遼寧省鐵嶺市西豐縣第二高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題

西豐二高2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期初考試高二數(shù)學(xué)試卷考試須知：1．考試分選擇題,非選擇題兩部分2.答題前考生務(wù)必將電子標(biāo)識(shí)簽粘貼好.3.請將各題答案使用2B鉛筆統(tǒng)一涂在答題卡上.4.用中性黑色簽字筆作答.一、單選題1．已知兩直線和，若，則（

）A． B．8 C． D．22．經(jīng)過點(diǎn)的直線斜率為，則實(shí)數(shù)等于（

）A． B．1 C． D．3．已知直線過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．4．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C． D．5．已知直線3x?y+1=0的傾斜角為α，則A． B．C．? D．6．與點(diǎn)之間的距離為2，且在軸上的截距為4的直線是（

）A． B．C．或 D．或7．點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，，則的最大值是（

）A． B． C．3 D．48．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，，則（

）A．直線與線段有公共點(diǎn)B．直線的傾斜角大于C．的邊上的高所在直線的方程為D．的邊上的中垂線所在直線的方程為10．已知曲線:，則（

）A．曲線圍成圖形面積為B．曲線的長度為C．曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為2D．曲線上任意兩點(diǎn)間最大距離11．直四棱柱的所有棱長都為，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）

A．點(diǎn)的軌跡的長度為B．直線與平面所成的角為定值C．點(diǎn)到平面的距離的最小值為D．的最小值為-2三、填空題12．過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為13．求經(jīng)過點(diǎn)且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為.四、解答題15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是．(1)求BC邊上的中線所在直線的方程；(2)求的面積；(3)若直線過點(diǎn)，且點(diǎn)A，B到直線的距離相等，求直線的方程．16．的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是；(1)的外接圓方程；(2)若線段MN的端點(diǎn)N的坐標(biāo)為，端點(diǎn)M在△ABC的外接圓的圓上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．17．如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，．(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．18．如圖，已知平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，，且．將此平面四邊形沿折成直二面角，連接，設(shè)中點(diǎn)為．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．（3）求直線與平面所成角的正弦值．

已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：題號(hào)12345678910答案ACCCACAAABCABD題號(hào)11答案ABD1．A【分析】依據(jù)當(dāng)兩直線平行時(shí)有計(jì)算出的值即可得解.【詳解】由題可知，.故選：A.2．C【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)求斜率列式求參即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，所以斜率可得.故選：C.3．C【分析】由方向向量得到直線斜率，再用點(diǎn)斜式計(jì)算即可.【詳解】由題可得．又直線過點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式方程得．故選：C.4．C【分析】由兩直線垂直的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C5．A【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等變換，求出要求式子的值．【詳解】直線3x-y+1=0的傾斜角為α，∴tanα=3，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率，三角恒等變換，屬于中檔題．6．C【分析】結(jié)合各選項(xiàng)中直線解析式，應(yīng)用點(diǎn)線距、直線與軸交點(diǎn)即可得到正確選項(xiàng).【詳解】與的距離為2，在軸上的截距為4，故符合要求；對于直線，有且時(shí)，故也符合要求；與的距離為3且軸無交點(diǎn)，不符合要求.∴、都是與點(diǎn)距離為2且在軸上的截距為4的直線.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)線距離公式及直線的截距，屬于簡單題.7．A【分析】作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)距離公式求解即可.【詳解】設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，即故,,當(dāng)且僅當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：A8．A【分析】利用，計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】由圓，可得圓心，半徑，又A-2,0，所以所以，因?yàn)?，所?故選：A.9．ABC判斷A的真；求直線的斜率，根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系判斷B的真假；根據(jù)兩直線垂直，斜率之積等于，求出高的斜率，利用點(diǎn)斜式可求邊上的高所在的直線方程，判斷C的真假；同理可得線段的中垂線的方程，判斷D的真假.【詳解】對A對B：因?yàn)橹本€的斜率為：，所以直線的傾斜角大于，故B正確；對C：因?yàn)?，所以邊的高所在直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得的邊上的高所在直線的方程為，即，故C正確；對D：因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的中垂線所在直線的方程為，即，故D錯(cuò)誤；故選：BC10．ABD【分析】通過分類討論去掉絕對值后，可畫出曲線圖形，由圖可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線；當(dāng)時(shí)，曲線；當(dāng)時(shí)，曲線；當(dāng)時(shí)，曲線；當(dāng)時(shí)，曲線為原點(diǎn).畫出曲線的圖形，如圖所示.對于A，曲線圍成的面積可分割為一個(gè)邊長為的正方形和四個(gè)半徑為的半圓，故面積為，故A正確；對于B，曲線由四個(gè)半徑為的半圓組成，故周長為，故B正確；對于C，如圖所示，因?yàn)樵c(diǎn)在曲線上，所以最小值為0，故C錯(cuò)誤；對于D，如圖所示，曲線上任意兩點(diǎn)的連線過圓心及原點(diǎn)時(shí)，距離最大，最大為.故D正確.故選：ABD.11．ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示，化簡得到點(diǎn)的軌跡方程，從而得到點(diǎn)的軌跡的長度，判斷A；用空間向量表示直線與平面所成的角，從而證明為定值,判斷B；用空間向量表示點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合的軌跡，得最小值，判斷C；用空間向量表示，結(jié)合的軌跡，得最小值，判斷D.【詳解】

