第02課有理數(shù)及數(shù)軸

第2課有理數(shù)及數(shù)軸1、了解有理數(shù)及相關(guān)概念并掌握有理數(shù)的分類；2、掌握數(shù)軸的定義和特點(diǎn)，知道數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；3、會(huì)求數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離；知識(shí)點(diǎn)01有理數(shù)的有關(guān)概念1.整數(shù)和分?jǐn)?shù)(1)正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為整數(shù).(2)正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù).2.有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).【注意】(1)有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù),所以把有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)看成分?jǐn)?shù).(2)引入負(fù)數(shù)后,對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)擴(kuò)充到有理數(shù),不要忘記整數(shù)和分?jǐn)?shù)中都有負(fù)數(shù).【拓展】有理數(shù)的另一個(gè)概念:形如—(為整數(shù)，且n≠0)的數(shù)是有理數(shù),整數(shù)可以看作分母為1的數(shù),有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù),所以所有有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式.【特別提醒】①圓周率π是正數(shù),但不是有理數(shù)，千萬(wàn)要注意，類似等同樣也不是有理數(shù).②有理數(shù)概念中，“0”很特殊：(1)0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).(2)0是整數(shù),不是分?jǐn)?shù).(3)0既是非正數(shù),又是非負(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)02有理數(shù)的分類及數(shù)集3.有理數(shù)的分類正分?jǐn)?shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)正整數(shù)正整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)【注意】(1)有理數(shù)分類,分類的標(biāo)準(zhǔn)不同,分類的結(jié)果就不同,所以要按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)分類.(2)要想分類結(jié)果不重復(fù)、無(wú)遺漏,必須掌握兩種分類標(biāo)準(zhǔn),“整數(shù)”和“分?jǐn)?shù)”對(duì)應(yīng),“正”與“負(fù)”對(duì)應(yīng);0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),它是整數(shù)也是有理數(shù).【特別提醒】(1)對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類時(shí),不要把兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)混淆,也千萬(wàn)不要忽略0.(2)遇到無(wú)限不循環(huán)小數(shù)要當(dāng)心,你要防止它混入有理數(shù)的隊(duì)伍，尤其小心π.3、數(shù)集數(shù)集是具有某些共同特征的數(shù)的集合.例如,所有的有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集,所有的整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集.【特別提醒】常見(jiàn)的幾類數(shù)自然數(shù):正整數(shù)和0;有理數(shù):整數(shù)和分?jǐn)?shù);非正整數(shù):負(fù)整數(shù)和0;非負(fù)數(shù):正數(shù)和0;非負(fù)有理數(shù):正有理數(shù)和0.知識(shí)點(diǎn)03數(shù)軸1、數(shù)軸:用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù),這條直線叫做數(shù)軸.2、數(shù)軸的三要素:①原點(diǎn):在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示0,這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn).②正方向:通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右(或向上)為正方向,從原點(diǎn)向左(或向下)為負(fù)方向.③單位長(zhǎng)度:選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度,直線上從原點(diǎn)向右,每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn),依次表示1,2,3,…;從原點(diǎn)向左,用類似方法依次表示1,2,3,….3、有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的關(guān)系(1)所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示.(2)設(shè)a是一個(gè)正數(shù),則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊,與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度;表示a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊,與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度.【注意】單位長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位不是一回事.