2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-142 用空間向量研究距離、夾角問題

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一用空間向量求空間距離

1.(2021遼寧沈陽期末)已知AABC的頂點A(l,-1,2),B(5,-6,2),

C(l,3,-1),則AC邊上的高BD的長等于()

A.3B.4

C.5D.6

2.在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，平面AB.C與平面A￡D之間的距離為

()

A.fB.第

63

C.竽D-T

3.平面直角坐標(biāo)系xoy中，I、n象限所在的半平面記為Q,III、w象限所在的半

平面記為B,x軸記為1,已知點A(-2,3),點B(3,-2),將半平面B沿直線1折起,

使得二面角a-1-P的平面角的大小為60。，這時A,B兩點間的距離

為.

4.(2020上海交通大學(xué)附屬中學(xué)檢測)棱長為1的正方體ABCD-ABCD中,M,N分

別是線段BBbBC的中點,則直線MN到平面ACDi的距離為.

5.(2022遼寧撫順一中開學(xué)考試)如圖,棱長為1的正方體ABCD-A周CD中,N是棱

AD的中點，M是棱CG上的點，且CCL3CM,則直線BM與B.N之間的距離

為.

6.（2022重慶名校聯(lián)盟月考）如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面

AECF所截得到的，其中AB=4,BC=2,CCF3,BE=1,四邊形AECF為平行四邊形.

（1）求BF的長;

⑵求點C到平面AEC.F的距離.

題組二用空間向量求空間角

7.（多選）（2022浙江金華建華中學(xué)月考）直線1的方向向量為a,平面a,B的法

向量分別為n,m,則下列命題為真命題的是（）

A.若a，n,則直線1〃平面a

8.若2〃必則直線1，平面a

C.若cos<a,n>4則直線1與平面a所成角的大小為!

LO

D.若cos<m,n>=1,則平面a,B的夾角為日

4o

8.（2020山西大學(xué)附屬中學(xué)測試）在正方體ABCD-ABCD中,M為AB的中點,則異

面直線AM與B.C所成角的余弦值為（）

A..B.誓C為D.4

51022

9.（2020黑龍江哈爾濱檢測）在空間中，已知平面a過點⑶0,0）和（0,4,0）及z

軸上一點（0,0,a）（a>0）,如果平面a與平面Oxy的夾角為45°,則a=.

10.（2021天津武清楊村三中月考）如圖所示,幾何體ABCD-ABCD是棱長為6的正

方體,E,F分別是棱AB,BC上的動點,且AE=BF,當(dāng)AbE,F,G共面時,求平面A.DE與

平面GDF夾角的余弦值.

11.（2021重慶三十七中月考）如圖，已知點P在正方體ABCD-A'B'C'D'的體對角線

BD'上，滿足BP=2PD'.

⑴求DP與CC'所成角的余弦值；

⑵求DP與平面AA'D'D所成角的正弦值.

12.如圖所示,在三棱錐S-ABC中,0為BC的中點,SOJ_平面ABC,側(cè)面SAB與SAC

均為等邊三角形，ZBAC=90°,求平面SAC與平面SBC夾角的余弦值.

能力提升練

題組一用空間向量求空間距離

1.（2022山東棗莊八中質(zhì)檢）如圖，在棱長為a的正方體ABCD-ABCD中,P為AD

的中點,Q為AB上任意一點,E,F為CD上兩個動點,且EF的長為定值,則點Q到

平面PEF的距離（）

AR

A.等于B.和EF的長度有關(guān)

C.等于修aD.和點Q的位置有關(guān)

2.（2022安徽合肥第六中學(xué)期中）如圖所示，在正四棱柱ABCD-A.B.C.D.

中，AA尸2,AB=BC=1,動點P,Q分別在線段C.D,AC上,則線段PQ長度的最小值是

2

V_2B

-V5一

33D.3

3.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PDJ_平面ABCD,且PD=AD=1,AB=2,點

E是線段AB上一點，當(dāng)平面PEC與平面ABCD的夾角為:時,AE=，點D到面

PEC的距離為.

