確的是（）

A.這10天學生在線學習人數的增長比例在逐日減小

B.前5天在線學習人數的方差大于后5天在線學習人數的方差

C.這10天學生在線學習人數在逐日增加

D.前5天在線學習人數增長比例的極差大于后5天在線學習人數增長比例的極差

8.函數/。）={11.?；31則下列命題正確的是（）

A.函數是偶函數

B.函數/（x）最小值是0

C.函數f（x）的單調遞增區(qū)間是[1,+8）

D.函數"%）的圖象關于直線x=1對稱

二、多選題

9.下列說法中錯誤的為（）

A.已知m=（i,2）,b=（1,1）.且m與m+入b的夾角為銳角，則實數人的取值范圍

是（一^,+8）

B.向量n=（2,-3）員=（；,一方不能作為平面內所有向量的一組基底

c.若則苗在G方向上的投影為同

D.非零向量云和H滿足同=|b|=日一斗則云與W+U的夾角為60。

10.下列命題正確的（）

A.若復數z=（1-0（2一i），則|z|=VTo

B.若Zi=2-i,z2=1-3i,則復數Z]-z2的虛部是2/

C.若|z-l|=2,則憶一1一34的最小值為1

D.已知左eR,若關于x的方程X2+(卜+2。％+2+於=0有實數根，則實根必為

x=

11.如圖，在矩形A8CO中，已知/B=2AD=2,￡為48的中點，將AZDE沿DE翻

折到△41DE的位置，A1《平面488,M為&C的中點，則在翻折過程中，下列結

論正確的是()

A.恒有BMH平面A1DE

B.B與M兩點間距離恒為定值

C.三棱錐A1-OEM的體積的最大值為立

12

D.存在某個位置，使得平面ARE,平面41CD

12.甲乙兩個質地均勻且完全一樣的四面體，每個面都是正三角形，甲四個面上分別標

有數字1,2,3,4,乙四個面上分別標有數字5,6,7,8,同時拋擲這兩個四面

體一次，記事件A為“兩個四面體朝下一面的數字之和為奇數”，事件B為“甲四

面體朝下一面的數字為奇數”，事件C為“乙四面體朝下一面的數字為偶數”，則

下列結論正確的是()

A.P(A)=P(B)=P(C)B.P(BC)=PQ4C)=P(AB)

11

C.P(ABC)=-D.P(4)?P(B).P(C)=-

oo

三、填空題

13.(1)已知向量正方滿足|4|=2,|6|=4，且五=4，則為與方的夾角為.

(2)如圖,一艘船以每小時20km的速度向東航行，船在A處觀測燈塔。在北偏東45。

方向，行駛2九后，船到達6處，觀測燈塔C在北偏東15。方向，此時船與燈塔C

的距離為km.

AB東

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(3)已知兩點2(1,0),B(1,V3).。為坐標原點，點C在第二象限，且乙40C=120°,

設一2瓦5+而=小，則|前|=,OB-AC=

(4)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a*0),函數g(x)=f(x~)+/Q)+2a—

c(x^0),若函數/(x)與函數g(x)的值域相同，貝哈的取值范圍為

14.如圖，矩形A8CO中，AB=2AD=4,E為邊AB

的中點，將AADE沿直線OE翻轉成△&￡>￡,構成

四棱錐&-BCDE,若M為線段&C的中點，在翻

轉過程中有如下四個命題：

①MB〃平面&DE；

②存在某個位置，使DELaC；

③存在某個位置，使4D1CE；

④點&在半徑為近的圓周上運動.

其中正確的命題是.

15.下列四個命題

①樣本方差反映的是所有樣本數據與樣本平均值的偏離程度；

②從含有2008個個體的總體中抽取一個容量為100的樣本，現采用系統(tǒng)抽樣的方

法應先剔除8人，則每個個體被抽到的概率均為點；

③從總體中抽取的樣本數據共有〃，個m〃個4p個c,則總體的平均數元的估計

/古y,ma+nb+pc

值為m+n+p；

④某中學采用系統(tǒng)抽樣的方法，從該校高一年級全體800名學生中抽50名學生做

牙齒健康檢查，現將800名學生從001至I」800進行編號，已知從497?512這16個

數中取得的學生編號是503,則初始在第1小組001?016中隨機抽到的學生編號是

007.