單位長(zhǎng)度可以任意選取,而長(zhǎng)度單位是我們?cè)谛W(xué)學(xué)過(guò)的一些為了規(guī)范長(zhǎng)度而制定的基本單位，如m,dm,cm.4、數(shù)軸的畫法步驟畫法圖形一畫先畫一條直線(一般畫成水平的直線)二取在直線的適當(dāng)位置先取一點(diǎn)作為原點(diǎn),并用這點(diǎn)表示數(shù)0(在原點(diǎn)下邊標(biāo)上0)三定規(guī)定正方向(一般取向右為正方向),畫上箭頭四標(biāo)在數(shù)軸上,選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，直線上從原點(diǎn)向右,每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)﹐依次標(biāo)上1,2,3，…;從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn),依次標(biāo)上,…【提醒】數(shù)軸常見(jiàn)四大錯(cuò)誤沒(méi)有正方向沒(méi)有原點(diǎn)單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一數(shù)字排列順序錯(cuò)誤5、有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示,但數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)并不都是有理數(shù).表示正有理數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊,表示負(fù)有理數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊.以上兩點(diǎn)可表示如下:【注意】數(shù)軸上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn),而每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)數(shù),不同的點(diǎn)所表示的數(shù)不同,不同的數(shù)用不同的點(diǎn)來(lái)表示.【特別提醒】數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù).也就是說(shuō),數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)并不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)1有理數(shù)的有關(guān)概念1．下面的說(shuō)法中，正確的是（）A．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) B．整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) C．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù) D．整數(shù)、零和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故不符合題意；B．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，故不符合題意；C．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故符合題意；D．整數(shù)包括零，故不符合題意．故選：C．2．下列說(shuō)法：①整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)；②分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)；③﹣7既是負(fù)數(shù)也是整數(shù)，但不是自然數(shù)；④O既是正整數(shù)也是負(fù)整數(shù)；⑤非負(fù)分?jǐn)?shù)就是正分?jǐn)?shù)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念解答即可．【解答】解：①整數(shù)包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；②分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，正確，符合題意；③﹣7既是負(fù)數(shù)也是整數(shù)，但不是自然數(shù)，正確，符合題意；④0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；⑤非負(fù)分?jǐn)?shù)就是正分?jǐn)?shù)，正確，符合題意．所以正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選：C．知識(shí)點(diǎn)2有理數(shù)的分類及數(shù)集3．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：+8，0.35，0，﹣1.04，200%，π，，﹣，﹣2020．整數(shù)集合{+8，0，200%，﹣2020}；正數(shù)集合{+8，0.35，200%，π，}；正分?jǐn)?shù)集合{0.35，}．【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念與分類解決此題即可．【解答】解：整數(shù)集合{+8，0，200%，﹣2020}；正數(shù)集合{+8，0.35，200%，π，}；正分?jǐn)?shù)集合{0.35，}．故答案為：+8，0，200%，﹣2020；+8，0.35，200%，π，；0.35，．4．將下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的圈里：+6，﹣18，2022，﹣3.14，0，95%，，﹣1.8，﹣．【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，可得答案．【解答】解：如圖所示：【解題方法】巧填數(shù)集兩方法(1)逐個(gè)考察給出的數(shù)，看它是什么數(shù)，即是否屬于某一集合，如某數(shù)屬于正整數(shù)集合、自然數(shù)集合、非負(fù)整數(shù)集合和非負(fù)數(shù)集合，所以要分別填入對(duì)應(yīng)集合中.(2)逐個(gè)填寫相關(guān)的集合，從給出的數(shù)中找出屬于這個(gè)集合的數(shù).知識(shí)點(diǎn)3數(shù)軸5．下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)軸是一條規(guī)定了原點(diǎn)和正方向的射線 B．?dāng)?shù)軸的三要素是原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度 C．?dāng)?shù)軸的正方向一定向右 D．?dāng)?shù)軸的長(zhǎng)度是有限的【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義分別判斷每一個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：A．?dāng)?shù)軸是一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線，不是射線，故此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．