專題2.3等腰三角形的性質(zhì)與判定-《講亮點》2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊教材講練（蘇科版）（原卷版）

《講亮點》20222023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊教材同步配套講練《蘇科版》專題2.3等腰三角形的性質(zhì)與判定【教學(xué)目標(biāo)】1、理解并掌握等腰三角形的定義，探索等腰三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等腰三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題【教學(xué)重難點】1、理解并掌握等腰三角形的定義，探索等腰三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等腰三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題3、等腰三角形的性質(zhì)和判定的探索和運(yùn)用【知識亮解】知識點一等腰三角形的性質(zhì)1、等腰三角形（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。（2）性質(zhì)①兩腰相等②兩底角相等（簡稱等邊對等角）③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。證明題目中的寫法：①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分線：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD（3）等腰三角形的構(gòu)造“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形①如下左圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OA，則△OCD是等腰三角形②如下右圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OB，則△OCD是等腰三角形“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形如下左圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形如下中圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，D是BC中點，則△ABC是等腰三角形“中點+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示(5)“平行+等腰”構(gòu)造等腰三角形已知等腰△ABC，過腰或底上作腰或底的平行線亮題一等腰三角形的性質(zhì)1．（2022·福建·漳州三中八年級期中）在等腰三角形中，是的高，若，則的底角的度數(shù)為（

）A．或 B．或 C．或或 D．或或2．（2022·黑龍江大慶·中考真題）下列說法不正確的是(

)A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形C．有兩個角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形3．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在中，是的角平分線，過點D分別作，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．4．（2022·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個全等的等腰三角形拼成的，則的度數(shù)為（

）A．28° B．36° C．45° D．72°5．（2022·廣東·深圳市高級中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm6．（2022·遼寧朝陽·八年級期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線相交于點F，過F作DF∥BC交AB于D，交AC于E,若BD＝8cm，DE＝3cm，則CE的長為______．7．（2022·廣西·富川瑤族自治縣教學(xué)研究室模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，連接BE．若AB=5，BC=3，則△BCE的周長是_______．8．（2022·湖南·常德市第七中學(xué)八年級期末）等腰三角形的一個外角是100°，則其底角是___________.9．（2022·云南·二模）如圖，在中，，、、分別是邊、、上的點，，且，，，則邊的長是______．10．（2022·河北·高陽縣教育局教研室八年級期末）如圖，直線a∥b，點M、N分別為直線a和直線b上的點，連接MN，∠DMN=70°，點P是線段MN上一動點，直線DE始終經(jīng)過點P，且與直線a、b分別交與點D、E，（1）當(dāng)△MPD與△NPE全等時，直接寫出點P的位置：___________________；（2）當(dāng)△NPE是等腰三角形時，則∠NPE的度數(shù)為___________________．11．（2022·全國·八年級）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠1＝∠2(1)說明△ADE≌△BFE的理由；(2)聯(lián)結(jié)EG，那么EG與DF的位置關(guān)系是，請說明理由．12．（2022·廣東·佛山市惠景中學(xué)三模）如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為D．(1)請用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：過點C作AB的垂線CM，交AB邊于點F：（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）問圖中，若BD=CF，求證：△ABC為等腰三角形． 13．（2022·遼寧朝陽·八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分線；ED平分∠AEB，交AB于點D；∠CAE＝∠B．(1)求∠B的度數(shù)．(2)如果AC＝3cm，求AB的長度．(3)猜想：ED與AB的位置關(guān)系，并證明你的猜想．14．（2020·湖南·常德市第七中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，點E在AC的垂直平分線上，且BD=DE．(1)如果∠BAD=20°，求∠B的度數(shù)，求∠C的度數(shù)；(2)如果△ABC的周長為13cm，AC=6cm，求△ABE的周長；15．（2022·浙江溫州·中考真題）如圖，是的角平分線，，交于點E．(1)求證：．(2)當(dāng)時，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．知識點二等腰三角形的判定等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）總結(jié)：亮題二等腰三角形的性質(zhì)1．（2022·陜西延安·八年級期末）如圖，在中，，直線DE，F(xiàn)G分別是AB，AC的垂直平分線，則的度數(shù)為（