其中真命題的個數是

四、解答題

16.已知a,b,c分別是回4BC內角Z,B,C的對邊，若沆=(a+c,b),記=3—08—(1)且

mln.(1)求角C■的大??；

(2)若?=遍，sin4=2sinB,求團4BC的面積.

(3)若c=g,求21ABe周長的取值范圍.

17.如圖1,已知等邊三角形ABC的邊長為3,點M,N分別是邊AB,AC上的點，且

BM=2MA,AN=2NC.如圖2,將aAMN沿折起到△4MN的位置，連接AB,

A'C.

(1)求證：平面4BM_L平面BCNM-,

(2)給出三個條件：①4M1BC；②二面角4—MN—C的大小為60。；③A到平面

8cMW的距離為空從中任選一個，補充在下面問題的條件中，并作答：

2

在線段上是否存在一點尸，使三棱錐4-PMB的體積為9若存在，求出笠的

4A>C

值；若不存在，請說明理由.

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18.如圖,三棱柱A/iG-ABC中，BBi1平面ABC,AB1BC,AB=2,BC=1,BB1=3,

。是CG的中點，E是48的中點.

(I)證明：0E〃平面GBAi；

(II)F是線段CCi上一點，且直線AF與平面ABBi公所成角的正弦值為右求二面角

F-B公—4的余弦值.

19.某地發(fā)現6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通過血清檢測確定該感染人員，血

清檢測結果呈陽性的即為感染人員，呈陰性表示沒感染.擬采用兩種方案檢測：

方案甲：將這6名疑似病人血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止；

方案乙：將這6名疑似病人隨機分成2組，每組3人.先將其中一組的血清混在一

起檢測，若結果為陽性，則表示感染人員在該組中，然后再對該組中每份血清逐個

檢測，直到能確定感染人員為止;若結果呈陰性，則對另一組中每份血清逐個檢測,

直到能確定感染人員為止.

(1)求這兩種方案檢測次數相同的概率;

(2)如果每次檢測的費用相同，請預測哪種方案檢測總費用較少?并說明理由.

20.對于函數方(?,f2(x),九㈤,如果存在實數a,b使得/i(x)=a(x)+b?力(%),

那么稱九(乃為「(X),片(X)的生成函數.

(1)設71(%)=log4X，/z(x)=log025x,a=2,b=1,生成函數/i(x).若不等式

2/i2(x)+3/i(x)+t<0在％e[4,16]上有解，求實數f的取值范圍.

(2)設函數91(X)=log3(9*T+1),g2(x)=x-1,是否能夠生成一個函數九(x).且

同時滿足:①九(x+1)是偶函數;②八(乃在區(qū)間[2,+8)上的最小值為210g310-2,

若能夠求函數無。)的解析式，否則說明理由.

21.已知函數/'(x)=cosx(V5sinx-cosx)+/，將y=/(x)的圖象向左平移%個單位后

得到g(x)的圖象.

(1)求g(x)的單調區(qū)間；

(2)在銳角AABC中，若g([)=-；+\&,求sin4+cosB的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查基本不等式及不等式性質，屬于基礎題.

利用基本不等式及不等式的性質對各命題逐一判斷即可.

【解答】

解：①中：x2-X+=(x-1)2>0,則/+；2丫，則lgQ2+[)2故①正確；

②中：x豐kit,k&Z,sinxG[—1,0)U(0,1]>當sinx<0時，sinx+故②

錯誤；

③中：x2+l-2\x\=\x\2-2\x\+1=(|x|-l)2>0,故/+1>2|x|(xeR),故③

正確；

④中：丫=理=警警=疹較+金之2,當且僅當代=1=得后時取等號，

JJVX2+2VX2+2VX2+2VXZ+2

此時/=一1,顯然不成立，故④錯誤；

故選：C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本考查對數的運算與估算,指數函數模型的運用，不等式求解，考查了分析和運算能力，

屬于中檔題.

