11-計算流體力學(xué)理論基礎(chǔ)

1.系統(tǒng)：系統(tǒng)是一團確定不變的物質(zhì)的集合。

特點：（1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運動，其形狀、大小可隨時間變化；（2）系統(tǒng)可以通過邊界與外界發(fā)生力的作用和能量交換，但不發(fā)生質(zhì)量交換，即系統(tǒng)的質(zhì)量是不變的。2.控制體：在空間上體積固定不變的連續(xù)、封閉區(qū)域。特點：（1）控制體的邊界相應(yīng)于坐標系是固定不變的；（2）控制面上不僅可以有力的作用和能量交換，而且可以有質(zhì)量的交換。2.1系統(tǒng)與控制體輸出控制體質(zhì)量流量輸出控制體凈質(zhì)量流量輸入控制體質(zhì)量流量控制體內(nèi)的質(zhì)量變化量對于系統(tǒng)，由質(zhì)量守恒定律有：應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時質(zhì)量守恒方程2.2流體力學(xué)方程組運用高斯散度定理，則有質(zhì)量守恒定律的積分形式：質(zhì)量守恒定律的微分形式：或?qū)Σ豢蓧嚎s流體，，則方程簡化為2.2流體力學(xué)方程組運用高斯散度定理，則有質(zhì)量守恒定律的積分形式：質(zhì)量守恒定律的微分形式：或?qū)Σ豢蓧嚎s流體，，則方程簡化為2.2流體力學(xué)方程組對于系統(tǒng)，由動量守恒定律（牛頓第二定律）有：應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時動量守恒方程輸出控制體動量流量控制體凈輸出的動量流量輸入控制體動量流量控制體內(nèi)的動量變化率作用于控制體的合力2.2流體力學(xué)方程組用應(yīng)力張量替換應(yīng)力向量，動量平衡方程可寫成：

動量變化率對流動量通量體積力表面力2.2流體力學(xué)方程組上式為柯西運動方程，表示單位質(zhì)量流體的動量平衡?？紤]到連續(xù)性方程，上式變?yōu)椋?.2流體力學(xué)方程組能量守恒定律可表述為：系統(tǒng)從外界吸熱的速率與系統(tǒng)對外界做功的速率之差等于系統(tǒng)能量的變化率。能量守恒原理是針對封閉物質(zhì)系統(tǒng)而言的。開放物質(zhì)系統(tǒng)能量的變化取決于它和環(huán)境的相互作用。若一個系統(tǒng)和它的環(huán)境有力的作用，則總能量變化指動能和內(nèi)能之和的變化：比內(nèi)能2.2流體力學(xué)方程組應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時能量守恒方程外界對控制體對做功的速率外界向控制體放熱速率控制體凈輸出的能量流量控制體內(nèi)的能量變化率對開放系統(tǒng)，能量守恒方程為：動能和內(nèi)能變化率體積力做功表面力做功熱通量2.2流體力學(xué)方程組運用散度定理，得到微分形式的能量守恒方程：

或2.2流體力學(xué)方程組2.4流體力學(xué)方程組其他形式2.4流體力學(xué)方程組其他形式

，

2.4流體力學(xué)方程組其他形式

2.4流體力學(xué)方程組其他形式，

.2.2泊松形式N-S方程教學(xué)點：方程推導(dǎo)過程2.2.3渦量—流函數(shù)方程教學(xué)點：（1）適用條件講解；（2）推導(dǎo)過程講解2.2.3渦量—流函數(shù)方程教學(xué)點：（1）適用條件講解；（2）推導(dǎo)過程講解2.4流體力學(xué)方程組其他形式2.4流體力學(xué)方程組其他形式

為連續(xù)方程；分別為笛卡爾坐標系下三個方向分量動量方程；分別為湍動能和湍流耗散率方程。2.3．1積分形式的N-S方程（有限體積法出發(fā)方程）2.4流體力學(xué)方程組其他形式