4.（2022上海洋涇中學(xué)期中）如圖所示，四棱柱ABCD-ABCD是底面邊長為1的正

四棱柱.若點C到平面AB.D.的距離為］則正四棱柱ABCD-A.B.C,D.的高

為.

I)

題組二用空間向量求空間角

5.（2022湖北武漢第十四中學(xué)月考）如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是菱形,且PAL平面ABCD,PA=AD=AC,點F為PC的中點，則平面PBC與平面BFD夾

角的正切值為（）

6.（2020河南省實驗中學(xué)期中）已知菱形ABCD中，NABC=60°,沿對角線AC折起之

后,平面BACJ_平面DAC,則平面BCD與平面CDA的夾角的余弦值為（）

7.（2020陜西西安中學(xué)月考）在正三棱柱ABC-ABG中,AB=2,E,F分別為A￡,AB

的中點，當(dāng)AE和BF所成角的余弦值為看時,AE與平面BCCB所成角的正弦值為

（）

題組三用空間向量解決立體幾何中的探索性問題

8.(2022北京師大二附中)在四棱錐P-ABCD中，PDJL平面

ABCD,AB//DC,AB±AD,DC=AD=1,AB=2,ZPAD=45°,E是PA的中點,F在線段AB上,

HCF?前二0.

(1)求證:DE〃平面PBC;

(2)求平面FPC與平面PBC夾角的余弦值；

(3)在線段PA上是否存在點Q,使得FQ與平面FPC所成角的余弦值是乎?若存在,

求出AQ的長;若不存在,請說明理由.

9.(2021山東新高考質(zhì)量測評聯(lián)盟聯(lián)考)如圖所示,正方形ABCD和矩形ADEF所在

的平面互相垂直，動點P在線段EF(包含端點E,F)±,M,N分別為AB,BC的中

點,AB=2DE=2.

⑴若P為EF的中點,求點N到平面PDM的距離;

⑵設(shè)平面PDM與平面ABCD的夾角為。，求cos。的最大值,并求出此時點P的位

置.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C由題意得荏二(4,-5,0),前二(0,4,-3),則直線AC的單位方向向量

u=(0,；|),所以AC邊上的高BD的長即B到AC的距離，為

JAB2-(AB?U)2=V41-16=5.

2.B以Di為坐標(biāo)原點,取7,左,貶的方向分別為x軸,y軸,z軸正方向，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則At(l,0,0),0,(0,1,0),D(0,0,1),A(l,0,1),所以

西二(l,0,T),

設(shè)平面AiCiD的法向量為m=(x,y,z),

則pn?DA^=x-z=0,

、m?DCt=y-z=0,

令z=l,則x=l,y=l,故m=(l,1,1).

顯然平面AB?〃平面ACD,

所以平面ABC與平面ACD之間的距離為巫士二”.

m\3

3.答案4V2

解析平面直角坐標(biāo)系xOy中，作ACI1于C,BD±1于D,則AC=3,CD=5,BD=2.

因為二面角a-1-p的平面角的大小為60°,

所以兩向量才？，麗的夾角為120。，

所以荏|二J|J?+而+而

2

2

+\CD+9+2AC

(9+25+4+2x3x2x?)

=V32=4V2,

所以A,B兩點間的距離為4&.

4.答案.

解析如圖，以點D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DDi所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系,

則C(O,1,O),?(O,0,1,|),A(l,0,0),

：.AM=(0f1,|),^4C=(-1,1,0),AD^=(-l,0,1).

設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),

則卜.生0,即*

(n?AD1=0,"%+z=0,

令x=l,則y=z=l,An=(l,1,1).

???點M到平面ACD.的距離d=而f

|n|2

:麗〃麗,且MN。平面AC》，ADC平面ACD,

，MN〃平面ACDi.