根據題意，記初始線段長度為。，“一次構造”后的折線的長度為半，〃二次構造”后的

折線的長度為…，“〃次構造〃后的折線的長度為(9na,則要使得到的折線的長

度達到原來的1000倍，應滿足G)"a21000a,然后解不等式即可求解.

【解答】

解：由題意，記初始線段長度為a(a>0),“一次構造”后的折線的長度為半，

“二次構造”后的折線的長度為(》2a,…，

次構造〃后的折線的長度為(Jpa,

則要使得到的折線的長度達到原來的1000倍，應滿足a21000a,

兩邊同時取對數得nig：>Z5IOOO=3,即得n(21g2-lg3)>3,n>—,

3

代入數據得x24.02,

n>0.6020-0.4771

故至少需要通過構造的次數是25.

故選D

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了正弦型函數的最小正周期、最值、單調性、圖象的平移等知識，屬于中檔

題.

先由三角恒等變換得sin(2r-白，所以其周期、最值、單調性、平移情況皆可

判斷.

【解答】

解：依題意，

f(x)=co?(2x——)—2sin(x+-)+-)

=sin2x--co?2x=sin(2工——)，

226

所以/(%)的最小正周期為T7T，①錯誤；

f(x)最大值為1,②正確；

由囚+2/CTT42.x—2《+2fc/r

262

得，j+A-TT<x<'：：+krr,(k￡Z),

.S6

所以當k=-l時，f(x)的一個單調遞減區(qū)間為［一早,］,與區(qū)間［-十,卓有重

合，則函數/O)在［-?,十］上不是單調遞增的，故③錯誤；

將函數/(X)的圖象向左平移］:個單位長度，得到的函數解析式為g(x)=sin［2(x+

勺_(］=sin2x,故④正確.

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故選:B.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查的是向量的運算以及平面向量基本定理的應用，屬于基礎題，難度不大.

本題利用三角形法則，將所求向量通過轉化最后用已知向量表示出來即可.

【解答】

解：取BC中點凡連接FA,

因為在梯形A8CO中，BC=2AD,所以四邊形AOC尸是平行四邊形，

所以E4〃CD,FA=CD,

則麗=BC+CE=BC+癖=BC+^FA

-->1-->,--?1-->1-->

=BC+其B4-BF)=+其-：BC)

=-~BA+-~BC=-a^-b.

2424

故選D

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查復數的相關概念和運算法則，屬于基礎題.

利用原點也在虛軸上，即可判斷4取特殊復數，即可判斷3和C；設z=m+ni（m,〃是

實數），利用復數相等的概念即可判斷。.

【解答】

解：復平面內實軸上的點都表示實數，原點也在虛軸上，表示實數，故A錯誤；

取復數Zi=i,Z2=1滿足z,+z/=0,但：;=—1且：;—1,故8錯誤；

取復數Zi=l+i,Z2=1-i滿足二i|=El\無，但z工=2i,z/=-2i,故C錯誤；

設z=m+ni（m,n是實數），

若z+a=22=bi,a,bGR,

貝Um+a+ni=2m—2ni—bi,

故m+a=2m—0,n——2n—b,

解得m=n=a=n=0,

故2:-歷故。正確.

故選。.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查正方體的結構特征，考查異面直線成角、線面平行、垂直的判定與性質的應用，

及棱錐的體積求法，考查分析與計算能力，綜合性較強，屬于較難題.

利用正方體的結構特征，線面位置關系的判定和性質，異面直線成角及棱錐體積的計算

對4個結論逐個判斷，即可得出結論.

【解答】

解：①由正方體可得：AC1BD,DDrABCD,

BDnDDr=D,BD.DDiC平面BOQ,

ACJ?平面,BQU平面BOQ,二AC_LBD】，

同理：BiCJ.BD1，

■■■ACnBrC=C,U平面

BDr1平面48修，OEC平面，

???OE1BD],正確；

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②,:ACHAV、,ACC平面ABiC,4CQ平面ABiC?