所有的流體運動都要滿足基本方程組，但在通常情況下只有確定了初始條件和邊界條件之后，才有獨一無二的形態(tài)。也就是說基本方程組中包含的任意函數(shù)需要結(jié)合相應(yīng)的定解條件來求解未知量，否則方程組得不到唯一確定的解。定解條件包括初始條件和邊界條件。初始條件是指流動在初始時刻，流體運動應(yīng)該滿足的初始狀態(tài)。（1）初始條件為已知函數(shù)。

2.3初始條件與邊界條件邊界條件是指流體運動的邊界上方程組的解應(yīng)滿足的條件。（2）邊界條件a)無窮遠處2.3初始條件與邊界條件b)兩介質(zhì)界面兩介質(zhì)的界面可以是氣、液、固三相中任取兩個不同相的界面，也可以是同一相不同組成的界面。兩介質(zhì)交界面條件：2.3初始條件與邊界條件c)固壁邊界

固壁邊界條件是兩介質(zhì)界面處邊界條件的重要特例，此時兩介質(zhì)中有一個是固體，另一個是流體。若固壁靜止，粘性流體在固壁處速度為零，即稱為粘附條件或無滑移條件；理想流體的固壁邊界條件則是流體沿固壁法線方向的流速為零，即。2.3初始條件與邊界條件定解條件在方程求解中是一個不可缺失的環(huán)節(jié)，因此為一個具體的物理或工程問題確定定解條件是一件十分重要的事情．d)自由面

自由面是正常條件下氣-液界面，是兩介質(zhì)界面處邊界條件的另一重要特例。若氣相運動遠強于液相運動，則可認為自由表面上液體壓強與氣相相等，兩介質(zhì)的法向速度分量為零。如果兩介質(zhì)的界面上存在剪切應(yīng)力，則需滿足條件：2.3初始條件與邊界條件1.流場（流體運動過程與規(guī)律）2.方程組（反映流體介質(zhì)運動過程中所要遵循的規(guī)律）3.控制體與初始條件與邊界條件（決定流體運動過程與規(guī)律）2.3初始條件與邊界條件，，，方程性質(zhì)分析：矩陣所有特征值為互不相等的實數(shù)，方程組為嚴格雙曲型方程組矩陣所有特征值為復(fù)數(shù)，方程組為橢圓型方程組。矩陣部分特征值為實數(shù)，部分為復(fù)數(shù)，方程組為混合型方程。以上流體力學(xué)各級近似方程均可歸類為一階擬線性偏微分方程組2.5流體力學(xué)方程組數(shù)學(xué)性質(zhì)2.5流體力學(xué)方程組數(shù)學(xué)性質(zhì)2.4.2N-S方程性質(zhì)對于定常N-S方程，方程為非線性橢圓方程對于非定常N-S方程，方程性質(zhì)為雙曲-拋物性方程2.4.3EULER方程性質(zhì)對于亞音速流動，定常歐拉方程為橢圓型方程對于超音速流動，定常歐拉方程為雙曲型方程對于跨音速流動，定常歐拉方程為橢圓與雙曲混合型方程更多形式參考文獻[計算流體力學(xué)—差分方法的原理與應(yīng)用；第一章：流體力學(xué)的各級近似方程及其數(shù)學(xué)性質(zhì)；張涵信，沈孟育著；國防工業(yè)出版社]2.6模型方程控制方程：

初始條件：邊界條件：解析解：單波方程初邊值條件提法當時，在處給定邊界條件處給定初值時，在處給定邊界條件綜上：對于單波方程，要求在開區(qū)域的部分邊界上規(guī)定邊界條件如果特征線自邊界走向求解域內(nèi)部，則在該邊界上規(guī)定邊界條件如果特征線自求解域內(nèi)部走向邊界，則在該邊界不規(guī)定邊界條件（a）c>0(b)c<0處給定初值當2.6模型方程控制方程：初始條件：邊界條件：

