專題07一次函數(shù)（5大考點）

第三部分函數(shù)專題07一次函數(shù)（5大考點）核心考點核心考點一一次函數(shù)的概念核心考點二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)核心考點三一次函數(shù)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)和對稱核心考點四一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系核心考點五一次函數(shù)的應(yīng)用新題速遞核心考點一一次函數(shù)的概念例1（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校要建一塊矩形菜地供學(xué)生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設(shè)矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（

）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【答案】B【分析】根據(jù)矩形周長找出關(guān)于x和y的等量關(guān)系即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴，∴y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)；故選：B．【點睛】本題通過矩形的周長考查一次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是理清實際問題中的等量關(guān)系準(zhǔn)確地列式．例2（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別交、軸于點、，將直線繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交軸于點，則直線的函數(shù)表達式是__________．【答案】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)求得、坐標(biāo)，再過作的垂線，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理和正余弦公式求得的長度，得到點坐標(biāo)，從而得到直線的函數(shù)表達式.【詳解】因為一次函數(shù)的圖像分別交、軸于點、，則，，則．過作于點，因為，所以由勾股定理得，設(shè)，則，根據(jù)等面積可得：，即，解得．則，即，所以直線的函數(shù)表達式是．【點睛】本題綜合考察了一次函數(shù)的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根據(jù)一次函數(shù)的解求一次函數(shù)的表達式，要學(xué)會通過作輔助線得到特殊三角形，以便求解.例3（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，且與軸交于點．(1)求該函數(shù)的解析式及點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，對于的每一個值，函數(shù)的值大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式，當(dāng)時，求出即可求解．（2）根據(jù)題意結(jié)合解出不等式即可求解．【詳解】（1）解：將，代入函數(shù)解析式得，，解得，∴函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時，得，∴點A的坐標(biāo)為．（2）由題意得，，即，又由，得，解得，∴的取值范圍為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及解不等式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識點、定義一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時，y=kx（k是常數(shù)，k≠0）．這時，y叫做x的正比例函數(shù)．一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）k≠0，（2）x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)b可以為任意實數(shù).注意：（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).（2）一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù).（3）如果一個函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量x的式子是一次的，系數(shù)k不等于0，而b可以為任意實數(shù)．（4）判斷一個函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.（5）一次函數(shù)的一般形式可以轉(zhuǎn)化為含x、y的二元一次方程.知識點、一次函數(shù)表達式的確定待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟設(shè)：設(shè)出含有待定系數(shù)k、b的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b．列：把兩個已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k，b的二元一次方程組．解：解二元一次方程組，求出k，b．還原：將求得的k，b的值代入解析式．【變式1】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊的頂點在原點上，在軸上，，為邊的中點，將等邊向右平移，當(dāng)點落在直線：上時，點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過作軸于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，求出點的縱坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)得出平移后點的縱坐標(biāo)不變，把點的縱坐標(biāo)代入，求出即可．【詳解】解：過作軸于，是等邊三角形，，，，，由勾股定理得：，為的中點，點的縱坐標(biāo)是，當(dāng)將等邊向右平移，當(dāng)點落在直線上時，點的縱坐標(biāo)還是，把代入得：，解得：，即點的坐標(biāo)是，故選：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖形上點的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化平移，等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識點，能求出點的縱坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2021·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？家荒＃┒x：對于給定的一次函數(shù)（、為常數(shù)，且，把形如的函數(shù)稱為一次函數(shù)的“相依函數(shù)”，已知一次函數(shù)，若點在這個一次函數(shù)的“相依函數(shù)”圖象上，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】找出一次函數(shù)的“相依函數(shù)”，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可求出m的值．【詳解】解：一次函數(shù)的“相依函數(shù)”為，∵點P（?2，m）在一次函數(shù)的“相依函數(shù)”圖象上，∴m＝?1×（?2）?1＝1．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)“相依函數(shù)”的定義，找出一次函數(shù)的“相依函數(shù)”是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)的圖象過點，，則的值為______．【答案】【分析】把代入代入一次函數(shù)求得，進而代入x=即可求得m的值．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象過點，，解得，，過，，故答案為4044．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,把點的坐標(biāo)代入求解一元次方程即可．【變式4】（2021·山東東營·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC滿足點O在原點，點A坐標(biāo)為（2，0），∠AOC＝60°，直線y＝﹣3x＋b與菱形OABC有交點，則b的取值范圍是___．【答案】##【分析】作CM⊥OA于點M，BN⊥OA于點N，求出B的坐標(biāo)，然后代入一次函數(shù)解析式中，求出b的最大值，再將原點代入一次函數(shù)解析式中求出b的最小值即可．【詳解】解：作CM⊥OA于點M，BN⊥OA于點N，∵∠AOC=60°，∠CMO=90°，∴OM＝OC，∵在菱形OABC中，A（2，0），∴OC=OA=2=CB，∴OM=1，∴CM＝，∴C(1，)，∴B的橫坐標(biāo)為3，∵OA∥CB，∴BN=CM=，∴B的縱坐標(biāo)也為，即B(3，)，當(dāng)y=3x+b過O（0，0）時，b最小，最小值為0，當(dāng)y=3x+b過B(3，)時，b最大，把B(3，)代入y=3x+b，解得：b＝+9，∴b的取值范圍為：0?b≤+9，故答案為：0?b?+9．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求出點B的坐標(biāo).【變式5】（2022·廣東佛山·校考三模）我們把一個函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點稱為這個函數(shù)的不動點．