第四章《銳角三角函數(shù)》（提高卷）

第四章銳角三角函數(shù)（提高卷）一、選擇題（每小題4分，共40分）1.tan60°的值等于（A.1 B.2 C.3 D.2【答案】C【解析】根據(jù)記憶的特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．【解答】解：tan60°=3．

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinA.512 B.125 C.5【答案】D【解析】直接利用勾股定理得出AB的長，再利用銳角三角函數(shù)得出答案．【解答】如圖所示：

∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，

∴AB=52+122=13，

∴sinB=ACAB=12A.sinA=sinB B.cos【答案】D【解析】根據(jù)一個(gè)銳角的正弦等于它的余角的余弦解答．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA=cosB．

4.如圖，有一斜坡AB的長AB＝10米，坡角∠B＝A.10tan36° B.10cos【答案】C【解析】根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】在Rt△ABC中，sinB=ACAB，∴AC＝AB5.sin58°、cos58°、cos28A.cos28°<cos58°<sin58° B.sin58°<cos【解析】先把正弦化成余弦，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律：銳角余弦值隨著角度的增大而減小進(jìn)行排列大小．【解答】sin58°＝cos32°．

∵58°>32°>28°6.計(jì)算sin245°A.2 B.1 C.52 D.【答案】A【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：原式=(22)2+32×3=12+32=2．

7.在△ABC中，若角A.45° B.60° C.75【答案】D【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出cosA=32，tanB＝1，求出∠A【解答】由題意得，cosA=32，tanB＝1，則∠A＝30°，∠B＝45°，

則8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA=5A.512 B.813 C.2【答案】D【解析】根據(jù)同一銳角的正弦與余弦的平方和是1，即可求解．【解答】∵sin2A+cos2A＝1，即(513)2+cos2A＝1，

∴cos2A9.在△ABC中，若|cosA-12|+(1-A.45° B.60° C.75【答案】C【解析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得出cosA及tanB的值，繼而可得出A和B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得出∠C【解答】解：由題意，得

cosA=12，tanB=1，

∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．

10.如圖，在直角坐標(biāo)系中，P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)是(3,?m)，且【答案】A【解析】過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則可得OE=3，PE=m，在Rt△POE【解答】解：過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，

則可得OE=3，PE=m，

在Rt△POE中，tanα=PEOE=43二、填空題（本題共計(jì)6小題，每題4分，共計(jì)24分）11、已知tan(α+15°)=3【答案】15【解析】根據(jù)tan30°=33可得α【解答】∵tan30°=33，∴α+15°＝30°12、已知∠A是銳角，且tanA=3，則sin【答案】12【解析】先根據(jù)tanA=3，求出∠【解答】解：∵tanA=3，∴∠A=60°，∴sinA2=sin30°=12．

【答案】22【解析】如圖，連接AB．證明△OAB是等腰直角三角形即可解決問題．【解答】如圖，連接AB．

∵OA＝AB=10，OB＝25，

∴OB2＝OA2+AB2，

∴∠OAB＝90°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

14、已知|sinA-12|+(3【答案】90°【解析】根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)值即可求出答案．【解答】解：由題意可知：sinA=12，tanB=3，

∴∠A=30°，∠B=60°，

∴∠A+∠B=90°.

15【答案】32或233【解析】分兩種情形分別畫出圖形求解即可．【解答】解：①如圖1中，

在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是△ABC的中線，

設(shè)AB=EC=2a，則AE=EB=a，AC=3a，

∴tan∠ABC=ACAB=32．

②如圖2中，

在Rt△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的中線，

設(shè)EB=AC【答案】15(3-1)【解析】設(shè)甲船每小時(shí)行駛x海里，則AB＝2x海里，如圖，作BD⊥AC于點(diǎn)D，在AC上取點(diǎn)E，使BE＝CE，根據(jù)題意可得，∠BAD＝30°，∠C＝15°，可得AD＝DE=3x，CE＝BE＝AB＝【解答】設(shè)甲船每小時(shí)行駛x海里，則AB＝2x海里，

如圖，

作BD⊥AC于點(diǎn)D，在AC上取點(diǎn)E，使BE＝CE，

根據(jù)題意可知：

∠BAD＝30°，∠C＝15°，

∴∠BED＝30°，

∴AD＝DE=3x，

CE＝BE＝AB＝2x，

∴AD+DE+CE＝60，

即3x+3x+2x＝60，17.計(jì)算：(1)18+|（2）(12)-解：(1)原式=32+2-2-2（2）原式=4+23-18、如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC=14，AD=12，sinB=45(1)求線段CD的長度；(2)求cos∠C解：(1)∵AD是BC上的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°.

