第08講確定圓的條件（2種題型）（原卷版）

第08講確定圓的條件（2種題型）1.了解三角形的外接圓與外心相關(guān)概念，2.探索如何過一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；一．確定圓的條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．二．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．一．確定圓的條件（共5小題）1．（2022秋?鹽都區(qū)期中）下列說法正確的是（）A．等弧所對(duì)的圓心角相等 B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等 C．過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓 D．平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧2．（2016秋?太倉市校級(jí)期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能3．（2021春?射陽縣校級(jí)期末）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）確定一個(gè)圓（填“能”或“不能”）．4．（2022秋?江寧區(qū)校級(jí)月考）下列說法：①長度相等的弧是等??；②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；③直徑是圓中最長的弦；④經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C只能作一個(gè)圓．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022春?射陽縣校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個(gè)點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為．二．三角形的外接圓與外心（共20小題）6．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐標(biāo)系中，則△ABC的外心在（）A．第四象限 B．第三象限 C．原點(diǎn)O處 D．y軸上7．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)二模）如圖，E為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)（不與C、D重合），將△BCE沿直線BE翻折到△BFE，延長EF交AE于點(diǎn)G，點(diǎn)O是過B、E、G三點(diǎn)的圓劣弧EG上一點(diǎn)，則∠EOG＝°．8．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）（1）如圖1，請(qǐng)只用無刻度直尺找出△ABC的外心點(diǎn)O；并直接寫出其外接圓半徑；（2）如圖2，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)將圖中的弧補(bǔ)成圓；并標(biāo)記圓心P．9．（2023?無錫二模）在聯(lián)歡會(huì)上，甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C上，他們在玩搶凳子游戲，要在他們之間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放在△ABC的（）A．三條高的交點(diǎn) B．內(nèi)心 C．外心 D．重心10．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，正方形ABCD、等邊三角形AEF內(nèi)接于同一個(gè)圓，則的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°11．（2022秋?太倉市校級(jí)月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD為⊙O的直徑，則AD的值為（）A．6 B． C．3 D．12．（2022秋?梁溪區(qū)校級(jí)期中）三角形的外心具有的性質(zhì)是（）A．外心在三角形外 B．外心在三角形內(nèi) C．外心到三角形三邊距離相等 D．外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等13．（2023?邗江區(qū)校級(jí)二模）如圖，⊙O的直徑為m，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB的長為x，AC的長為y，且x+y＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝1，則m的最大值為．14．（2022秋?阜寧縣期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝60°，BC＝4，則⊙O的半徑是．15．（2021秋?海州區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC＝2，∠BAC＝30°，則⊙O的直徑長等于．16．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，它是一個(gè)幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB＝4，AC＝2，現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點(diǎn)A在x軸上由點(diǎn)O開始向右滑動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上也隨之向點(diǎn)O滑動(dòng)（如圖3），并且保持點(diǎn)O在⊙G上，當(dāng)點(diǎn)B滑動(dòng)至與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束、在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程是．17．（2022秋?宿城區(qū)期中）如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點(diǎn)F，M是BC的中點(diǎn)，⊙O是△ABC的外接圓．（1）點(diǎn)B，C，D，E是否在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上？請(qǐng)說明理由．（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圓的半徑長．18．（2022秋?海州區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．解：設(shè)2m2+n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因?yàn)?m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題．（1）已知實(shí)數(shù)x、y，滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圓的半徑．19．（2022秋?秦淮區(qū)期中）以下列三邊長度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（）A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，1020．（2023?秦淮區(qū)模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，，把△ABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BED，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D之間的距離為．21．（2019秋?新北區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACD＝°．22．（2022秋?漣水縣校級(jí)月考）定義：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)叫做該三角形的外心．（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)O是△ABC的外心，求證∠ABO＝30°（2）如圖②，△ABC是等邊三角形，分別延長等邊三角形ABC的邊AB、BC、CA到點(diǎn)D、E、F，使BD＝CE＝AF，連接DE，EF，DF．若點(diǎn)O為△ABC的外心，求證：點(diǎn)O也是△DEF的外心．23．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．解：設(shè)2m2+n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因?yàn)?m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實(shí)數(shù)x、y，滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圓的半徑．24．（2023?建鄴區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC＝BC．D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，C，D交BC于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF∥BC，分別交AC于點(diǎn)G，⊙O于點(diǎn)F．（1）求證AC＝DF；（2）若AC＝10，AB＝12，CF＝3，求BE的長．25．（2022秋?溧陽市期中）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．解：設(shè)2m2+n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因?yàn)?m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實(shí)數(shù)x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ABC的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圓的半徑．一、單選題1．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．弧長相等的弧是等弧 B．直徑是最長的弦C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．平分弦的直徑垂直于弦2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（