解析解：2.6模型方程解特征分析解析解：2.6模型方程（1）第一類邊界條件：邊界上給定函數(shù)值（2）第二類邊界條件：邊界上給定函數(shù)的外法向?qū)?shù)值（3）第三類邊界條件：混合邊界條件2.6模型方程對于給定邊界問題，還需提邊界條件，提法有三種控制方程：初始條件：邊界條件解析解：2.6模型方程解析解：解特征分析：邊界條件提法：綜合波動方程與熱傳導(dǎo)方程，一般以波動方程提法為主。2.6模型方程控制方程：

邊界條件（1）Dirichlet問題：邊界上給定函數(shù)值（2）Neumann問題：邊界上給定函數(shù)的外法向?qū)?shù)值（3）Robin問題：混合邊界條件2.6模型方程控制方程：

定常邊界條件：定常條件下解析解：2.6模型方程35/57第三章有限差分數(shù)值解法3.1有限差分方法3.2差分方程3.3差分解法的理論基礎(chǔ)3.4差分修正方程分析3.5小擾動穩(wěn)定性分析方法3.6高精度格式以及精度分析36/573.1有限差分方法3.1.1熱傳導(dǎo)方程求解3.1.2有限差分基本原理與過程3.1.3差分逼近式構(gòu)造方法3.1.4差分算子與差分逼近式37/573.1.1熱傳導(dǎo)方程求解控制方程:求解區(qū)域:初、邊條件:解析精確解:38/57控制方程:求解區(qū)域:初、邊條件:解析精確解:1.定義域離散３.控制方程離散２.初、邊值離散4.代數(shù)方程組求解3.1.2有限差分基本原理與過程39/572.根據(jù)邊界條件在邊界給定離散形式的初、邊界條件：1.把連續(xù)求解域化為離散的有限節(jié)點的離散點集3.把偏微分方程導(dǎo)數(shù)項和方程在每一個離散點上離散，從而把定義域上連續(xù)光滑的偏微分方程轉(zhuǎn)化為在離散點集上近似的代數(shù)方程組。4.對代數(shù)方程組進行求解得到數(shù)值解：3.1.1熱傳導(dǎo)方程求解40/57數(shù)值解分析1.定義域離散（網(wǎng)格生成）2.初、邊界條件離散方法（2）邊界條件離散：（1）初始條件離散：3.1.2有限差分基本原理與過程41/57高數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義Tailer展開方法逼近

一階精度差分逼近3.一階導(dǎo)數(shù)差分逼近

3.1.2有限差分基本原理與過程42/573.二階導(dǎo)數(shù)差分逼近

二階導(dǎo)數(shù)差分逼近3.1.2有限差分基本原理與過程43/57隱式差分格式3.差分方程顯式差分格式控制方程:3.1.2有限差分基本原理與過程44/57（1）顯式格式方程組求解介紹隱式差分格式顯式差分格式時間推進求解4、時間推進方法數(shù)值求解（2）隱式格式方程組求解過程介紹or3.1.2有限差分基本原理與過程45/571.導(dǎo)數(shù)差分逼近方法與誤差2.差分方程格式介紹與精度分析3.差分方程相容性、收斂性、穩(wěn)定性理論4.高階差分格式介紹5.初、邊值條件提法7.差分方程數(shù)值解行為分析6.網(wǎng)格生成3.1.2有限差分基本原理與過程46/571.待定系數(shù)法2.多項式法3.1.3差分逼近式構(gòu)造方法47/57向前差分：向后差分：中心差分：二階中心差分：差分算子：3.1.4差分算子與差分逼近式48/57向前偏心差分格式：向后偏心差分格式：按Tailer級數(shù)展開，有以下一階差分格式3.1.4差分算子與差分逼近式49/573.1.4差分算子與差分逼近式按Tailer級數(shù)展開，有以下二階差分格式二階差分格式:中心差分格式：三點向前偏心差分格式：