(1)請直接寫出函數(shù)的不動點的坐標(biāo)；(2)若函數(shù)有兩個關(guān)于原點對稱的不動點，，求的值；(3)已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)函數(shù)y=2x的不動點M為（m,m），根據(jù)定義得到2m=m，求出m即可求M點坐標(biāo)；（2）由題意可知AB所在直線解析式為y=x，聯(lián)立方程組，再由根與系數(shù)的關(guān)系得3a=0，即可求a的值；（3）由題意可得，則△恒成立，對于關(guān)于b的一元二次不等式恒成立，只需△，即可．（1）解：設(shè)函數(shù)的不動點為，，解得，；（2）、關(guān)于原點對稱，且是函數(shù)的不動點，所在直線解析式為，聯(lián)立方程組，整理得，，，；（3）由題意可知，，整理得，，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，△，恒成立，關(guān)于的一元二次不等式恒成立，△，解得．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，弄清定義，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，判別式Δ與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．核心考點二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，的對應(yīng)點恰好落在直線上，連接，則的長度為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先求出點A、B的坐標(biāo)，可求得OA、OB，進而可求得∠OAB=60°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)證明和為等邊三角形得到即可求解.【詳解】解：對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，由得：，則A（1，0），B（0，），∴，，∴，則∠OAB=60°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，，，∴是等邊三角形，∴，又∴是等邊三角形，∴，故選：B．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，證得是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．例2（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點D為OB的中點，?OCDE的頂點C在x軸上，頂點E在直線AB上，則?OCDE的面積為_______．【答案】2【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點的坐標(biāo)，根據(jù)題意以及平行四邊形的性質(zhì)得出點的坐標(biāo)，從而得出點的坐標(biāo)，然后運用平行四邊形面積計算公式計算即可．【詳解】解：當(dāng)x＝0時，y＝2×0+4＝4，∴點B的坐標(biāo)為（0，4），OB＝4．∵點D為OB的中點，∴OD＝OB＝×4＝2．∵四邊形OCDE為平行四邊形，點C在x軸上，∴DE∥x軸．當(dāng)y＝2時，2x+4＝2，解得：x＝﹣1，∴點E的坐標(biāo)為（﹣1，2），∴DE＝1，∴OC＝1，∴?OCDE的面積＝OC?OD＝1×2＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了一次函數(shù)以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出圖中各點的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．例3（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y＝x+1與x軸交于點A，點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，經(jīng)過點A′和y軸上的點B（0，2）的直線設(shè)為y＝kx+b．(1)求點A′的坐標(biāo)；(2)確定直線A′B對應(yīng)的函數(shù)表達式．【答案】(1)A′（2，0）(2)y＝﹣x+2【分析】（1）利用直線解析式求得點A坐標(biāo)，利用關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)的特征解答即可；（2）利用待定系數(shù)法解答即可．【詳解】（1）解：令y＝0，則x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，∴A′（2，0）．（2）解：設(shè)直線A′B的函數(shù)表達式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線A′B對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝﹣x+2．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征、待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式、關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)的特征等知識，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)k，b的符號k>0k<0大致圖像經(jīng)過的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四性質(zhì)y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小與坐標(biāo)軸的交點與x軸的交點坐標(biāo)為,與y軸的交點坐標(biāo)為.【變式1】（2022·山東濟南·統(tǒng)考三模）函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別討論和時，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖像特征，即可得到答案．【詳解】解：若，則，一次函數(shù)單調(diào)遞減且過點（0，5），所以一次函數(shù)的圖像單調(diào)遞減，過二、三、四象限；反比例函數(shù)圖像在一、三象限，此時沒有選項的圖像符合要求．若，則，一次函數(shù)單調(diào)遞增且過點（0，5），所以一次函數(shù)的圖像單調(diào)遞增，過一、三、四象限；反比例函數(shù)在二、四象限，此時選項C符合要求．故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向上平移3個單位，與軸、軸分別交于點A、B，以線段AB為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】過點C作CE⊥x軸于點E，作CF⊥y軸于點F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證出△ACF≌△BCE（AAS），從而得出S矩形OECF＝S四邊形OBCA＝S△AOB＋S△ABC，根據(jù)直線AB的表達式利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點A、B的坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理可得出AB的長度，再根據(jù)三角形的面積結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可求出k值，此題得解．【詳解】解：過點C作CE⊥x軸于點E，作CF⊥y軸于點F，如圖所示，∵CE⊥x軸，CF⊥y軸，∴∠ECF＝90°．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，∴∠ACF＝∠BCE．在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（AAS），∴S△ACF＝S△BCE，∴S矩形OECF＝S四邊形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．∵將直線y＝?3x向上平移3個單位可得出直線AB，∴直線AB的表達式為y＝?3x＋3，∴點A（0，3），點B（1，0），∴，∵△ABC為等腰直角三角形，∴，∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝×1×3＋＝4．∵反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過點C，∴k＝4，故選C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、全等三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形以及三角形的面積，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角的計算，證出△ACF≌△BCE（AAS）是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·江蘇泰州·校考一模）定義一個新的運算：則運算的最小值為_________．【答案】2【分析】分x≤2和x＞2兩種情況分別求得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，然后再求得最小值即可．【詳解】解：當(dāng)x≤2時，x⊕2=2x+2，k=2＜0，函數(shù)值隨x的增大而減小，此時當(dāng)x=2時有最小值2；當(dāng)x＞2時，x⊕2=，綜上，最小值為2．故答案為2．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，靈活應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+6與x軸，y軸分別交于點D，點E，點F為直線y=x+6上一點，橫坐標(biāo)為4．