取交點(diǎn)于點(diǎn)，因?yàn)橹彼睦庵乃欣忾L都為，所以，以所在直線為軸，過點(diǎn)豎直向上所直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以A3,0,0，對于A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，所以，，又因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為在平面，以為圓心，半徑為1的半圓弧，所以軌跡長度為，故A正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)槊娴姆ㄏ蛄繛?，，所以設(shè)直線與平面所成的角為，則有，又因?yàn)?，所以，所以直線與平面所成的角為定值，故B正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有，又因?yàn)?，所以時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，，，，，，所以的幾何意義為點(diǎn)到0,2距離的平方減3，所以的最小值為，故D正確，故選：ABD.12．或【分析】根據(jù)兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，先設(shè)直線方程，再根據(jù)點(diǎn)在線上求參即可得出直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零所以設(shè)直線方程為或,再因?yàn)橹本€過點(diǎn)可得，,可得.所以直線方程為或.故答案為：或.13．【分析】分析出圓心在直線上，再結(jié)合其在上，最后得到圓心坐標(biāo)即可得到答案.【詳解】若經(jīng)過點(diǎn)，，則圓心在直線上，又在直線l：上，令，則，故圓心坐標(biāo)為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14．【分析】將轉(zhuǎn)化為上的點(diǎn)和構(gòu)成的直線的斜率，然后求斜率即可.【詳解】

可以看成上的點(diǎn)和構(gòu)成的直線的斜率，在中令得，令則，設(shè)，，則，，所以的范圍為.故答案為：.15．(1)；(2)(3)或．【分析】（1）求出線段中點(diǎn)，由兩點(diǎn)得直線方程；（2）求出到直線的距離，線段的長，再由面積公式計(jì)算；（3）點(diǎn)A，B到直線的距離相等，則直線過線段的中點(diǎn)或與直線平行，分類求解即可．【詳解】（1）由已知邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的方程為，化簡得；（2）直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，又，所以的面積為；（3）點(diǎn)A，B到直線的距離相等，則直線過線段的中點(diǎn)或與直線平行，若直線過線段的中點(diǎn)，由已知線段的中點(diǎn)為，直線方程為，化簡得，直線與直線平行，則方程為，化簡得，所以直線的方程為或．16．(1)(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法可求圓的方程；（2）定義代入法求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．【詳解】（1）設(shè)△ABC的外接圓方程為.把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圓的方程得:解此方程組，得.∴△ABC的外接圓方程是（2）設(shè)點(diǎn)，，∵點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，∴.∵點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)，∴.即，整理得：.所以，點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.17．(1)見解析(2)【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可證明;(2)建系,利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求解.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面,平面,所以，又由題可知，，,平面且,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建系如圖，由，，可得，則有設(shè)平面的一個(gè)方向量為,所以即令則，所以因?yàn)槠矫?所以為平面的一個(gè)法向量，所以,,即二面角的余弦值等于.18．（1）證明見解析；（2）點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)，即；（3）.【分析】（1）分別證明，，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；（2）先以為原點(diǎn)，分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，利用平面得，據(jù)此可解出；（3）由（2）得為平面的法向量，，，記直線與平面所成角為，根據(jù)直線與面的夾角正弦正好等于直線與面的法向量的夾角余弦的絕對值，則知，故只需計(jì)算即可求解.【詳解】解：（1）直二面角的平面角為，又，則平面，所以．又在平面四邊形中，，，，故,則，所以，而，故平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）的分析易知，，則以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

結(jié)合已知可得，，，，則中點(diǎn).平面，，故可設(shè)，則，平面，，又，所以，解得，即，故點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)，即.（3）由（2）得是平面的一個(gè)法向量，又，則得，記直線與平面所成角為，則，故所求角的正弦值為.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