正確，符合題意；C．?dāng)?shù)軸的正方向不一定向右，故此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．?dāng)?shù)軸的長(zhǎng)度是無(wú)限的，故此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．6．下列關(guān)于數(shù)軸的圖示，畫法正確的是（）A．? B．? C．? D．?【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．【解答】解：A、單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，故此選項(xiàng)不符合題意；B、缺少正方向，故此選項(xiàng)不符合題意；C、沒(méi)有原點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、規(guī)定了原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向的直線叫做數(shù)軸，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．7．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)可能是（）A．﹣2.01 B．﹣2.6 C．﹣3.4 D．3.3【分析】觀察點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置，再作判斷即可．【解答】解：點(diǎn)A在﹣2和﹣3之間，且偏﹣3一側(cè)，所以符合題意的數(shù)是﹣2.6，故選：B．8．關(guān)于這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的點(diǎn)的位置描述，正確的是（）A．在﹣3的左邊 B．在3的右邊 C．在原點(diǎn)與﹣1之間 D．在﹣1的左邊【分析】根據(jù)數(shù)軸的特征：左邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比右邊的點(diǎn)表示的數(shù)要小，據(jù)此進(jìn)行判斷即可得到答案．【解答】解：∵，∴在﹣1的左邊，故選：D．9．已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．（1）若1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣2表示的點(diǎn)與數(shù)2表示的點(diǎn)重合；（2）若﹣1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：①6表示的點(diǎn)與數(shù)﹣4表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，寫出A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱的知識(shí)，若1表示的點(diǎn)與﹣1表示的點(diǎn)重合，則對(duì)稱中心是原點(diǎn)，從而找到﹣2的對(duì)稱點(diǎn)；（2）①若﹣1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，則對(duì)稱中心是1表示的點(diǎn)，從而找到5的對(duì)稱點(diǎn)；②根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱中心平分，則點(diǎn)A和點(diǎn)B到1的距離都是4，從而求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得對(duì)稱中心是原點(diǎn)，則﹣2表示的點(diǎn)與數(shù)2表示的點(diǎn)重合．故答案為：2；（2）∵﹣1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，∴對(duì)稱中心是1表示的點(diǎn)．∴①6表示的點(diǎn)與數(shù)﹣4表示的點(diǎn)重合．故答案為：﹣4；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為8（A在B的左側(cè)），則點(diǎn)A表示的數(shù)是1﹣4＝﹣3，點(diǎn)B表示的數(shù)是1+4＝5．【解題方法】研究數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)，數(shù)形結(jié)合有奇效，解答此類題目可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將點(diǎn)的移動(dòng)情況直觀地體現(xiàn)在數(shù)軸上，結(jié)合點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)路線得出結(jié)論.1．將下列說(shuō)法正確的是（）A．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)構(gòu)成整數(shù) B．零是整數(shù)，但不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù) C．分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和零 D．零是整數(shù)．也是正數(shù)，也是負(fù)數(shù)【分析】整數(shù)包括：正整數(shù)，0，負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，零不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)．【解答】解：A、正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)構(gòu)成整數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；B、零是整數(shù)，但不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；C、分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、零是整數(shù)，但不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．下列說(shuō)法正確的是（）A．最小的正有理數(shù)是1 B．最小的正整數(shù)是1 C．0是最小的有理數(shù) D．有理數(shù)由正數(shù)和負(fù)數(shù)組成【分析】有理數(shù)包括正有理數(shù)，0和負(fù)有理數(shù)，據(jù)此逐一判斷即可．【解答】解：A．