把直線DE繞F點順時針旋轉(zhuǎn)，與x軸負半軸，y軸正半軸分別交于點A，點C，若S△ADF=S△FEC，則直線AC的解析式為______．【答案】y=x+3【分析】由S△ADF=S△FEC，推出S△ADF+S四邊形CODF=S△FEC+S四邊形CODF，即S△AOC=S△EOD，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得出b29b+18=0，繼續(xù)計算即可求解．【詳解】解：令x=0，則y=6，令y=0，則x=6，∴點D(6，0)，點E(0，6)，∴OD=OE=6，∵點F為直線y=x+6上一點，橫坐標(biāo)為4，∴y=4+6=2，∴點F(4，2)，∵S△ADF=S△FEC，∴S△ADF+S四邊形CODF=S△FEC+S四邊形CODF，∴S△AOC=S△EOD，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則點A(，0)，點E(0，b)，∴OA=，OC=b，根據(jù)題意得：，，整理得：b29b+18=0，解得：b=6(舍去)或b=3，當(dāng)b=3時，k=，∴直線AC的解析式為y=x+3，故答案為：y=x+3．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積公式結(jié)合S△ADF=S△FEC，找出關(guān)于b的一元二次方程．【變式5】（2022·河北保定·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（﹣5，m），B（m﹣3，m），其中m＞0，直線y＝kx﹣1與y軸相交于C點．(1)求點C坐標(biāo)．(2)若m＝2，①求△ABC的面積；②若點A和點B在直線y＝kx﹣1的兩側(cè)，求k的取值范圍；(3)當(dāng)k＝﹣1時，直線y＝kx﹣1與線段AB的交點為P點（不與A點、B點重合），且AP＜2，求m的取值范圍．【答案】(1)（0，1）(2)①6；②(3)2<m<4【分析】（1）求x=0時y的值，即可得到點C的坐標(biāo)；（2）①當(dāng)m=2時，A（5，2），B（1，2），延長線段AB交y軸于點D，求出CD，AB，利用面積公式計算即可；②求出直線AC和直線BC的解析式，即可得到；（3）當(dāng)k=1時，直線為y=x1，當(dāng)x=5時，y=4，只有情況時，直線y=x1與線段AB相交，且P不與A、B點重合，此時m<4；得到點P的坐標(biāo)，求出AP的長度，即可得到答案．【詳解】（1）解：直線y=kx1與y軸交于點C，當(dāng)x=0時y=1，故C（0，1），故答案為（0，1）；（2）①當(dāng)m=2時，A（5，2），B（1，2），∵點A、B縱坐標(biāo)相同，∴ABx軸，AB⊥y軸，延長線段AB交y軸于點D，∴線段CD為△ABC以AB邊為底的高，∵CD=2(1)=3，AB=1（5）=4，∴；②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，∴，解得，∴直線AC的解析式為，設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，∴，解得，∴直線BC的解析式為，∵點A和點B在直線y＝kx﹣1的兩側(cè)，∴,∴；（3）當(dāng)k=1時，直線為y=x1，當(dāng)x=5時，y=4，如圖，只有情況時，直線y=x1與線段AB相交，且P不與A、B點重合，此時m<4；當(dāng)x=m3時y=2m，由圖知2m<m，∴m>1，∴1<m<4，當(dāng)y=m時，x=1m，∴點P坐標(biāo)為（1m，m），∴，∵AP<2，∴<2，∵1<m<4，∴m4<0，∴=4m，∴4m<2，∴m>2，綜上，2<m<4．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)交點問題，正確理解一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心考點三一次函數(shù)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)和對稱例1（2021·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形在第一象限，且軸，直線沿軸正方向平移，在平移過程中，直線被矩形截得的線段長為，直線在軸上平移的距離為，、間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）所示，那么矩形的面積為（

）A． B． C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)平移的距離可以判斷出矩形BC邊的長，根據(jù)的最大值和平移的距離可以求得矩形AB邊的長，從而求得面積【詳解】如圖：根據(jù)平移的距離在4至7的時候線段長度不變，可知圖中,根據(jù)圖像的對稱性，，由圖（2）知線段最大值為，即根據(jù)勾股定理矩形的面積為故答案為：C【點睛】本題考查了矩形的面積計算，一次函數(shù)圖形的實際意義，勾股定理，一次函數(shù)的分段函數(shù)轉(zhuǎn)折點的意義；正確的分析函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解決實際問題是解題的關(guān)鍵．例2（2022·寧夏·中考真題）如圖，點的坐標(biāo)是（0，3），將沿軸向右平移至，點的對應(yīng)點E恰好落在直線上，則點移動的距離是______．【答案】3【分析】將y＝3代入一次函數(shù)解析式求出x值，由此即可得出點E的坐標(biāo)為（3，3），進而可得出△OAB沿x軸向右平移3個單位得到△CDE，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出點A與其對應(yīng)點間的距離．【詳解】解：當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，沿軸向右平移個單位得到，點與其對應(yīng)點間的距離為，即點移動的距離是3．故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征以及坐標(biāo)與圖形變換中的平移，將y＝3代入一次函數(shù)解析式中求出點E的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．例3（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）當(dāng)我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關(guān)于“一次函數(shù)圖像平移的性質(zhì)”的探究過程，請補充完整．(1)如圖，將一次函數(shù)的圖像向下平移個單位長度，相當(dāng)于將它向右平移了______個單位長度；(2)將一次函數(shù)的圖像向下平移個單位長度，相當(dāng)于將它向______（填“左”或“右”）平移了______個單位長度；(3)綜上，對于一次函數(shù)的圖像而言，將它向下平移個單位長度，相當(dāng)于將它向______（填“左”或“右”）（時）或?qū)⑺騙_____（填“左”或“右”）（時）平移了個單位長度，且，，滿足等式_______．【答案】(1)1(2)左，(3)右，左，【分析】（1）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)（1）（2）題得出結(jié)論即可．（1）解：∵將一次函數(shù)的圖像向下平移個單位長度得到，相當(dāng)于將它向右平移了個單位長度，故答案為：；（2）解：將一次函數(shù)的圖像向下平移個單位長度得到，相當(dāng)于將它向左平移了個單位長度；故答案為：左；；（3）解：綜上，對于一次函數(shù)的圖像而言，將它向下平移個單位長度，相當(dāng)于將它向右時或?qū)⑺蜃髸r平移了個單位長度，且，，滿足等式．故答案為：右，左，．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像與幾何變換，平移后解析式有這樣一個規(guī)律“左加右減，上加下減”，關(guān)鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關(guān)系．3、一次函數(shù)圖象的平移一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平移b個單位長度；b<0，向下平移|b|個單位長度4、兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：①當(dāng)k1=k2，b1≠b2，兩直線平行；②當(dāng)k1=k2，b1=b2，兩直線重合；③當(dāng)k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點；④當(dāng)k1·k2=–1時，兩直線垂直．【變式1】（2022·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，的頂點，，點在軸的正半軸上，，將向右平移得到，若經(jīng)過點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，m），利用勾股定理分別求出AB，AC的長，結(jié)合AB=AC，即可求出點C的坐標(biāo)，求出直線AB的解析式，即可求出直線的解析式，從而推出直線相當(dāng)于直線AB向右平移個單位得到的，由此即可得到答案．【詳解】解：設(shè)點C的坐標(biāo)為（0，m），則由勾股定理得：，，∴AB=AC，∴，∴或（舍去），∴點C的坐標(biāo)為（0，3），設(shè)直線AB的解析式為，∴，∴，∴直線AB的解析式為，∵是經(jīng)過AB平移得到的，∴可設(shè)直線的解析式為，∵經(jīng)過點，∴，∴直線的解析式為，∴直線相當(dāng)于直線AB向右平移個單位得到的，∴點的坐標(biāo)為，故選A．