）A．80° B．70° C．65° D．60°2．（2022·河北秦皇島·八年級期末）如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，點M，N在邊AB上，CM＝CN．若MN＝2，則AM＝(

)A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·湖南邵陽·八年級期末）如圖，中，DE是線段AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點D，E，，，則（

）A．40° B．45° C．50° D．55°4．（2022·遼寧本溪·八年級期中）如圖，已知，平分，點，，分別是射線，，上的動點（，不與點重合）連接，連交射線于點，且，當(dāng)是等腰三角形時，則的度數(shù)為（

）A．或或 B．或 C．或 D．或5．（2022·甘肅武威·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，，，，E是AC的中點，連接BE，BD，則的度數(shù)為（

）A．15° B．14° C．12° D．10°6．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在中，，，以點為圓心，長為半徑作弧，交射線于點，連接，則的度數(shù)是______．7．（2022·河北保定·一模）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若，則（1）________；（2）陰影部分的面積是________．8．（2022·貴州畢節(jié)·一模）如圖，P為△ABC邊BC上的一點，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，則∠ACB的度數(shù)是_____°．9．（2022·江蘇南京·一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，M是AB的中點，連接AC，DM交于點N，則∠CND的度數(shù)是_____．10．（2022·上?！て吣昙墕卧獪y試）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點D，過點D作DE∥AB交BC于點E，DF∥AC交BC于點F，若BC＝a，AB＝c，AC＝b，則△DEF的周長為_____．11．（2022·浙江·金華市第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，E，F(xiàn)是邊BC上的兩點，且BE＝CF．(1)求證：△ABF≌△DCE．(2)若∠APE＝70°，求∠ADP的度數(shù)．12．（2022·河北唐山·八年級期末）已知：如圖，在中，，，，垂足分別為D、E，與交于點O．發(fā)現(xiàn)：與有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；探索：判斷的形狀，并說明理由；拓展：連接并延長，交于點F，請你直接寫出一條關(guān)于的結(jié)論．13．（2021·浙江溫州·一模）我們把端點都在格點上的線段叫做格點線段，如圖，在6×6的方格紙中，有一格點線段AB，請按要求畫圖．(1)在圖1中畫格點線段AC，BC，使得AC⊥BC．(2)在圖2中畫一格點線段EF，使得EF將AB平分，并且與AB的夾角是45°．14．（2022·遼寧遼寧·二模）綜合與實踐：(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．請寫出的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE．填空：①的度數(shù)為_______；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________，并說明理由．(3)拓展延伸；在（2）的條件下，若，求四邊形ABEC的面積．15．（2022·廣東·江門市第二中學(xué)八年級開學(xué)考試）已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一點，AE＝AC，AD⊥CE，垂足為D，交BC于點F．(1)如圖1，若∠BCE＝30°，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；(2)如圖2，若AD＝4，求BC的長．【亮點訓(xùn)練】1．（2022·云南臨滄·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的垂直平分線交邊AB于點E，交邊BC于點D，如果∠ABC=26°，那么∠CAD的度數(shù)為（

）A．26° B．38° C．64° D．32°2．（2022·山東臨沂·八年級期末）如圖，E為△ABC內(nèi)一點，BE平分∠ABC，CD⊥BE，垂足為E，交AB于點D，∠A=∠ACD，CE=1，BC=3，則AB的長為（

）A．4 B．5 C．5.5 D．63．（2022·山東濰坊·八年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E在邊BC上，BD＝CE，則添加下列條件后，仍不能證明△ABD≌△ACE的是（

）A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AD＝AE D．∠BAD＝∠CAE4．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，在中，，垂足為D，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，，若的周長為26cm，，則DC的長為（