∵sinB=45，AD=12，

∴AB=ADsinB(2)由(1)知，CD=5，AD=12，

∴AC=AD219、如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落在A'處，若EA'的延長線恰好過點(diǎn)C，求sin解：由折疊知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，

∴∠BA'C=90°.

在Rt△A'CB中，A'C=BC2-A'B2=8.

設(shè)AE=x20、如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題：

sin2A1+sin2B1＝1；sin2A2+sin2（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△________中，∠________＝90°，都有sin2________+sin（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C（3）已知：∠A+∠B＝90°，且【解析】（1）由前面的結(jié)論，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A+sin2B＝1；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°．利用銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=ac，sinB=bc，則sin【解答】由圖可知：sin2A1+sin2B1＝(12)2+(32)2＝1；

sin2A2如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

∵sinA=ac，sinB=bc，

∴sin2A+sin2B=a2+∵sinA=513，sin2A+sin21、如圖，小麗家門前有一條河，小麗想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量自己家門前小河的寬AB．他站在自家的陽臺(tái)上（圖中的點(diǎn)E），面朝垂直于河岸的方向站立，并確定了兩岸的兩個(gè)可觀測點(diǎn)A、B，測得點(diǎn)A的俯角α＝30°，點(diǎn)B的俯角β＝45°，小麗家在三樓，陽臺(tái)與觀測點(diǎn)A、B所在的地平面的距離CE為6米，小明眼睛到陽臺(tái)地面的距離DE約為1.6米，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB（3≈1.7，結(jié)果保留1位小數(shù)）．

【解析】由題意得：∠C＝90°，CD＝DE+CE＝1.6+6＝7.6（米），∠A＝α＝30°，∠BDC＝45°，得出AC=3CD＝7.63，△【解答】∵CD⊥AC，

∴∠C＝90°，

由題意得：CD＝DE+CE＝1.6+6＝7.6（米），∠A＝α＝30°，∠BDC＝β＝45°，

∴AC=3CD＝7.63，△BCD是等腰直角三角形，

∴22、如圖，樓房BD的前方豎立著旗桿AC．小亮在B處觀察旗桿頂端C的仰角為45°，在D處觀察旗桿頂端C的俯角為30°，樓高BD為20米．

（1）求∠BCD的度數(shù)；（2）求旗桿AC【解析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，則DF?//?CE，AB?//?CE．利用平行線的性質(zhì)求得相關(guān)角的度數(shù)．

（2）本題涉及到兩個(gè)直角三角形△【解答】過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，則DF?//?CE，AB?//?CE

∵DF?//?CE

∴∠ECD＝∠CDF＝30°

在Rt△ECD中，∠ECD＝30°

∵tan∠ECD=DECE

∴DE=CE?tan∠ECD=323、共抓長江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖A，B兩地向C地新建AC，BC兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測得C地在A地北偏東45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距離為7km，求新建管道的總長度．（結(jié)果精確到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°【解析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D【解答】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

根據(jù)題意可知：

AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°-68°＝22°，

∴AD＝CD，

∴BD＝AB-AD＝7-CD，

在Rt△BCD中，

∵tan∠CBD=CDBD，

∴CD7-CD≈0.40，

∴CD＝2，

∴AD＝CD＝2，24、2019年12月17日，國產(chǎn)航母山東艦正式交付中國海軍，中國海軍建設(shè)邁上了一個(gè)新臺(tái)階．如圖，在一次訓(xùn)練中，筆直的海岸線l上有A、B兩個(gè)觀測站，A在B的正東方向，AB＝(12+43)海里，山東艦在點(diǎn)P處，從A測得山東艦在北偏西60°的方向，從B測得山東艦在北偏東45°的方向．（1）求B、P兩點(diǎn)之間的距離；（結(jié)果有根號(hào)的保留根號(hào)）（2）山東艦從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行，航行30分鐘后到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測得山東艦在北偏西15°【解析】（1）過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．設(shè)PH＝x，先解Rt△PBH，用含x的代數(shù)式表示BH，再解Rt△PAH，用含x的代數(shù)式表示AH，然后根據(jù)BH+AH＝AB，列出關(guān)于x的方程，解方程即可；

（2）過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M．先解Rt△BPM中，∠PMB＝90°，∠PBM＝60°，得出【解答】如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．