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的平移，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等等，熟知一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·湖北孝感·統(tǒng)考三模）如圖①，正方形ABCD在直角坐標(biāo)系中，其中AB邊在y軸上，其余各邊均與坐標(biāo)軸平行，直線l：y=x1沿y軸的正方向以每秒1個單位的速度平移，在平移的過程中，該直線被正方形ABCD的邊所截得的線段長為m（米），平移的時間為t（秒），m與t的函數(shù)圖象如圖②所示，則圖②中b的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AC，根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點得出直線與AC平行，因此當(dāng)直線向上平移到A點時被正方形ABCD的邊所截得的線段長最大b=AC，由圖②可知此時a=5，由速度求出AB的長再根據(jù)勾股定理即可解答；【詳解】解：如圖連接AC，由y=x1可得，當(dāng)x=0時，y=1，當(dāng)y=0時，x=1，∴直線與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，∴直線與x軸的夾角是45°，∵正方形ABCD中，AD∥BC∥x軸，∠ACB=45°，∴直線l與AC平行，∴當(dāng)直線向上平移到A點時被正方形ABCD的邊所截得的線段長最大b=AC，由圖②可知，當(dāng)a=5時，直線平移到A點，∴AB=1×5=5米∴b=AC=米，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意弄懂圖象所表達的含義是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直線與軸交于點，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形，將沿軸向右平移，當(dāng)點落在直線上時，則平移的距離是__．【答案】6【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得點BC、OC的長度，即點B的縱坐標(biāo)，表示出B′的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，即可求出平移的距離．【詳解】解：，當(dāng)時，，解得：，即，過作于，是以為斜邊的等腰直角三角形，，即點的坐標(biāo)是，設(shè)平移的距離為，則點的對稱點的坐標(biāo)為，代入得：，解得：，即平移的距離是6，故答案為：6．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形和平移的性質(zhì)等知識點，能求出B′的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·浙江杭州·校聯(lián)考一模）已知直線y＝x+2與函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．（1）點A的坐標(biāo)是_____；（2）已知O是坐標(biāo)原點，現(xiàn)把兩個函數(shù)圖象水平向右平移m個單位，點A，B平移后的對應(yīng)點分別為A′，B′，連結(jié)OA′，OB′．當(dāng)m＝_____時，|OA'﹣OB'|取最大值．【答案】

（）；

6．【分析】（1）分別求解如下兩個方程組，，再根據(jù)已知條件即可得答案；（2）當(dāng)O、A′、B′三點共線時，|OA'﹣OB'|取最大值．即直線平移后過原點即可，平移的距離為m，平移后的直線為把原點坐標(biāo)代入計算即可．【詳解】（1）聯(lián)立，解得，則交點坐標(biāo)為（），聯(lián)立，解得，則交點坐標(biāo)為（），又點A在點B的左邊，所以A（），故答案為：（）；（2）當(dāng)O、A′、B′三點共線時，|OA'﹣OB'|取最大值．即直線平移后過原點即可，平移的距離為m，平移后的直線為，則，解得，當(dāng)m＝6時，|OA'﹣OB'|取最大值．故答案為：6．【點睛】本題考查一次函數(shù)與分段函數(shù)綜合問題，會識別分段函數(shù)與一次函數(shù)的交點在哪一分支上，會利用平移解決最大距離問題是解題關(guān)．【變式5】（2021·山東濱州·二模）閱讀下面材料：我們知道一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的圖象是一條直線，到高中學(xué)習(xí)時，直線通常寫成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常數(shù)）的形式，點P（x0，y0）到直線Ax+By+C＝0的距離可用公式d＝計算．例如：求點P（3，4）到直線y＝﹣2x+5的距離．解：∵y＝﹣2x+5∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5∴點P（3，4）到直線y＝﹣2x+5的距離為：d＝＝＝＝根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)求點Q（﹣2，2）到直線3x﹣y+7＝0的距離；(2)如圖，直線＝﹣x沿y軸向上平移2個單位得到另一條直線，求這兩條平行直線之間的距離．(3)若將繞其與y軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)90度與相交，直接寫出大于時，x的取值范圍【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把點Q的坐標(biāo)代入公式d＝計算即可；（2）在直線y＝﹣x上任意取一點P，求出點P的坐標(biāo)，然后根據(jù)距離公式即可求出點P到直線y＝﹣x+2的距離，即可得出兩平行線間的距離；（3）先求出旋轉(zhuǎn)后的直線解析式，然后求出此直線與與的交點，最后觀察圖象即可得出結(jié)論.（1）∵3x﹣y+7＝0，∴A＝3，B＝﹣1，C＝7．∵點Q（﹣2，2），∴d＝，∴點Q（﹣2，2）到到直線3x﹣y+7＝0的距離為；（2）直線y＝﹣x沿y軸向上平移2個單位得到另一條直線為y＝﹣x+2，在直線y＝﹣x上任意取一點P，當(dāng)x＝0時，y＝0．∴P（0，0）．∵直線y＝﹣x+2，∴A＝1，B＝1，C＝﹣2∴d＝，∴兩平行線之間的距離為；（3）直線：y＝﹣x+2與y軸的交點為（0，2），設(shè)直線繞其與y軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)90度后的直線解析式為y＝x+b，∴2=b，∴旋轉(zhuǎn)后直線為y＝x+2，聯(lián)立方程組，解得∴交點坐標(biāo)為（1，1），由圖象可知：大于時，x的取值范圍為.【點睛】本題考查了一次函數(shù)的點與直線之間的距離公式等知識點，正確理解點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵.核心考點四一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系例1（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時，x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1【答案】A【分析】根據(jù)不等式kx+b＜x的解集即為一次函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象下方的自變量的取值范圍求解即可【詳解】解：由函數(shù)圖象可知不等式kx+b＜x的解集即為一次函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象下方的自變量的取值范圍，∴當(dāng)kx+b＜x時，x的取值范圍是，故選A．【點睛】本題主要考查了根據(jù)兩直線的交點求不等式的解集，利用圖象法解不等式是解題的關(guān)鍵．例2（2021·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：yx與直線l2：y＝kx+3相交于點A，則方程組的解為___．【答案】【分析】由題意，兩直線的交點坐標(biāo)就是這兩條直線組成的方程組的解，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵直線l1：yx與直線l2：y＝kx+3相交于點A（2，1），∴方程組的解為；故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線的交點坐標(biāo)就是這兩條直線組成的方程組的解．例3（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）定義：對于一次函數(shù)，我們稱函數(shù)為函數(shù)的“組合函數(shù)”.(1)若m=3，n=1，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“組合函數(shù)”，并說明理由;(2)設(shè)函數(shù)與的圖像相交于點P.①若，點P在函數(shù)的“組合函數(shù)”圖像的上方，求p的取值范圍；②若p≠1，函數(shù)的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過點P.是否存在大小確定的m值，對于不等于1的任意實數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖像與x軸交點Q的位置不變?若存在，請求出m的值及此時點Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.【答案】(1)是函數(shù)的“組合函數(shù)”(2)①；②存在，見詳解【分析】（1）把m=3，n=1代入組合函數(shù)中，化簡后進行判斷即可；（2）①先求出點P的坐標(biāo)和“組合函數(shù)”，把代入“組合函數(shù)”，再根據(jù)題意，列不等式求解即可；②將點P代入“組合函數(shù)”，整理得m+n=1，把n=1m代入“組合函數(shù)”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．（1）解：是函數(shù)的“組合函數(shù)”，理由：由函數(shù)的“組合函數(shù)”為：，把m=3，n=1代入上式，得，函數(shù)是函數(shù)的“組合函數(shù)”；（2）解：①解方程組得，函數(shù)與的圖像相交于點P，點P的坐標(biāo)為，的“組合函數(shù)”為，，，點P在函數(shù)的“組合函數(shù)”圖像的上方，，整理，得，，，p的取值范圍為；②存在，理由如下：函數(shù)的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過點P．