?,?直線MN到平面ACD.的距離即點M到平面AC”的距離,為當(dāng)

世

5.答案6

89

解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則B(l,1,0),Bi(1,1,1),M(0,1,I),Ng,0,0),

?,?麗＞(0,0,1),0,I),

設(shè)直線BM與BiN的公垂線方向上的向量n二(x,y,z),則『?吧=仇即

(n?BiN=0,

-x+-z=0,

-1x-y-z=0,

令x=2,則z=6,y=-7,/.n=(2,-7,6).

設(shè)直線BM與BN之間的距離為d,則d=鼻土二七二"薯.

|n|V8989

6.解析(1)因為四邊形AECF為平行四邊形,所以刀二弱.設(shè)DF=a.建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，則B(2,4,0),A(2,0,0),E(2,4,1),

C.(0,4,3),F(0,0,a).所以存二(一2,0,a),EC^=(-2,0,2),所以(-2,0,a)=(-2,0,2),

所以a=2,所以F(0,0,2),所以麗=(-2,-4,2).所以|而|二2以,即BF的長為2痣

(2)易知C(0,4,0),又G(0,4,3),A(2,0,0),E(2,4,1),

所以西二(0,0,3),EQ=(-2,0,2),荏二(0,4,1).

設(shè)平面AECiF的法向量為n=(x,y,z),

則卜?廉=4y+z=0,

(n?EC1=~2x+2z=0,

令x=l,則y=-z=l,所以n=(l,-1)

所以C到平面AEC.F的距離d二叵五二言二察.

|n|V3311

4

7.BCD若a，n,則直線1〃平面a或1在平面a內(nèi)，故A中命題為假命題；

若a〃n,則a也是平面a的一個法向量，所以直線1J_平面Q,故B中命題為真命

題；

直線與平面夾角的正弦值等于直線與平面法向量夾角的余弦值的絕對值,所以若

cos<a,n>4則直線1與平面。所成角的大小為g故C中命題為真命題；

兩個平面的夾角與它們法向量所成的不大于90°的角相等，故D中命題為真命

題.

故選BCD.

8.A以D為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長為1,則A(l,0,0),Bi(1,1,1),C(0,1,0),M(1,i,1),

A|AM|=y,|B7C|=V2,AM?即=T,

?,?異面直線AM與B￡所成角的余弦值為|cos〈宿,時〉|=

第簧啰故選人

9.答案y

解析設(shè)點(3,0,0),(0,4,0),(0,0,a)(a>0)分別為A,B,C,則就二

(-3,0,a),AB-(-3,4,0).

設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),

則j”,幾=0,即-3x4-az=0,

[AB?n=0,-3x+4y=0,

取Z=1,則x=，y=J,An=g,J,l).

34\34/

取平面Oxy的一個法向量為m=(0,0,1).

Io+o+i

/.Icos<m,n>|二，解得a4(負(fù)值舍去).

-Vo+o+i乙o

10.解析易知當(dāng)E,F分別是AB,BC的中點時,AbE,F,G共面,且AE=BF.以點D為

坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

A1(6,0,6),D(0,0,0),C(0,6,6),E(6,3,0),F(3,6,0).

J西二(6,0,6),DE=(6,3,0),DC^=(0,6,6),DF=(3,6,0),

設(shè)平面AiDE的法向量為ni=(xbybZi),

n

±.[i*DAI=0,彳曰[6X1+6Z1=0,

Li?尻=0,(6xi+3yi=0,

令XFI,則yi=-2,zi=-l,Ani=(l,-2,-1).

設(shè)平面C.DF的法向量為n2=(x2,y2,Z2),

.(n2?DC7=0,^|6y2+6z2=0,

ln2-DF=0,^l3x2+6y2=0,

令x尸2,則y2=-l,z2=l,An2=(2,-1,1).