，小Ci〃平面ABC，

同理得：AN〃平面.A0C,

VA±Dn41G=Ai，A1D,A1C1u平面&QD,

平面481c〃平面4C1。，

???OEU平面ABC,

■?.OE〃面4的。，正確;

③易知BiC〃力iD,BQ,平面A[BD,&DU平面&BD,

3Q〃平面A山D,

■?.E到平面4BD的距離為定值，

???三棱錐4-BDE的體積等于三棱錐E-48。的體積，

底面△4/0的面積為定值，E到平面4BC的距離為定值，

二三棱錐&的體積為定值，正確；

④當E在當處時，0E與&G所成的角最大，

此時，由勾股定理易得：

OC2=g,OB/=|,BiC2=2,

222

0C+0Br=BrC,即地。。=90。,

vACIjA、C\,

：.0E與&G所成的最大角為90。，正確.

故選。.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查統(tǒng)計圖表等基礎知識，屬基礎題.

直接根據統(tǒng)計圖表逐項分析即可得到結論.

【解答】

解：根據統(tǒng)計圖表可知，

這10天學生在線學習人數在逐日增加，但是增長比例并不是逐日增大項，故C項正確;4

項錯誤；

前5天在線學習人數的比較穩(wěn)定，后5天在線學習人數的波動較大，所以前5天在線學

習人數的方差小于后5天在線學習人數的方差，8項錯誤；

前5天在線學習人數的增長比例的極差小于后5天的在線學習人數的增長比例的極差，

。項錯誤.

故選C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了分段函數及函數的性質，涉及函數的奇偶性與對稱性，函數的單調性及最值

等，考查了數形結合的應用，屬于基礎題.

由題意，畫出函數f(x)圖象，進而觀察并分析可得正確答案.

【解答】

解：畫出函數/(X)圖象如圖：

可知函數/(x)是非奇非偶函數，A錯誤；函數/'(x)最小值是0,8正確；

函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(-1.0),C錯誤；

/(0)=1,，⑵=ln2,⑵,所以函數不關于x=1對稱，。錯誤.

故選8.

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9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查平面向量基本定理及向量的數量積，向量的夾角等知識，對知識廣度及準確度

要求比較高，屬于中檔題.

由向量的數量積、向量的投影、基本定理與向量的夾角等基本知識,逐個判斷即可求解.

【解答】

解:對于(1,2)5=(1,1),丹與五+石的夾角為銳角,

a-(a+Xb)=(1,2)-(1+2,2+2)

=1+2+4+2A=3A+5>0,

且；I豐0(2=0時五與d+4石的夾角為0),

所以4>一|且;IK0,故A錯誤；

對于B.???向量瓦*=(2,-3)=4瓦，即共線，故不能作為平面內所有向量的一組基底，

故B正確；

對于C.若五〃E，則五在方方向上的投影向量的長度為同，投影是一個過程，故C錯誤；

對于D.因為|方|=||一斜，兩邊平方得，

\b\2=2a-b=同2,

則五?(a+b)=|a|2+a-b=||a|2,

\a+b\=J(a+b)2=J|a|2+2a-b+|b|2=V3|ap

故cos<6,4+方>=幽吵=卑=母

|a||a+b||a|-V3|a|2

而向量的夾角范圍為［0°,180。］,

得五與五+石的夾角為30。，故。項錯誤.

故錯誤的選項為ACD

故選ACD.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題主要考查了復數的模長，復數的概念，復數的四則運算，屬于基礎題.

由復數的基本概念和四則運算，逐個判斷即可.

【解答】

解：選項A.若復數z==1-33則|z|=VIU,故A正確；

選項若則復數虛部為故錯誤；

B.zi=2-i,z2=1-3i,Zi-Z2=l+2i,2,8

選項C.若|z—1|=2,則z在復平面內對應的點在圓心為(1,0),半徑為2的圓上，貝ij|z-

1-3i|表示圓上的動點z到定點(1,3)的距離，???點(1,0)到(1,3)的距離為3,則|z-1-3i|

的最小值為3-2=1,故C正確；

選項。.設勺是方程的實數根，代入方程并整理得(詔+%+

x=2)+(2x0+k)i=0,

由復數相等的條件可得俘+#°V=°,解得卜°=‘行或卜°=一￡故D錯誤.