將點P的坐標(biāo)代入“組合函數(shù)”，得，，，，，將代入=，把y=0代入，得解得：，設(shè)，則，，對于不等于1的任意實數(shù)p，存在“組合函數(shù)”圖像與x軸交點Q的位置不變．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，一次函數(shù)與一元一次方程，正確理解“組合函數(shù)”的定義是解本題的關(guān)鍵．知識點3：一次函數(shù)與一次方程（組）、一元一次不等式（組）的關(guān)系1．一次函數(shù)與一元一次方程任何一個一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0)的形式．從函數(shù)的角度來看，解這個方程就是尋求自變量為何值時函數(shù)值為0；從函數(shù)圖象的角度考慮，解這個方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點的橫坐標(biāo)．2．一次函數(shù)與一元一次不等式任何一個一元一次不等式都能寫成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的點的橫坐標(biāo)滿足的條件．3．一次函數(shù)與二元一次方程組一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．因此，一個二元一次方程對應(yīng)一個一次函數(shù)，又因為一個一次函數(shù)對應(yīng)一條直線，所以一個二元一次方程也對應(yīng)一條直線．進一步可知，一個二元一次方程對應(yīng)兩個一次函數(shù)，因而也對應(yīng)兩條直線．從數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時，兩個函數(shù)的值相等，以及這兩個函數(shù)值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點坐標(biāo)，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應(yīng)的兩條直線的交點坐標(biāo)．【變式1】（2022·陜西西安·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B．若點在的內(nèi)部，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出點A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)題意列出不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】解：令，∴點令，∴∵點在的內(nèi)部∴

解得故選：D．【點睛】本題考查求一元一次不等式與一次函數(shù)，熟練掌握由直線與坐標(biāo)軸的交點求不等式的解集是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線、、所對應(yīng)的函數(shù)表達式分別為、、（k≠0且k≠1），若與x軸相交于點A，與、分別相交于點P、Q，則△APQ的面積（）A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．隨著k的取值變化而變化【答案】B【分析】設(shè)與x軸的交點為B，根據(jù)三條直線的解析式，即可求出點P、Q、A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)即可求出答案．【詳解】聯(lián)立，解得：，∴P(2，4)．聯(lián)立，解得：，∴Q(，)．對于，令，則，解得：，∴A(2，0)．設(shè)與x軸的交點為B，對于，令，則，解得：，∴B(，0)．∴，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，（不合題意），當(dāng)時，．綜上可知的面積為10．故選B．【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合．根據(jù)各直線解析式求出其交點坐標(biāo)，直線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖．在邊長為6的正方形中，點，分別在，上，且，，垂足為，是對角線的中點，連接、則的長為________．【答案】【分析】以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知求出A、E、F、D、O的坐標(biāo)，從而得AE、BF解析式，可求G坐標(biāo)，即可得到OG的長度．．【詳解】解：以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，邊長為6，∴AB=BC=6，∠ABE=∠BCF=90°，∵BC=3BE，BE=CF，∴BE=CF=2，∴E（2，0），F(xiàn)（6，2），A（0，6），D（6，6），設(shè)直線AE解析式為y=ax+b，則，解得，∴直線AE解析式為y=3x+6，設(shè)直線BF解析式為y=cx，則2=6c，解得c=，∴直線BF解析式為y=x，由得∴，∵O為BD中點，∴O（3，3），∴，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，求出O和G的坐標(biāo)．【變式4】（2021·四川成都·統(tǒng)考三模）直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖形如圖所示，兩條直線相交于點，直線分別與兩條直線交于，兩點，若的面積不小于時，則的取值范圍是_______．【答案】或【分析】把點A（1，2）代入直線方程，先求出兩條直線的解析式，然后求出點M、N的坐標(biāo)，再求出MN的長度，利用三角形的面積公式，即可求出答案．【詳解】解：由圖可知，點A為（1，2），直線與y軸的交點為（0，1），把點A（1，2）代入，則；∴；把點A（1，2）和點（0，1）代入，，解得：；∴；把分別代入兩條直線方程，則，，∴點M的坐標(biāo)為（m，2m），點N的坐標(biāo)為（m，m+1），∴，∴△AMN邊MN上的高為：∵，當(dāng)?shù)拿娣e等于時，則，∴或，結(jié)合的面積不小于，∴或；故答案為：或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解一元一次不等式，求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是正確的理解題意，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)進行解題．【變式5】（2021·重慶綦江·?？既＃┰诤瘮?shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)表達式畫函數(shù)圖象利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)利用圖象解決問題”的學(xué)習(xí)過程，小姚同學(xué)根據(jù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用進行了探究，請你按要求完成下列問題．(1)列表：下表為變量與的幾組對應(yīng)數(shù)值：則______，______；(2)描點、連線：在平面直角坐標(biāo)中畫出該函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)觀察函數(shù)圖象：一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為______．【答案】(1)，(2)圖見解析；時，隨值的增大而增大(3)【分析】（1）利用函數(shù)解析式分別求出對應(yīng)的函數(shù)值即可；（2）利用描點法畫出圖象即可；觀察圖象可知：x＞1時，y隨x值的增大而增大；（3）利用圖象即可解決問題．（1）解：把x代入得，；把x代入得，，∴a，b，故答案為：，；（2）描點、連線畫出函數(shù)圖象如圖：觀察圖象可知：x＞1時，y隨x值的增大而增大；（3）由圖象可知，關(guān)于x的不等式的解集為x≤4．故答案為：x≤4．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圖像法解不等式，會用描點法畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想得到函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心考點五一次函數(shù)的應(yīng)用例1（2020·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點，連接，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后Q′的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理并利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：作QM⊥x軸于點M，Q′N⊥x軸于N，設(shè)Q(，)，則PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，當(dāng)m=2時，OQ′2有最小值為5，∴OQ′的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變換旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，表示出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．例2（2021·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）漏刻是我國古代的一種計時工具．據(jù)史書記載，西周時期就已經(jīng)出現(xiàn)了漏刻，這是中國古代人民對函數(shù)思想的創(chuàng)造性應(yīng)用．小明同學(xué)依據(jù)漏刻的原理制作了一個簡單的漏刻計時工具模型，研究中發(fā)現(xiàn)水位是時間的一次函數(shù)，下表是小明記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)，其中有一個的值記錄錯誤，請排除后利用正確的數(shù)據(jù)確定當(dāng)為時，對應(yīng)的時間為__________．