設(shè)平面A.DE與平面GDF的夾角為。,

711nz3

貝Ucos0=Icos<nbn2>|*-=1^

In!IIn2IV6XV62

???平面ARE與平面C.DF夾角的余弦值為今

11.解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長為1,則P(1,|),C(0,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1).

(1)易知前二G，I，|),cF=(o,0,1).

設(shè)DP與CC'所成角為e,則COS0二硬至二I皋g

|DP||CC1可xCT3

.?.DP與CC'所成角的余弦值為當(dāng)

(2)由⑴知加=(鴻,|).

易知覺二(0,1,0)為平面AA，D，D的一個法向量.

設(shè)DP與平面AA'D'D所成角為a,則sina=|cos<DP,DC>\

T震饕?"，DP與平面AA'D'D所成角的正弦值為咚

|DP||DC|

阿T66

12.解析因為ASAB與4SAC均為等邊三角形,所以AB=AC.連接0A,則OA1BC.

以0為坐標(biāo)原點,OB,0A,0S所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)B(1,0,0),則C(-1,0,0),

A(O,1,O),S(O,0,1),0(0,0,0).

所以正、(0,1,-1),SC=(-1,0,-1),OA=(0,1,0).

設(shè)平面SAC的法向量為n=(x,y,z),

則卜?巨=y-z=o，

(n?SC=-x-z=0,

令x=l,則Z=-1,y=-l,所以n=(l,-l,-l).

易知平面SBC的一個法向量為瓦心(0,1,0).

所以|cos〈UXn>14號，

所以平面SAC與平面SBC夾角的余弦值為號.

能力提升練

1.A取BC的中點G,連接PG,CG,DP,則PG〃CD,所以點Q到平面PEF的距離即點

Q到平面PGCD的距離,與EF的長度無關(guān),B錯.易知AB〃平面PGCD,所以點A倒

平面PGCD的距離即點Q到平面PGCD的距離，即點Q到平面PEF的距離,與點Q的

位置無關(guān),D錯.

以點D為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,a,O),D(d,0,0),

Ai(a,0,a),PQ,0,a^,ADC=(0,a,0),DA^=(a,0,a),前二住,0,a).

設(shè)n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量，

由卜?更=0,得fx+az=0,令z=1)則x=_2>尸0,

所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一個法向量.

所以點Q到平面PEF的距離回寫斗|管卜等,故A對,C錯.

2.C建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(l,0,0),D(0,0,0),

C(0,1,0),G(0,1,2).設(shè)P(0,ybz),Q(x2,y2,0).

由題意設(shè)萬入DC；,AQ=u^4C,入，u￡[0,1],所以(0,Yi,Zi)=

人(0,1,2),(x2-l,y2,0)=li(一1,1,0),所以P(0,X,2X),Q(1-U,u,

0).所以IPQI(1-〃)2+(n-A)2+4A2=

J2〃2+5儲―2入「2羽+1=J5(於/)+：

所以當(dāng)人得口=|時，線段PQ的長度取得最小值，為|.

3.答案2-V3；y

解析設(shè)AE二a(0WaW2).以點D為坐標(biāo)原點,萬5,沈，麗的方向分別為x軸,y

軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz(圖略)，則

D(0,0,0),E(l,a,0),C(0,2,0),P(0,0J),所以匠二(1,a,-l),PC=

(0,2,7),而二(0,0,1).設(shè)平面PEC的法向量為m=(x,y,z),貝空'即

{2^X0,=0,令尸1可得x=2—a,z=2,所以m=(2-a,1,2).易知平面ABCD的一個

法向量為前二(0,0,1),則|cos<m,DP>I=/2序,解得a=2-8或a=2+V3(舍

2

|J(2-a)+5|

去)，所以AE=2-V3.此時平面PEC的一個法向量為ni=(8,1,2),所以點D到平面

PEC的距離為亙*二之二

ITH2V22

4.答案2

解析設(shè)正四棱柱的高為h(h>0).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

A(0,0,h),B1(1,0,0),D.(0,1,0),C(1,1,h),

貝IJ福二(1,0,一h),西二(0,1,—h),前二(1,1,0).