）A．等弧所對(duì)的圓心角相等 B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等C．過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓 D．平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧3．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？计谀┫铝忻}中，正確的是（）A．圓心角相等，所對(duì)的弦的弦心距相等 B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧 D．弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心4．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)，C在平面直角坐標(biāo)系中，則的外心在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．原點(diǎn)O處 D．y軸上5．（2021秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列命題中真命題的是（

）A．長度相等的弧是等弧 B．相等的圓心角所對(duì)的弦相等C．任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．外心在三角形的一條邊上的三角形是直角三角形6．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）以下列三邊長度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（

）A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，107．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，，垂足為D，，點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)（不與C重合），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，若在E運(yùn)動(dòng)過程中的最大值為4，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）9．（2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為r，則的面積為（

）A． B． C． D．10．（2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的外心，為正三角形，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則為（

）A．110° B．90° C．85° D．80°二、填空題11．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為，，．若點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，P是的外心，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．12．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校?？计谀┮阎粋€(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為和，則這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑為_____________．13．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谥校┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，則的外心的坐標(biāo)為______．14．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)上，圖中△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是_______．15．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知在中，，，則的外接圓的半徑是______．16．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明在與同學(xué)的嬉鬧中把校服劃壞了，劃壞的圖形恰好是一個(gè)直角三角形，這個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是5和12，媽媽打算用一個(gè)圓形圖案把它蓋住縫補(bǔ)好，則媽媽用的圓形圖案所在圓的半徑最小值為___________．17．（2021秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為，點(diǎn)為，點(diǎn)為．用一個(gè)圓面去覆蓋，能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是______．18．（2020秋·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？计谥校┤酎c(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底邊BC＝4，則△ABC的面積為_____．三、解答題19．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）請(qǐng)借助網(wǎng)格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點(diǎn)O；（2）設(shè)每個(gè)小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．20．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡，標(biāo)上相應(yīng)字母．(1)已知，作，使圓心P到、邊的距離相等，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．(2)如圖，四邊形是直角梯形，作，使與邊都相切．21．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）已知，點(diǎn)D是的邊上一點(diǎn)．(1)如圖甲，，垂足為E，平分交邊于點(diǎn)F，交邊于點(diǎn)O，求證：；(2)如圖乙，交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)O，，垂足為點(diǎn)F，求；(3)如圖丙，在線段上找一點(diǎn)O作，使經(jīng)過點(diǎn)D且與相切．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出作法過程，不證明）22．（2023秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、．(1)在圖中畫出經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心的位置；(2)坐標(biāo)原點(diǎn)與有何位置關(guān)系？并說明理由．23．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，是的高，，相交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的外接圓．(1)點(diǎn)是否在以點(diǎn)M為圓心得同一個(gè)圓上？請(qǐng)說明理由．(2)若，，求外接圓的半徑長．24．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？家荒＃┮阎侵本€l和雙曲線的交點(diǎn)．(1)求m的值．(2)若直線l分別和x軸、y軸交于E、F兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是的外心，試確定直線l的解析式．(3)在雙曲線上另取一點(diǎn)B，過B作軸于K，試問：在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．25．（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，整理得，，所以，因?yàn)?，所?上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．(1)已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求值；(2)已知的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足，外接圓的半徑．26．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）尺規(guī)作圖蘊(yùn)含豐富的推理，還體現(xiàn)逆向思維，請(qǐng)嘗試用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

(1)【圓的作圖】點(diǎn)P是中邊上的一點(diǎn)，在圖1中作，使它與的兩邊相切，點(diǎn)P是其中一個(gè)切點(diǎn)；(2)點(diǎn)P是中邊上的一點(diǎn)，在圖2中作，使它滿足以下條件：①圓心O在上；②經(jīng)過點(diǎn)P；③與邊相切；(3)【不可及點(diǎn)的作圖】如圖3，從墻邊上引兩條不平行的射線（交點(diǎn)在墻的另一側(cè)，畫不到），作這兩條射線所形成角的平分線．一．選擇題1．經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)2．下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）①平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧；②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等；③等弧所對(duì)的圓心角相等；④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓．A．1 B．2 C．3 D．43．下列說法正確的是（）A．一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓 B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 C．長度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等4．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊5．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，318） D．（4，336．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)7．已知正三角形的邊長為12，則這個(gè)正三角形外接圓的半徑是（）A．23 B．3 C．33 D．438．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）10．如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且EF＝23，作△BEF的外接圓⊙O，交AC于點(diǎn)G、H．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段GH長度的變化情況為（）A