…1235……2.42.83.44…【答案】15【分析】由題意及表格數(shù)據(jù)可知記錄錯誤的數(shù)據(jù)為當(dāng)t=3時，h=3.4，然后設(shè)水位與時間的函數(shù)解析式為，進而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．【詳解】解：由表格可得：當(dāng)t=1，h=2.4時，當(dāng)t=2，h=2.8時，當(dāng)t=5，h=4時，時間每增加一分鐘，水位就上升0.4cm，由此可知錯誤的數(shù)據(jù)為當(dāng)t=3時，h=3.4，設(shè)水位與時間的函數(shù)解析式為，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：，解得：，∴水位與時間的函數(shù)解析式為，∴當(dāng)=8時，則有，解得：，故答案為15．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．例3（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀(jì)念品．若購進A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購進A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．(1)求購進A、B兩種紀(jì)念品的單價；(2)若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀(jì)念品，考慮市場需求，要求購進A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購進B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？(3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．【答案】(1)購進A、B兩種紀(jì)念品的單價分別為50元、100元(2)共有6種進貨方案(3)當(dāng)購進A種紀(jì)念品160件B種紀(jì)念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組進行求解即可；（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式組進行求解即可；（3）設(shè)總利潤為W元，求出W和x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．（1）設(shè)A種紀(jì)念品單價為a元，B種紀(jì)念品單價為b元根據(jù)題意，得

解得∴購進A、B兩種紀(jì)念品的單價分別為50元、100元.（2）設(shè)該商店購進A種紀(jì)念品x個，購進B種紀(jì)念品y個根據(jù)題意，得變形得由題意得：由①得：由②得：∴∵x，y均為正整數(shù)∴x可取的正整數(shù)值是150，152，154，156，158，160與x相對應(yīng)的y可取的正整數(shù)值是25，24，23，22，21，20∴共有6種進貨方案.（3）設(shè)總利潤為W元則∵∴W隨x的增大而增大∴當(dāng)時，W有最大值：（元）∴當(dāng)購進A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元．【點睛】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組和一次函數(shù)的實際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出二元一次方程組，一元一次不等式組，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解，是解題的關(guān)鍵．知識點4：一次函數(shù)的應(yīng)用1、一次函數(shù)圖象與圖形面積解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點的坐標(biāo)，或兩條直線的交點坐標(biāo)，進而將點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三角形的邊長，或者三角形的高．如果圍成的三角形沒有邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可以采用“割”或“補”的方法．2、一次函數(shù)的實際應(yīng)用主要題型：（1）求相應(yīng)的一次函數(shù)表達式；（2）結(jié)合一次函數(shù)圖象求相關(guān)量、求實際問題的最值等．用一次函數(shù)解決實際問題的一般步驟為：（1）設(shè)定實際問題中的自變量與因變量；（2）通過列方程(組)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式；（3）確定自變量的取值范圍；（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問題；（5）檢驗所求解是否符合實際意義；（6）答．【變式1】（2022·山東濰坊·統(tǒng)考二模）如圖，張華、李穎兩人沿同一條筆直的公路相向而行，張華從甲地前往乙地，李穎從乙地前往甲地．張華先出發(fā)3分鐘后李穎出發(fā)，當(dāng)張華行駛6分鐘時發(fā)現(xiàn)重要物品忘帶，立刻以原速的掉頭返回甲地．拿到物品后以提速后的速度繼續(xù)前往乙地，二人相距的路程y（米）與張華出發(fā)的時間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，下列說法錯誤的是（）A．李穎速度是張華提速前速度的 B．李穎的速度為240m/minC．兩人第一次相遇的時間是分鐘 D．張華最終達到乙地的時間是分鐘【答案】D【分析】由軸可知，李穎的速度是張華提速前速度的，可判斷A選項不符合題意；設(shè)張華提速前的速度是米/分，則李穎的速度為米/分，根據(jù)C點的坐標(biāo)可知此時兩人相距米，則有，即可解得張華提速前的速度為米/分，則李穎的速度為（米/分），即可判斷B選項不符合題意；張華提速后的速度為米/分，故張華返回甲地所用的時間是4分鐘，張華拿到物品后再次從甲地出事的時間是第分鐘，設(shè)兩人第一次相遇的時間是t分鐘，可得，解得兩人第一次相遇的時間是分鐘，可判斷C選項不符合題意；張華拿到物品后再次從甲地出發(fā)的時間是第分鐘，即可得到張華最終達到乙地的時間是（分），可判斷D選項符合題意．【詳解】解：A、張華先出發(fā)3分鐘后李穎才出發(fā)，當(dāng)張華行駛到6分鐘時發(fā)現(xiàn)重要物品沒帶，立刻以原速的掉頭返回甲地，此時由圖軸可知，李穎和張華相距的路程不變，李穎的速度是張華提速前速度的，故此選項不符合題意；B、設(shè)張華提速前的速度是米/分，則李穎的速度為米/分，根據(jù)C點的坐標(biāo)可知此時兩人相距米，則有，解得，張華提速前的速度為米/分，則李穎的速度為（米/分），故此選項不符合題意；C、張華提速后的速度為米/分，張華返回甲地的時間是（分），張華拿到物品后再次從甲地出發(fā)的時間是第分鐘，設(shè)兩人第一次相遇的時間是t分鐘，可得，解得，兩人第一次相遇的時間是分鐘，故此選項不符合題意；D、張華拿到物品后再次從甲地出發(fā)的時間是第分鐘，即可得到張華最終達到乙地的時間是：（分），故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次方程等知識，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，采用數(shù)形結(jié)合的思想就能迎刃而解．【變式2】（2022·河北石家莊·二模）為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設(shè)生態(tài)文明，某工廠自2019年1月開始限產(chǎn)進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項錯誤的是（

）A．4月份的利潤為50萬元B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元C．治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元D．9月份該廠利潤達到200萬元【答案】C【分析】直接利用已知點求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式進而分別分析得出答案．【詳解】A、設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，把(1,200)代入得，k＝200，∴反比例函數(shù)的解析式為：，當(dāng)x＝4時，y＝50，∴4月份的利潤為50萬元，正確意；B、治污改造完成后，從4月到6月，利潤從50萬到110萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，正確；C、當(dāng)y＝100時，則，解得：x＝2，則只有3月，4月，5月共3個月的利潤低于100萬元，不正確．D、設(shè)一次函數(shù)解析式為：y＝kx＋b，則，解得：，故一次函數(shù)解析式為：y＝30x?70，故y＝200時，200＝30x?70，解得：x＝9，則治污改造完成后的第5個月，即9月份該廠利潤達到200萬元，正確．故選：C．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與反比函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022·山東濟南·?？寄M預(yù)測）兩輛車A和B，從相同標(biāo)記處同時出發(fā)，沿直線同方向行駛，并且由出發(fā)點開始計時，行駛的距離x與行駛時間t的函數(shù)關(guān)系分別為：和，求：（1）它們剛離開出發(fā)點時，行駛在前面的一輛車是_____；（2）它們出發(fā)后，B車相對A車速度為零的時刻是_____．【答案】

B車