三點向后偏心差分格式：50/57三點中心差分格式：時間項向前差分格式二階導(dǎo)數(shù)二階精度3.1.4差分算子與差分逼近式51/573.2差分解法的理論基礎(chǔ)3.2.1差分方程的相容性3.2.2收斂性3.2.3穩(wěn)定性3.2.4Lax等價定理3.2.5差分格式的穩(wěn)定性分析方法52/573.2.1差分方程的相容性定義：當差分方程中的步長時，差分方程的截斷誤差也趨近于零，則差分方程與原微分方程是相容的。項時，只有當，且存在時，差分方程才是相容的，否則是不相容。注：當截斷誤差中存在有53/573.2.1差分方程的相容性條件相容：針對熱傳導(dǎo)方程，采用Duford-Frankel提出的D-F格式，差分方程：Tailer展開后，獲得截斷誤差：此截斷誤差只有在and條件下，只有在此條件下，D-F差分方程才是相容的，稱之為條件相容。54/573.2.2差分方程的收斂性定義：當差分方程中，存在有

則稱為差分方程的解收斂于微分方程的準確解為近似解，精確解則判斷計算收斂,其中定義形式多樣，最大值收斂，平均值收斂，算術(shù)平均值收斂等多種形式實用收斂判據(jù)55/573.2.3差分方程的穩(wěn)定性定義：指在求解過程中，某一時刻所引入的誤差擾動不產(chǎn)生實質(zhì)性的增長，不會導(dǎo)致查分方程解失真（與微分方程的物理解相比）即：差分方程在求解過程中，某時刻引入的誤差隨時間增長有界，則成為差分方程是穩(wěn)定的。對線性方程，有數(shù)學(xué)表達式：56/573.2.4Lax等價定理

如果微分方程初邊值問題是適定的，差分方程是相容的，則：差分方程解的收斂性與穩(wěn)定性是等價的。離散誤差：微分方程精確解與差分方程近似解之間的差截斷誤差：差分格式中Tailer展開時截斷的誤差舍入誤差：計算過程中，舍入有限位數(shù)產(chǎn)生的誤差關(guān)系：舍入誤差與計算機字長與網(wǎng)格點數(shù)有關(guān)，增加網(wǎng)格點數(shù)，截斷誤差減小，舍入誤差增加。誤差分析Lax等價定理57/573.2.5差分格式的穩(wěn)定性分析方法(1)推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程穩(wěn)定條件：講解顯格式與隱格式區(qū)別(2)推導(dǎo)波動方程穩(wěn)定性條件：講解迎風格式與逆風格式區(qū)別，以及中心格式(3)介紹Laplace方程格式若干典型格式介紹以及穩(wěn)定性與精度分析講解點：（1）介紹波動模型方程典型格式的穩(wěn)定性條件與精度（2）介紹熱傳導(dǎo)模型方程典型格式的穩(wěn)定性條件與精度（3）介紹Laplace方程穩(wěn)定性與精度58/57