(2與+k=0U=一2&Ik=2V2

故選AC.

11.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查了線面平行的判定定理，面面平行的判定定理和性質，以及線面垂直和面

面垂直的性質，涉及余弦定理，同時考查了空間中的距離，三棱錐的體積，屬于較難題.

根據空間中線面，面面間的位置關系，結合選項依次分析求解即可.

【解答】

解：對于A,取CO的中點F,連接MF,BF,

易知FB//ED,

平面力u平面

,:MFCWE,ArD&DE,

MF〃平面4CE,

同理可得FB〃平面&DE,

又MFCFB=F,MF,FBu平面MBF,

二平面MBF〃平面&DE,

又BMu平面MBF,

???恒有〃平面&DE,故A正確；

4

A

EB

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對于B,在矩形A8C￡＞中，AB=2AD=2,

E為AB的中點，所以4E=4D=1,DE=近,

11

則M/7/&D,且MF=

BF//DE,BF=DE=V2,

AArDE=/.ADE=乙MFB=45°,

,___________________________________,/F

在三角形MBF中，由余弦定理得MB=v/BF2+A/F2-2BF-MF^^IFB=笠，

故8正確；

對于C,因為BM〃平面&DE,

所以M到平面AWE的距離等于B到平面&DE的距離，

8E=1為定值，SAADE=；為定值，

當平面&DE，平面ABC。時，

B到平面4DE的距離最大，三棱錐&-DEM的體積取最大值，

此時,匕「DEM=Kli-DEB=￡X：X4=故C正確；

對于。,取CQ的中點F,連接EF,ArF,

假設存在某個位置，使得平面40E1平面&CD,

平面4DEn平面&CD=&￡）,ArE1ArD,&Eu平面4￡）￡1,

■1?A1E_L平面&CD,

&Cu平面&CD,ArE141C,

ArE=1,CE=V2）ArC=1,

而&D=1,CD=2,此時公與尸重合，不符合題意，故假設錯誤，故。錯誤.

故選ABC.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查古典概型及相互獨立事件同時發(fā)生的概率，同時考查互斥事件的概率，考查推

理能力和計算能力，屬于中檔題.

由已知求出p（a）,P（B）,p（c）,然后逐一判斷求解即可.

【解答】

解:由已知p（a）=；x；+：x；=g

44442

21

P(B)=P(C)=;=p

由已知有PQ4B)=P(4)P(B)=],P(aC)=；,P(BC)=；,

所以PQ4)=P(B)=P(C),

P(BC)=PQ4C)=PQ4B),

P⑷.P(B)?P(C)=i

o

事件A、B、C不相互獨立，故PQ1BC)=：錯誤；

故選ABD.

13.【答案】(1)；；

(2)40^2:

(3)2,1；

(4)(—oo,-4]U[4,+oo).

【解析】

(1)

【分析】

本題考查利用數量積求兩向量的夾角，屬于基礎題.

利用數量積的變形公式cos〈方，方>=磊，代入數值即可求解.

【解答】

解:由[五1=2,\b\=4,且五.3=4,

可得COSV窗b>==—=i,

|a|-|d|2x42

由<a,b>G[0,n]>

可得向量五與石的夾角為最

故答案為最

(2)

【分析】

本題考查正弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題.

在三角形48c中，由正弦定理得3。=華魯即可得出答案.

sm300

【解答】

解：由題知NC=30°,AB=40,

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4Bsin45"

在三角形ABC中，由正弦定理得BC=40V2.

sin30°

故答案為40位.

(3)

【分析】

本題考查向量的坐標運算，向量的模及數量積，屬于基礎題.

設點C的坐標為(x,y),利用已知條件可求得C的坐標，進一步求得能，OB，配的坐

標，利用模的公式及數量積公式即可求解.