2【分析】（1）由已知行駛的距離x與行駛時間t的函數(shù)關(guān)系可表示出速度與時間的關(guān)系式，比較剛離開時即時，兩車的速度大小即可得到答案；（2）B車相對A車速度為零的時刻即是A車速度等于B速度的時刻，列出方程求解即可．【詳解】（1）由已知得，A車的速度與時間關(guān)系式為，B車的速度與時間關(guān)系式為它們剛離開出發(fā)點時，B車速度大于A車速度（時，）行駛在前面的一輛車是B車故答案為：B車（2）B車相對A車速度為零的時刻即是A車速度等于B車速度的時刻，即解得或（舍去）故答案為：2【點睛】本題考查變速運動中運動距離與速度的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由已知的行駛的距離x與行駛時間t關(guān)系式求出速度與時間的關(guān)系式．【變式4】（2022·山東濟寧·統(tǒng)考三模）如圖1，在底面積為，高為20cm的長方體水槽內(nèi)放入一個圓柱形燒杯，以恒定不變的速度先向燒杯中注水，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽為止，此過程中，燒杯本身的質(zhì)量、體積忽略不計，燒杯在大水槽中的位置始終不變，水槽中水面上升的高度h與注水時間t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2，則燒杯的底面積是______【答案】20【分析】設(shè)燒杯的底面積為cm2，高為cm，注水速度為cm3/s，根據(jù)當(dāng)注水時間為18s時，燒杯剛好注滿；當(dāng)注水時間為90s時，水槽內(nèi)的水面高度恰好與燒杯中的水面齊平，列出方程組，即可求出燒杯的底面積．【詳解】解：設(shè)燒杯的底面積為cm2，高為cm，注水速度為cm3/s由圖1、圖2分析可得：當(dāng)注水時間為18s時，燒杯剛好注滿；當(dāng)注水時間為90s時，水槽內(nèi)的水面高度恰好與燒杯中的水面齊平．由此可得：∵∴∴故答案為：20．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂函數(shù)圖象中每個拐點的實際意義．【變式5】（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）在某地，人們發(fā)現(xiàn)某種蟋蟀1min所叫次數(shù)與當(dāng)?shù)貧鉁刂g近似為一種函數(shù)關(guān)系．某學(xué)校數(shù)學(xué)綜合與實踐小組從函數(shù)角度進行了蟋蟀所叫次數(shù)與氣溫變化情況進行如下探究：【觀察測量】數(shù)學(xué)綜合與實踐小組通過觀察測量，下面是蟋蟀所叫次數(shù)與氣溫變化情況對照表：溫度x（℃）141620蟋蟀叫的次數(shù)y（次）7791119【探究發(fā)現(xiàn)】①建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，橫軸表示溫度x（℃），縱軸表示蟋蟀叫的次數(shù)y（次），描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點．②觀察上述各點的分布規(guī)律，判斷它們是否在同一條直線上，如果在同一條直線上，求出這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式，如果不在同一條直線上，說明理由．【結(jié)論應(yīng)用】應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：①如果蟋蟀1min叫了63次，那么該地當(dāng)時的氣溫大約為℃．②能用所求出的函數(shù)模型來預(yù)測蟋蟀在時所鳴叫的次數(shù)為次．【答案】①見解析②它們在同一條直線上；①12②49．【分析】①根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點即可；②用待定系數(shù)法可得這條直線的函數(shù)關(guān)系式；①把代入，即可解得答案；②將代入得蟋蟀在10℃時所鳴叫的次數(shù)為49．【詳解】解：①描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點如圖：②它們在同一條直線上，設(shè)這條直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為，∴，解得，∴；當(dāng)時，，∴它們在同一條直線上；①當(dāng)時，，∴，答：該地當(dāng)時的氣溫大約為12°C；故答案為：12；②當(dāng)時，（次），答：蟋蟀在10℃時所鳴叫的次數(shù)為49；故答案為：49．【點睛】本題考查一次函數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能求出這條直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式．【新題速遞】1．（2022春·江蘇無錫·八年級江蘇省天一中學(xué)階段練習(xí)）點A()和B()都在直線上，則和的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】利用一次函數(shù)的增減性判定即可．【詳解】解：∵直線的，∴y隨x的增大而減小，∵，∴，故選：A．【點睛】此題考查了一次函數(shù)的增減性，對于一次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減?。?．（2021春·廣東佛山·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：，、異號，當(dāng)，時，直線經(jīng)過第一、三、四象限，雙曲線經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)，時，直線經(jīng)過第一、二、四象限，雙曲線經(jīng)過第二、四象限．∴選項A、B、D中圖象不符合題意，選項C中圖象符合題意，故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握兩個函數(shù)的圖象位置與系數(shù)及常數(shù)項之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．3．（2021春·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與在第二象限交于點A，交x軸于點B，且，，，則關(guān)于x，y的方程組的解為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖：作軸于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形面積公式計算出，從而得到，然后根據(jù)方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖像的交點坐標(biāo)即可解答．【詳解】解：如圖：作軸于，，，，∴,解得，，∴方程組的解為，故選：B【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，掌握方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖像的交點坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2021春·山西太原·九年級太原十二中?？茧A段練習(xí)）為了預(yù)防“流感”，某學(xué)校對教室采用藥熏法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克立方米）與藥物點燃后的時間（分鐘）成正比例，藥物燃盡后，與成反比例（如圖所示）．已知藥物點燃后4分鐘燃盡，此時室內(nèi)每立方米空氣中含藥量為8毫克．研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于2毫克時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒有效時間是A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求解兩函數(shù)解析式，再計算當(dāng)時x的值，從而得出答案．【詳解】解：設(shè)正比例函數(shù)解析式：且過設(shè)反比例函數(shù)解析式：，且過當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，解得：則空氣中每立方米的含藥量不低于2毫克的持續(xù)時間為分鐘故選C．【點睛】本題考查正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式，進一步根據(jù)題意求解答案．5．（2021春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與正比例函數(shù)的圖象交于點．若動點在射線上運動，當(dāng)?shù)拿娣e是面積的時，點的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】先求出點A的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，再求出點B的坐標(biāo)，得到，設(shè)點，由，解得或，即可求得點M的坐標(biāo)．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴直線的解析式是，當(dāng)時，，∴，，當(dāng)?shù)拿娣e是面積的時，即，∵點M在直線在射線上運動，∴可設(shè)點，∴，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴點M的坐標(biāo)是或，故選：C【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等知識，熟練掌握直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·新疆烏魯木齊·八年級烏市八中?？计谀┤鐖D，正方形的頂點，分別在軸，軸上，點在直線：上，直線分別交軸，軸于點，．將正方形沿軸向下平移個單位長度后，點恰好落在直線上．則的值為(