）A．4 B．8 C．6 D．75．（2022·云南德宏·八年級期末）以下說法中，正確的命題的個數(shù)為（

）①三角形的中線、高、角平分線都是直線；②三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和；③有兩條邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④三角形具有穩(wěn)定性；⑤如果三角形的一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形A．2 B．3 C．4 D．56．（2022·陜西渭南·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的平分線，過點D作DF∥AB交AE的延長線于點F，則DF的長為_____．7．（2022·河北唐山·八年級期末）已知：如圖，D為的邊BC延長線上一點，和的角平分線交于點O，過點О作BC的平行線，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若，，則__________．8．（2022·云南曲靖·八年級期末）已知a、b為等腰三角形的兩邊長，且滿足，則等腰三角形的周長是______．9．（2022·天津西青·八年級期末）如圖，在一個三角形紙片ABC中，，，點D在邊BC上，將沿直線AD折疊，點B恰好落在AC邊上的點E處．若，則AC的長是______．10．（2022·湖北荊州·八年級期末）如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過點O，與AB，AC相交于點M，N，且MN∥BC，若AB＝5cm，AC＝6cm，則△AMN的周長為_______．11．（2022·江蘇鹽城·二模）已知：如圖，，，AC和BD相交于點O．點M是BC的中點，連接OM．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．12．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AD與EF相交于點M．(1)求證：△ADE≌△ADF；(2)求證：AD垂直平分EF．13．（2022·湖南岳陽·八年級期末）已知：如圖所示，Rt△ABC中，，，O為BC的中點．(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關(guān)系（不要求證明）(2)如果點M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持．試判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論．(3)如果點M、N分別在線段CA、AB的延長線上移動，且在移動中保持，試判斷（2）中結(jié)論是否依然成立，如果是請給出證明．14．（2022·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在6×4的方格紙ABCD中，請按要求畫格點三角形（端點在格點上），且三角形的各個頂點均不與點A，B，C，D重合，各邊不落在格線上．(1)在圖1中畫格點△EFG，使三角形的各頂點落在四邊形ABCD的邊上，且使它為等腰三角形．(2)在圖2中畫格點△EFG和△MNH，且使得它們?nèi)?，每條對應(yīng)邊都相互垂直．15．（2022·海南華僑中學(xué)八年級期末）如圖，在中，，，AD是BC的中線，．(1)求證：(2)是什么形狀的三角形？請說明理由．【培優(yōu)檢測】1．（2022·廣東深圳·二模）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于，兩點；②作直線交于點，連接．若，，則的度數(shù)為（

）A．72 B．68 C．75 D．802．（2022·湖南長沙·八年級期末）如圖，中，，于點D，于點E，于點F，，則BF的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線MN交AC于D．下列結(jié)論中：①∠C=72°；②BD是△ABC的中線；③∠BDC=100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD=BD=BC．正確的序號有（

）A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤4．（2022年浙江省溫州市中學(xué)自主招生模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC邊的中點F重合，下列結(jié)論中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四邊形ADEF＝AF·DE；④∠BDF＋∠FEC＝2∠BAC，正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·山東臨沂·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，AD=AC，在AC上截取AE=AB，連接DE，BE，并延長BE交CD于點F，以下結(jié)論：①△BAC≌△EAD；②∠CBE=∠CDE；③CF=EF；其中正確的有（

）個．A．0 B．1 C．2 D．36．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交直線AC于點E，∠AEB=80°，那么∠BAC等于________．7．（2022·山東·武城縣教育教學(xué)研究中心一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，其中，那么______．8．（2022·陜西延安·八年級期末）如圖，在中，直線垂直平分BC交AC于點Q，BP平分交直線于點P.若，，則___________.9．（2022·安徽宿州·八年級期中）如圖，，點A是BO延長線上的一點，OA＝10cm，動點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動，如果點P，Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當(dāng)t＝________時，△POQ是等腰三角形．10．（2022·青?！の鲗幨薪逃茖W(xué)研究院八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是△ABC的高，動點P在線段AB上由A向B運(yùn)動，速度為1cm/s；動點Q在線段BC上由B向C運(yùn)動，速度為2cm/s．動點P，Q同時出發(fā)，當(dāng)一個點停止運(yùn)動時，另一個點也隨之停止．連接AQ，交BD于點E．設(shè)點P的運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)∠BPE＝∠BQE時，______秒．11．（2022·廣東中山·三模）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖1，和互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點．求證：．(2)如圖2，和互為“兄弟三角形”