沒(méi)有最小的有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；B．最小的正整數(shù)是1，故本選項(xiàng)符合題意；C．有最小的有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；D．有理數(shù)由正有理數(shù)，0和負(fù)有理數(shù)組成，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．3．在下列六個(gè)數(shù)中：0，，，0.101001，﹣10%，5213，分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義解答即可．【解答】解：在下列六個(gè)數(shù)中：0，，，0.101001，﹣10%，5213中，分?jǐn)?shù)有，0.101001，﹣10%共3個(gè)．故選：B．4．判斷下列圖中所畫的數(shù)軸正確的個(gè)數(shù)是（）個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素是：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，結(jié)合圖形判斷即可．【解答】解：數(shù)軸的三要素是：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，圖（1）沒(méi)有原點(diǎn)，故（1）不正確；圖（2）滿足數(shù)軸的定義，故（2）正確；圖（3）所畫負(fù)半軸上的數(shù)字排列順序不對(duì)，故（3）錯(cuò)誤；圖（4）所畫單位長(zhǎng)度不一致，故（4）不正確．故選：B．5．下列說(shuō)法中正確的是（）A．?dāng)?shù)軸是一條射線 B．?dāng)?shù)軸上離開(kāi)原點(diǎn)距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)表示的數(shù)越大 C．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)從左到右依次減小 D．任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)進(jìn)行判斷，結(jié)合有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系進(jìn)行分析判斷即可．【解答】解：數(shù)軸是一條直線，A說(shuō)法錯(cuò)誤；在數(shù)軸的負(fù)半軸上，到原點(diǎn)距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)所表示的數(shù)一定越小，B說(shuō)法錯(cuò)誤；數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)從左到右依次增大，C說(shuō)法錯(cuò)誤；任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，D說(shuō)法正確．故選：D．6．如圖，點(diǎn)A是數(shù)軸上一點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)可能為（）A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．2.5 D．1.5【分析】利用有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系可得答案．【解答】解：根據(jù)圖示可得點(diǎn)A表示的數(shù)在﹣2和﹣1之間，四個(gè)選項(xiàng)中只能是﹣1.5．故選：A．7．在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非負(fù)數(shù)有6個(gè)．【分析】利用有理數(shù)的定義判斷．【解答】解：在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非負(fù)數(shù)有，0.51，0，7.6，2，314%共計(jì)6個(gè)．故答案為：6．8．?dāng)?shù)軸的三要素是：正方向、原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度．【分析】根據(jù)數(shù)軸的概念即可得出答案．【解答】解：數(shù)軸的三要素是：正方向、原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度．故答案為：正方向；原點(diǎn)；單位長(zhǎng)度．9．在數(shù)軸上距原點(diǎn)7個(gè)單位的點(diǎn)表示的數(shù)是±7．【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)該點(diǎn)表示的數(shù)為：x，由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式可得：|x﹣0|＝7，即：|x|＝7，解得x＝±7．故答案為：±7．10．將下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：﹣13，0.1，﹣2.23，+27，0，﹣15%，﹣3，．（1）非正數(shù)：{﹣13，﹣2.23，0，﹣15%，﹣3…}；（2）非負(fù)數(shù)：{0.1，+27，0，…}（3）非正整數(shù)：{﹣13，0…}；（4）非負(fù)整數(shù)：{+27，0…}【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義及其分類可得．【解答】解：（1）非正數(shù)：{﹣13，﹣2.23，0，﹣15%，﹣3…}；故答案為：﹣13，﹣2.23，0，﹣15%，﹣3；（2）非負(fù)數(shù)：{0.1，+27，0，…}；故答案為：0.1，+27，0，；（3）非正整數(shù)：{﹣13，0…}；故答案為：﹣13，0；（4）非負(fù)整數(shù)：{+27，0…}．故答案為：+27，011．請(qǐng)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)：，﹣5，0.34，，20，﹣1，0．正數(shù)集合{，0.34，20……}；負(fù)整數(shù)集合{﹣5，﹣1……}；整數(shù)集合{﹣5，0，20，﹣1……}；分?jǐn)?shù)集合{，0.34，……}；非正數(shù)集合{﹣5，，0，﹣1……}；非負(fù)整數(shù)集合{0，20……}．【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類解答即可．【解答】解：正數(shù)集合，0.34，20，…}；負(fù)整數(shù)集合{﹣5，﹣1，…}；整數(shù)集合{﹣5，0，20，﹣1，…}；分?jǐn)?shù)集合，0.34，，…}；非正數(shù)集合{﹣5，，0，﹣1，…}；非負(fù)整數(shù)集合{0，20，…}．故答案為：，0.34，20；﹣5，﹣1；﹣5，0，20，﹣1；，0.34，；﹣5，，0，﹣1；0