【解答】

解：設點C的坐標為(x,y),則由一265+南=元得(x,y)=-2(1,0)+(1,0)=

(-1,V3)，

所以％=-1,y=炳,則方=(一1,百)，則|元|=J(-l)2+3=2.

-：OB=(1,V3)>AC=(-2,V3).：.OBAC=-2+3=1.

故答案為2,1.

(4)

【分析】

本題考查二次函數及其值域，屬于中檔題.

由已知可得g(x)=a(x+：)2+b(x+,+c,利用換元法，設x+}=t6(—8,-2]u

[2,+oo),U!j^(x)=G(t)=at2+bt+c,

根據/(%)與G(t)的值域相同，則對稱軸？6(-0),-2]U[2,+8),即可求解.

【解答】

解：g(X)=a/+b%+c+￡+g+c+2Q-c=a(x+^)2+b(x+》+c,

設x+(=￡€(-8,-2]U[2,+00),所以g(x)=G(t)=at2+bt+c,

因為/(%)=ax2+bx+c與G(t)=at2+bt+c的值域相同,

所以其圖象的對稱軸?€(-8,-2]U[2,+°o),即T6(—00,-4]U[4,+°o).

故答案為(-8,—4]U[4,+oo).

14?【答案】①③④

【解析】

【分析】

本題考查了空間中線線、線面、面面的位置關系，難度中檔.

取C。中點尸，連接例尺BF,運用面面平行的性質定理，可判斷①；

若存在某個位置，使DE1&C,運用線面垂直的判定和性質，即可判斷②；

運用面面垂直的性質定理，即可判斷③;。E的中點。是定點，。&=V2,即可判斷④.

【解答】

解：取CO中點凡連接M凡BF,

貝〃口4],BF//DE,

又MFCBF=F,DA^nDE=D,

MF、BFu平面MBF,DA^DEu平面&DE,

二平面M8F〃平面為DE,

又MBu平面MBF,

二MB〃平面A】DE,故①正確；

若存在某個位置，使DEIaC,

由CE=DE=2&，CD=4,可得CEJLDE,

又4iCnCE=C,AiC.CEu平面AiCE,

則DE1平面&CE,又4Eu平面&CE,

即DE1&E,

顯然不正確，故②不正確.

由CE1DE,可得平面&DEL平面A8C。時，

A^D1CE,故③正確.

???DE的中點。是定點，。&=魚，

???久是在以。為圓心，魚為半徑的圓上，故④正確,

故答案為：①③④.

15.【答案】3

【解析】

第20頁，共28頁

【分析】本題考查分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，屬于基礎題型，逐項判斷即可；

【解答】解：對于①，由于樣本方差反映的是所有樣本數據與樣本平均值的偏離程度,

故①正確；

對于②，根據系統(tǒng)抽樣為等概率抽樣可得每個個體被抽到的概率均為溫=器,故②錯

誤;

對于③，從總體中抽取的樣本數據共有，"個4,”個從p個C,則總體的平均數元的估

ma+nb+pc

計值為故③正確;

m+n+p

對于④，某中學采用系統(tǒng)抽樣的方法，從該校高一年級全體800名學生中抽取50名學

生做牙齒健康檢查，則樣本間隔為800+50=16,已知從497?512這16個數中取得的

學生編號是503.設在第1小組001?016中隨機抽到的學生編號是x,則有503=16x

31+x,解得x=7,所以在第1小組中抽到的學生編號是007,故④正確.

綜上①③④為真命題.

16.【答案】解：（1）由訂_1_可可得：a2-c2+b2-ab=0,

1

???由余弦定理可得:cosC=一,

2ab2

又???C6(0,7T),C=p

(2)由sinA=2sinB及正弦定理可得：a=2b,

vc=V6?C=p

???由余弦定理可得：c?=+墳—2abcosC=4b2+b2—ab=3b2,

???解得：b=V2,a=2V2,

???S&ABC=gcibsinC=1x2V2xV2x曰=遮；

m、abc

(3)-,---=---=—n=n2,

sinAsmBsm-

3

:.a=2sinA,b=2sinB,

則448。的周長L=Q+b+c=2(sin4+sinB)+b

=2[sinA+sin(g—4)]+V3=2V3sin(/+》+V5

小，d/27r7T..TC57r

0<AV—,：?一V/d—V—

3666f

.---<sin(4+-)<1,2V3<2每in(4+鄉(xiāng)+百43圾

266

???44BC周長的取值范圍是(2g,3舊].