N為差分方程數(shù)值解；D為差分方程精確解；e為計算過程中產(chǎn)生的誤差。N滿足于差分方程，所以D、e也滿足于差分方程穩(wěn)定性判別：e在計算過程中逐漸減小或增長有界，則N就趨近并向D收斂，則差分格式就是穩(wěn)定的，根據(jù)LAX等價定理，也是穩(wěn)定的3.2.5差分格式的穩(wěn)定性分析方法數(shù)學(xué)表達59/573.2.5差分格式的穩(wěn)定性分析方法2.熱傳導(dǎo)方程差分方程顯格式穩(wěn)定性判別把代入60/573.2.5差分格式的穩(wěn)定性分析方法1.熱傳導(dǎo)方程差分方程隱格式穩(wěn)定性判別把代入61/573.2.5差分格式的穩(wěn)定性分析方法2.熱傳導(dǎo)方程差分方程隱格式穩(wěn)定性判別把代入62/573.2.5差分格式的穩(wěn)定性分析方法3.波動方程差分方程Lax格式穩(wěn)定性判別把代入63/573.2.5差分格式的穩(wěn)定性分析方法4.波動方程差分方程迎風格式把代入格式恒不穩(wěn)定格式有條件穩(wěn)定64/573.2.5差分格式的穩(wěn)定性分析方法4.波動方程差分方程迎風格式把代入格式恒不穩(wěn)定格式有條件穩(wěn)定65/573.3差分方程數(shù)值特點3.3.1差分方程模型方程3.3.2數(shù)值耗散與色散3.4常見的差分格式66/573.3.1差分方程模型方程定義：差分方程所準確逼近的微分方程（即截斷誤差為零）修正方程是差分方程的微分表達式;修正方程與原方程之差是截斷誤差;對差分方程穩(wěn)定性分析有幫助,截斷誤差中，偶次導(dǎo)數(shù)項稱為耗散誤差項，奇次導(dǎo)數(shù)項稱為色散誤差項67/572、推導(dǎo)過程（2）其有如下差分方程：（3）將和按

Tailer級數(shù)展開代入上式有：（4）計算修正方程中對高階導(dǎo)數(shù)項（5）消去修正方程中高階導(dǎo)數(shù)項，得只包含對自變量的各階導(dǎo)3.3.1差分方程模型方程（1）考慮波動方程：68/573、修正方程性質(zhì)分析：修正方程是差分方程的微分表達式，對差分方程穩(wěn)定性分析有幫助修正方程與原方程之差是截斷誤差截斷誤差中，偶次導(dǎo)數(shù)項稱為耗散誤差項，奇次導(dǎo)數(shù)項稱為色散誤差項截斷誤差中，最低階為偶次，則耗散誤差占主導(dǎo)，最低階為奇次，則色散誤差占主導(dǎo)。截斷誤差中偶次導(dǎo)數(shù)項又稱為差分粘性項，或者隱式人工粘性項，相對于直接加入到差分方程中的人工粘性項稱為顯式人工粘性項。3.3.1差分方程模型方程69/573.3.2數(shù)值耗散與色散1、修正方程通式：2、誤差分析：滿足修正方程，則則方程解析解為：設(shè)誤差分布函數(shù)70/57修正方程中，右邊偶數(shù)項影響振幅，稱為數(shù)值解的耗散效應(yīng)修正方程中，右邊奇數(shù)項影響頻率與相位，稱為數(shù)值解的色散效應(yīng)則誤差增長的增幅隨時間增大而減小，格式穩(wěn)定則誤差增長的增幅隨時間增大而增大，格式不穩(wěn)定則誤差不減少，頻率與相位出現(xiàn)變化，導(dǎo)致數(shù)值結(jié)果出現(xiàn)鋸齒型高頻振動，中性穩(wěn)定，計算也會失敗。4、與穩(wěn)定性的關(guān)系5、實用的穩(wěn)定性判據(jù)3.3.2數(shù)值耗散與色散3、方程性質(zhì)分析71/573.4常見的差分格式1、模型方程離散格式穩(wěn)定性條件（1）顯式一階迎風格式穩(wěn)定性條件：格式精度：72/573.4常見的差分格式（2）Lax格式穩(wěn)定性條件：格式精度：1、模型方程離散格式穩(wěn)定性條件73/573.4常見的差分格式（3）Lax-Wendroff格式

穩(wěn)定性條件：格式精度：1、模型方程離散格式穩(wěn)定性條件74/573.4常見的差分格式（4）LeapFrog格式穩(wěn)定性條件：

格式精度：1、模型方程離散格式穩(wěn)定性條件75/573.4常見的差分格式（5）兩步Lax-Wendroff格式

穩(wěn)定性條件：格式精度：1、模型方程