設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),

則九?”廣0,即=0,

(n?AD]=0,=0,

取z=l,得x=h,y=h,所以n=(h,h,1).

所以點C到平面ABD的距離為止處,八+"+°=￡解得h=9

In在2+m+i3'財傳5

故正四棱柱ABCD-ABCD的高為2.

5.D如圖所示,設(shè)AC與BD交于0,連接0F.以0為坐標(biāo)原點,OB,0C,0F所在直線

分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

設(shè)PA=AD=AC=1,則BDS所以0(0,0,0),B(?,0,0),F(0,0,

c(o,河，所以痔(o,i,o),科(-1,0),而建,01-1).

易知元二(0,1,0)為平面BFD的一個法向量.

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

n?BC=-^x+^y=O,

則《22J令x=l,則y=z=V3,

?FB=—x--z=0,

n22

所以平面PBC的一個法向量為n=(l,V5,V5).所以cos〈n,沆>二手，所以

sin<n,oc>-—,所以tan<n,OC>=—.

73

6.D取AC的中點0,連接BO,DO,因為四邊形ABCD是菱形,所以BO±AC,OD±AC,

又平面BACJ_平面DAC,平面BACA平面DAC=AC,所以BO_L平面ACD.建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形ABCD的邊長為1,貝JAC=1,BO=OD=4,則

0(0,0,O),C(|,O,O),B(O,O,爭，

D(0,^,0),

所以抽(0,0,f),FC=g,O,-^),CD=(-i,f,0).

設(shè)平面BCD的法向量為n=(x,y,z),

令z=l,得X=V3,y=l,則n=(V3,1,1).

易知平面CDA的一個法向量為赤二（0,0,y）,

V3

所以|cos〈通,n>!='2

^xV5-y.故選D.

7.B設(shè)AA】=t.以B為坐標(biāo)原點,過B且垂直于BC的直線為x軸,BC,BB1所在直線

分別為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(V3,l,0),E(^,1,t),B(0,0,O),F(^,i,t),

VAE和BF所成角的余弦值為高

|cos<"E，BF>|=第號=而r，解得t=2或t=-2（舍

去）,.?.荏=（-日,1,2）.

易知平面BCC3的一個法向量為n=（l,0,0）,

???AE與平面BCCB所成角的正弦值為Icos<荏,n>|-唱-譽(yù)黑故選B.

|AE|n\V510

8.解析（1）證明：證法一:取PB的中點M,連接EM,CM.

VE是PA的中點，???EM〃AB,且EM=iAB,

又?.?CD〃AB,且CD=|AB,

AEMCD,且EM=CD,

???四邊形CDEM為平行四邊形，，DE〃CM.

TCMu平面PBC,DEQ平面PBC,

???DE〃平面PBC.

證法二：?.,PD_L平面ABCD,APD_LDC,PD±AD.

VAB^DC,AB±AD,AAD±DC.

以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖.

VPD1AD,ZPAD=45°,AD=1,APD=1,AD(O,0,0),B(l,2,0),C(0,1,

0),P(0,0,l),Eg,0,I),AFC=(-1,-1,0),CP=(0,-1,1),0,

設(shè)平面PBC的法向量為(x,y,z),

則—>y取y=l,得x=T,z=l,

jn?CP=-y+z=0,

1,1).

Vm?DEC平面PBC,，DE〃平面PBC.

(2)易知麗二(一1,一2,0).設(shè)點F(l,t,0),0Wt<2,則而二(1,t-1,0).

VCF?BD=0,A-l-2(t-l)=0,解得t=1,AF(1,|,0),FC=(-l,0).

設(shè)平面FPC的法向量為n=(x',y',z'),

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