【解析】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式及函數y=Asin^x+(p)

的圖象與性質，屬于中檔題.

(1)由題意，利用向量的垂直性質以及坐標運算，可得a2—c2+b2-ab=0,進而利用

余弦定理求得cosC=\,于是可知角C的值；

(2)依據題設條件以及正弦定理,可得到a=2b,再利用余弦定理可得到b=&,a=2VL

于是結合(1)角C的值，利用三角函數的面積公式可求A4BC的面積；

(3)根據題設條件，利用正弦定理求得a=2sin4b=2sinB,再利用兩角和與差的三

角函數公式以及輔助角公式化簡得到4ABC的周長L=2V3sin(4+?+V3,求得角A

的取值范圍，結合函數y=Asin^x+3)的圖象與性質可求得△4BC的周長L的取值范

圍.

17.【答案】(1)證明：由已知得，AM=1,AN=2,乙4=60。.

由余弦定理得，MW=V3，MN2+AM2=AN2,

：.MNLAB,

MN-LA'M,MN1BM.

又?：MBnA'M=M,MBu平面ABM,A'Mu平面ABM,

???MN?L平面4'BM.

vMNu平面BCNM,??.平面A'BM1平面BCNM.

(2)若用條件①AMJ.BC,

由(1)得，A'M1MN,又BC和MN是平面BCMW內兩條相交直線，

A'M_L平面BCNM,BMu平面BCNM,

：.A'MIBM,：.S^ltSi：x1x2=1.

易得等邊三角形ABC的高為更，

2

???三棱錐八BCM的體積為匕技但…=沁…-v=T>?

???在線段4'C上存在點P滿足題目條件，

第22頁，共28頁

此時段=^^=上當

AcV三棱錐C-A，BM—'

若用條件②二面角4一MN—C的大小為60。，

由(1)得，N&MB是二面角4-MN-C的平面角，

WMB=60°,

??SRA，BM=\A'M-BM-sin60°=|xlx2x^=^.

易得等邊三角形ABC的高為延，

2

???三棱錐4'—8cM的體積為匕濾解“BM=如4BM-=?

???在線段4'C上存在點P滿足題目條件，此時點P與點C重合,故兼=1.

若用條件③4到平面BCNM的距離為圣

易得等邊三角形ABC的高為這，

2

rni|13V31、，Q、，3百373

則Sc團BCM=QBM?—=-x2x—=

則三棱錐A-BCM的體積為U=isAfiCM?立=2x延x立=在＜三，

3232244

；.此時在線段4C上不存在滿足題目條件的點P.

【解析】本題考查面面垂直的判定，以及三棱錐的體積.

(1)由MN1A'M,MN1BM,得到MN1平面A'BM,從而得到平面_L平面BCNM；

(2)線=JvFPMB=:一御法BM,因此將問題轉化為求三棱錐％—BCM的體積，

°V三棱鏈A，-BCMV三棱鏈c-A，BM

選擇條件①：推出AMIBM,求出S&VB.”1,由平面ABM上平面8CNM,可知三

棱錐小-BCM即三棱錐C一4BM的高為這，由此求出體積；

2

選擇條件②：可得乙4'MB是二面角A—MN—C的平面角，求出SA4@”=肆，由平

面Z'BM1平面BCNM,可知三棱錐A-BCM即三棱錐C-&BM的高為辿，由此求出體

2

積；

選擇條件③：求出,BCM=手，即可求出三棱錐4-BCM的體積.