)A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】過B作BM⊥OE于M，過C作CN⊥OF于N，根據(jù)AAS定理證得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出C點的坐標(biāo)為(2,3)，由待定系數(shù)法求出直線l的解析式為y=x+4，設(shè)平移后點C的坐標(biāo)為(2,3m)，代入解析式即可求出m．【詳解】解：過B作BM⊥OE于M，過C作CN⊥OF于N，如圖，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=DA，∴∠DAO+∠BAM=90°，∴∠DAO=∠ABM，在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM(AAS)，∴OA=BM，OD=AM，∵B(3,1)，∴BM=1，OM=3，∴OA=1，∴AM=OMOA=2，∴OD=2，同理可證△CDN≌△DAO，∴DN=OA=1，CN=DO=2，∴ON=OD+DN=3，∴C(2,3)，∵點B(3,1)在直線l：y=kx+4上，∴3k+4=1，∴k=1，∴直線l的解析式為y=x+4，設(shè)正方形ABCD沿y軸向下平移m個單位長度后點C的坐標(biāo)為(2,3m)，∵點C在直線l上，∴2+4=3m，解得：m=1，故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的特征，正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化平移，全等三角形的判定與性質(zhì)定理，根據(jù)AAS定理證得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022秋·上海楊浦·九年級校考階段練習(xí)）如果直線是由正比例函數(shù)的圖像向左平移1個單位得到，那么不等式的解集是______．【答案】##【分析】直接利用一次函數(shù)平移規(guī)律得出圖像平移后與軸交點，進而得出答案．【詳解】解：∵直線是由正比例函數(shù)的圖像向左平移1個單位得到，∴經(jīng)過，∴不等式的解集是：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)的幾何變換以及一次函數(shù)與一元一次方程的應(yīng)用不等式，正確得出圖像與軸交點是解題關(guān)鍵．8．（2022春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）甲、乙兩人準(zhǔn)備在一段長為的筆直公路上進行跑步，甲、乙跑步的速度分別為和，起跑前乙在起點，甲在乙前面處，兩人同時同向起跑．（1）兩人出發(fā)后______乙追上甲；（2）從起跑至其中一人先到達終點的過程中，甲、乙兩人之間的距離與時間的函數(shù)關(guān)系為______．【答案】

50

；【分析】（1）是追擊問題，速度快的追上慢的，路程差為．（2）是分段函數(shù)，根據(jù)不同的范圍列函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：（1）設(shè)出發(fā)乙追上甲，據(jù)題意得，，解方程得：．（2），．【點睛】本題考查的是方程與函數(shù)，根據(jù)追擊問題的路程差列出方程、時間不同列出不同的函數(shù)表達式是解本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谀┊?dāng)時，不論k取任何實數(shù)，函數(shù)的值為3，所以直線一定經(jīng)過定點；同樣，直線一定經(jīng)過的定點為__________．【答案】【分析】先將化為，可得當(dāng)時，不論取何實數(shù)，函數(shù)的值為，即可得到直線一定經(jīng)過的定點為．【詳解】解：根據(jù)題意，可化為，∴當(dāng)時，不論取何實數(shù)，函數(shù)的值為，∴直線一定經(jīng)過的定點為，故答案為．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式．10．（2022春·江蘇無錫·八年級江蘇省天一中學(xué)階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，點P、C分別是線段，上的點，且，，則點P的坐標(biāo)為_____．【答案】##【分析】根據(jù)，，證明，從而證明，得到，過點P作軸，求得，，，根據(jù)點所在象限即可確定點P的坐標(biāo)．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，過點P作軸，垂足為D，∵，∴,∴，∴，∵，∴，∴，∵點P在第二象限，∴點，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與象限和線段之間的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點確定，靈活運用三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2021春·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)于軸對稱，則的值為________．【答案】【分析】一次函數(shù)與一次函數(shù)關(guān)于軸對稱，則兩函數(shù)相交于軸上一點，所以令兩方程中，分別解得，令其相等即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：令，解得：一次函數(shù)與一次函數(shù)交于點把代入得：解得：故答案為：【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換以及負整數(shù)指數(shù)冪的運算，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出直線與坐標(biāo)軸的交點．12．（2022春·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于點A，B，點C為線段OA上一動點，過點C作于點D，過點D作軸，交y軸于點E，在直線DE上找一點F，使得，連接OF，則最小值為______．【答案】【分析】先求出點，可得，從而得到是等腰直角三角形，過點D作軸于點M，則，可得，設(shè)點C的坐標(biāo)為，則，從而得到點，作點O關(guān)于直線的對稱點，連接，則時，，則當(dāng)點N，F(xiàn)，C共線時，的值最小，最小值為的長，再根據(jù)，可求出m的值，即可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于點A，B，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴點，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，如圖，過點D作軸于點M，則，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，則，∴，∴，∴點，∵，，∴，∴，∵軸，∴，作點O關(guān)于直線的對稱點，連接，則時，，∴當(dāng)點N，F(xiàn)，C共線時，的值最小，最小值為的長，∵軸，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的的幾何應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·江蘇無錫·八年級江蘇省天一中學(xué)階段練習(xí)）已知與成正比例，且時，．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式．(2)如果的取值范圍為時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先設(shè)，再把，代入可得關(guān)于的方程，再解出的值可得答案；（2）根據(jù)的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)解析式，利用等量代換可得關(guān)于的不等式組，再解不等式即可．【詳解】（1）設(shè)，∵當(dāng)時，，∴，解得：，∴與的函數(shù)關(guān)系式為，即；（2）∵，∴，解得：【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及求函數(shù)值，關(guān)鍵掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟：（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)；（2）將自變量的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進而寫出函數(shù)解析式．14．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）一次函數(shù)的圖象先向下平移4個單位，再向右平移2個單位，作關(guān)于x軸對稱，對稱后的直線的解析式為，求原函數(shù)圖象的解析式．【答案】【分析】設(shè)原函數(shù)圖象的解析式為，根據(jù)一次函數(shù)平移的規(guī)律，即可進行解答．【詳解】解：設(shè)原函數(shù)圖象的解析式為，原函數(shù)向下平移4個單位，得到的函數(shù)解析為：，再向右平移2個單位，得到的函數(shù)解析為：，關(guān)于x軸對稱后，得到的函數(shù)解析式為：，整理得：∵變化為的函數(shù)解析式為：，∴，解得：．∴原函數(shù)的解析式為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移變化，解題的關(guān)鍵是掌握：上加下減，左加右減．15．（2022春·河北石家莊·七年級期末）嘉琪要去甲或乙商店購買簽字筆，設(shè)她購買該簽字筆x支（）．根據(jù)表中信息解答問題：商店名稱標(biāo)價（元/支）優(yōu)惠辦法甲1.50一次購買不超過10支，按標(biāo)價付款；一次購買10支以上，則超過10支的部分按標(biāo)價的60%付款．乙1.50按標(biāo)價的80%付款(1)嘉琪在甲店花元，在乙店花元（用含x的式子表示）；(2)嘉琪買多少支簽字筆時，在甲、乙兩店所花的錢一樣多？(3)若嘉琪買簽字筆30支，你認為她該去哪個店購買更省錢？通過計算說明理由．【答案】(1)；(2)買20支水性筆時，在甲、乙兩店購買所花的錢一樣多(3)要買30支筆應(yīng)到甲商店買比較省錢【分析】（1）先求出甲商店10支水性筆的