2024-2025學年高一數(shù)學必修第一冊（配湘教版）教學課件 1.1.1 第1課時 集合與元素

第1章集合與邏輯1.1.1第1課時集合與元素課標要求1.通過實例,理解集合的含義,理解元素與集合的歸屬關系.2.理解集合基本屬性.3.在具體情境中,理解空集的含義.4.掌握集合的分類,熟練記憶常用數(shù)集的符號.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點一集合與元素1.集合的概念在數(shù)學語言中,把一些對象放在一起考慮時,就說這些對象組成了一個集合或者集.給這些對象的總的名稱,就是這個集合的名字.這些對象中的每一個,都叫作這個集合的一個元素.2.元素與集合的關系

知識點關系概念記法讀法元素與集合的歸屬關系屬于S是一個集合,a是S的一個元素

不屬于a不是S的元素

(或a

S,a?S)

a∈Sa屬于Sa?Sa不屬于S名師點睛集合概念的理解(1)整體性:集合是一個整體,暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對象一旦組成了集合,這個集合就是這些對象的總體.(2)廣泛性:組成集合的對象可以是數(shù)、點、圖形、多項式,也可以是人或物等,即對象形式多樣.過關自診1.集合M是由大于-2,且小于1的實數(shù)構成的,則下列關系式正確的是(

)D2.設集合M表示“1~10之間的所有質(zhì)數(shù)”.請問3和8與集合M之間有何關系?提示

3是集合M中的元素,即3屬于集合M,記作3∈M;8不是集合M中的元素,即8不屬于集合M,記作8?M.知識點二集合中元素的基本屬性1.互異性:同一集合中的元素是互不相同的.2.確定性:集合中的元素是確定的.3.無序性:集合中的元素沒有順序.名師點睛對集合中元素的基本屬性的理解(1)確定性是集合中元素的基本特征,沒有確定性就不能成為集合.例如“課本中的難題”“聰明的孩子”,其中“難題”“聰明”因界定的標準模糊,故都不能組成集合.(2)互異性是判斷能否組成集合的另一標準,也是最容易被忽視的屬性.過關自診1.判斷下列各組對象能否構成一個集合:(1)不超過36的非負數(shù);(2)方程x2-10=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解;(3)某校2023年在校的所有成績好的同學;(4)π的近似值的全體.解

(1)對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過36的非負數(shù)”,所以能構成集合.(2)能構成集合.(3)“成績好”無明確的標準,因此不能構成一個集合.(4)“π的近似值”不明確精確到什么程度,因此很難判斷一個數(shù)如“3”是不是它的近似值,所以不能構成集合.2.已知集合A含有兩個元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,試求實數(shù)a的值.解

因為-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,則a=0,此時集合A含有兩個元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,則a=-1,此時集合A含有兩個元素-4,-3,符合要求.綜上所述,滿足題意的實數(shù)a的值為0或-1.知識點三常見數(shù)集及其表示名稱自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號

NZQR過關自診用符號“∈”或“?”填空.∈?∈?∈知識點四集合的分類1.有限集:元素個數(shù)

的集合.

2.無限集:元素

的集合.

3.空集:沒有元素的集合叫空集,記作

;空集也是有限集.

過關自診方程5x2+2=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解能構成集合嗎?若能構成集合,集合中元素個數(shù)為多少?有限無限多?提示

該方程的實數(shù)解能構成一個集合,該集合中不含任何元素,因此集合中元素個數(shù)為0,即為空集.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一集合中元素的確定性

解

(1)能,因為男隊員是確定的.(2)能,因為x2-1=0的所有實根為-1,1,滿足集合中元素的確定性.(3)不能,“近似值”無明確標準,故構不成集合.(4)能,因為大于0的整數(shù)是確定的.規(guī)律方法

集合的判定方法集合中的元素是確定的,即對任何一個對象,我們都能判斷它是或不是某個集合中的元素,并且兩者必居其一,因此它是判斷一組對象能否構成集合的一個標準.若這組對象是明確的、具體的,則它們可以構成一個集合;若是模棱兩可的,則不能構成一個集合.變式訓練1下列各組對象不能構成集合的是(

)A.某教室內(nèi)的全部桌子B.2024年高考數(shù)學難題C.所有有理數(shù)D.小于π的正整數(shù)B解析

“某教室內(nèi)的全部桌子”屬于確定的概念,故能構成集合;由于“難題”屬于不確定的概念,因此“2024年高考數(shù)學難題”不能構成集合;由于任意給一個數(shù)都能判斷是否為有理數(shù),故能構成集合;小于π的正整數(shù)分別為1,2,3,能夠組成集合.故選B.探究點二集合中元素的互異性【例2】

已知集合A含有兩個元素1和a2,若a∈A,求實數(shù)a的值.解

由題意可知,a=1或a2=a,(1)若a=1,則a2=1,這與a2≠1相矛盾,故a≠1.(2)若a2=a,則a=0或a=1(舍去),又當a=0時,A中含有元素1和0,滿足集合中元素的互異性,符合題意.綜上可知,實數(shù)a的值為0.變式探究(1)本例若去掉條件“a∈A”,其他條件不變,求實數(shù)a滿足的條件.(2)已知集合A含有兩個元素a和a2,若1∈A,求實數(shù)a的值.解

(1)由集合中元素的互異性可知a2≠1,即a≠±1.(2)若1∈A,則a=1或a2=1,即a=±1.當a=1時,集合A有重復元素,所以a≠1;當a=-1時,集合A含有兩個元素1,-1,滿足集合中元素的互異性,所以a=-1.規(guī)律方法

集合中元素的互異性同一集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入同一個集合時,只能寫一次,算作集合中的一個元素.探究點三元素與集合的關系【例3】

已知-3是由x-2,2x2+5x,12三個元素構成的集合中的元素,求x的值.解

由題意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.當x-2=-3時,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三個元素分別為-3,-3,12,不滿足集合中元素的互異性,故x≠-1;規(guī)律方法

解決元素與集合的關系問題的通法:根據(jù)元素的確定性建立分類討論的標準,求得參數(shù)的值,然后將參數(shù)值代入,檢驗是否滿足集合中元素的互異性.變式訓練2用符號“∈”和“?”填空.∈∈?學以致用·隨堂檢測促達標12341.已知1,x,x2三個實數(shù)構成一個集合,則x滿足的條件是(

)A.x≠0 B.x≠1C.x≠±1 D.x≠0且x≠±1D12342.用符號∈或?填空.(3)設集合C是滿足方程x=n2+1(其中n為正整數(shù))的實數(shù)x構成的集合,則3

C,5

C;(4)設集合D是滿足方程y=x2的有序?qū)崝?shù)對(x,y)構成的集合,則-1

D,(-1,1)

D.

??∈?∈?∈?∈1234解析

(1)依次應填?,?,∈.

(3)由于n是正整數(shù),所以n2+1≠3.而當n=2時,n2+1=5,所以依次應填?,∈.(4)由于集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x,y),而-1是數(shù),所以-1?D.又(-1)2=1,所以依次應填?,∈.12343.下列對象構成的集合是空集的是

.(填序號)

①小于1的自然數(shù);②2米高的人;③方程x2-x+1=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解集.③解析

因為方程x2-x+1=0的判別式Δ=1-4<0,所以方程無解,即解集為空集.而小于1的自然數(shù)為0,2米高的人也存在,所以①②都不是空集.1234