18.【答案】解：（I）連結AB1交4/于。，連結EO,OCi，

v0A=OB,AE=EB,

：.OE=^BB\,OE//BB、,

又OG=：BBi，DCJ/BBy,

1

??.OE=DC1

因此，四邊形。EOG為平行四邊形，即EZV/OG，

,.10clU面C\AB,EDC面C\AB,

???DE〃平面CiB4；

(II)建立空間直角坐標系B-xyz,如圖

過尸作FH1BB0連結AH,

面ABC..ABC面ABC,

ABlBDi,

■;ABLBC,BCC\BBi=B.BC.BBiU平面CBaG，

ABl.^aCBB[C[；

VABU面BAA\B”

：.面面CBBiG,

vFHu而CBBG，FH1BBV

面BAA[B[n面t叫Ci=1面BAA、B\,

第24頁，共28頁

即NF.，1〃為直線A尸與平面所成角，記為。,

則sin?"

???AF=3,

在Rt&AOF中，

5=AC2=CF2+AF2=CF2+9,

ACF=2,

即尸(0,2,1)41(23。)，喬=(0,2,1),西=(2,3,0),

設平面BAG的法向量記=(%,y,z),

(m?BF=2y+z=0

l沆?BA[=2%+3y=0'

取y=2,記=(-3,2,-4),

平面B44i的法向量記=(0,0,1),

|Icos/<一m,Tn、>||=I|布-?五I1=4^=4—屬,

結合圖形可知，二面角尸-84-4的平面角為鈍角，

因此，二面角F—-4的余弦值舊.

【解析】本題考查了線面平行的判定，直線與平面所成角，二面角，考查了空間想象能

力，屬于中檔題.

(I)連結4公交于O,連結E0,0G，根據幾何關系在，證明四邊形DE0Q為平行四

邊形，進而得到ED〃0Ci，然后運用線面平行的判定即可得證；

(II)建立空間直角坐標系8-xyz,根據幾何關系找到直線A尸與平面4BB14所成角，

進而求出AF,然后用空間向量法求二面角F-BA.-4的余弦值即可.

19.【答案】解：(1)設方案甲中檢驗次數為X,則X的可能取值為1,2,3,4,5,

設方案乙中檢驗次數為匕則丫的可能取值為2,3,

P(X=1)=],P(X=2)=*Q(X=3)=流=：,

4、5X4X3X11「八7l、5X4X3X2X21

P(X=4)=后礪=&,P(X=5)=6X5X4X3X2=F

P(y=2)=等=1P(y=3)=l-P(Y=2)=1，

c

6G3§J

則X,y的分布列為

X12345

11111

p

66663

y23

12

p

33

記“兩種方案檢驗次數相同”為事件A,

所以PQ4)=P(X=2,y=2)+P(X=3,y=3)

11121

=-x-+-x-=一；

63636

1i1111。

(2)E(X)=lx2+2x++3x±+4x±+5x±=U,

666633

17R

E(y)=2x3+3x瀉,

因為E(X)>E(y),所以乙方案檢測的總費用較少.

答：(1)這兩種分組方案檢測次數相同的概率為:，；

(2)預測乙方案分組檢測總費用較少.

【解析】

本題主要考查古典概型的計算與應用，以及離散型隨機變量的期望與方差，涉及獨立事

件同時發(fā)生的概率及互斥事件之一發(fā)生的概率計算，屬于中檔題.

(1)設方案甲中檢測次數為X,則X的可能取值為1,2,3,4,5.設方案乙中檢測次數

為匕則丫的可能取值為2,3.分別求出對應的概率即可求解；

(2)根據期望公式求出E(X),E(Y)比較大小即可.

20.【答案】解：(1)由題意月(x)=log4X,左(x)=bg±x,=2,b=l,

4a

h(x)=2/i(x)+f2(x)=21og4x+logix=log/,

4

不等式2/。)+3h(x)+t<0在早e[4,16]上有解,

等價于t<-2/i2(x)-3/i(x)=一210g5一310g/在xe[4,16]上有解，

2

令s=log4x,則sG[1,2],由y=-21og4%-31og4x=-2s—3sG[-14,-5],

知y取得最大值一5,??.t<—5.

x-1

(2)設九(%)=7nlog3(9+1)+n(x—1),

x

則九(％+1)=mlog3(