第04講平行線中的“拐點”問題突破技巧(原卷版+解析)-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊常考點(數(shù)學(xué)思想+解題技巧+專項突破+精準(zhǔn)提升)

第04講平行線中的“拐點”問題突破技巧（原卷版）專題典例剖析+針對訓(xùn)練類型一過拐點作平行線——“M”型圖形研究（1）基本型“M”型及變式運用典例1如圖，已知：AB∥CD，試說明：∠B＋∠D＋∠BED＝360°．典例2（2019?菏澤）如圖，AD∥CE，∠ABC＝100°，則∠2﹣∠1的度數(shù)是．針對練習(xí)11．（2019?荊州）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點分別落在直線m，n上，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°2．(2021?徐州期中)如圖，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，則∠BCD＝°．“M”型套“M”型典例2如圖，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=15∠EAB，∠ECF=15∠ECD，則∠針對練習(xí)23．如圖，AB∥CD，BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，試問∠M與∠N之間的數(shù)量關(guān)系如何？請說明理由．“M”型疊“M”型典例3（2019春?老河口市期中）如圖，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，則∠A+∠C的度數(shù)為35°．針對訓(xùn)練34．如圖，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度數(shù)為．

類型二過拐點作平行線——“鉤”型圖形研究典例4（2020春?硚口區(qū)期末）已知AB∥CD（1）如圖1，求證：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°（2）如圖2，∠DCE的平分線CG的反向延長線交∠ABE的平分線BF于F①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，則∠BEC＝°．針對練習(xí)45．如圖，AB∥CD，點E在AB與CD的上方，請你探索∠1，∠2，∠E三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．（2021春?揭陽期末）已知AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．（溫馨提示：本題可能用到知識點：三角形三角和為180°）（1）如圖1，若∠A＝40°，求∠C的度數(shù)；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，說明：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在射線DM上，連結(jié)BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．

類型三過拐點作平行線——“C”型圖形研究典例5（1）如圖①，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2＝；如圖②，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3＝，請你說明理由；（2）如圖③，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于點F，∠E＝140°，求∠BFD的度數(shù)．

典例6（2019春?越城區(qū)期末）如圖為一臺燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行，燈腳AB始終和桌面FG垂直，（1）當(dāng)∠EDC＝∠DCB＝120°時，求∠CBA；（2）連桿BC、CD可以繞著B、C和D進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，燈頭E始終在D左側(cè)，設(shè)∠EDC，∠DCB，∠CBA的度數(shù)分別為α，β，γ，請畫出示意圖，并直接寫出示意圖中α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系．針對訓(xùn)練57．已知AB∥DE. （1）如圖①，點C是夾在AB和DE之間的一點，當(dāng)AC⊥CD時，垂足為點C，你知道∠A＋∠D是多少嗎？ （2）如圖②，點C1，C2是夾在AB和DE之間的兩點，請想一想：∠A＋∠C1＋∠C2＋∠D的度數(shù)為______； （3）如圖③，隨著AB與DE之間點的增加，那么∠A＋∠C1＋∠C2＋…＋∠Cn－1＋∠D的度數(shù)為________．(不必說明理由)

類型四幾種基本圖形的組合典例7(2021?金壇區(qū)期末)將一根鐵絲AF按如下步驟彎折：第一步，在點B，C處彎折得到圖1的形狀，其中AB∥CF；第二步，將CF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，在點D，E處彎折，得到圖2的形狀，其中AB∥EF．解答下列問題：（1）如圖①，若∠C＝3∠B，求∠B的度數(shù)；（2）如圖②，求證：∠B＋∠C＝∠D＋∠E；（3）將另一根鐵絲彎折成∠G，如圖③擺放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接寫出∠G的度數(shù)．針對訓(xùn)練68．如圖①，已知AB∥CD，點E在直線AB，CD之間． （1）求證：∠AEC＝∠BAE＋∠ECD． （2）若AH平分∠BAE，將線段CE沿CD平移至FG. ①如圖②，若∠AEC＝90°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)； ②如圖③，若FH平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練1．把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置，如果∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．10° C．20° D．15°第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖2．如圖，已知直線a∥b，則∠1、∠2、∠3的關(guān)系是（）A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°3．如圖AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，則∠C的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．75° D．70°4．(2021?鼓樓區(qū)校級期中)如圖，已知直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．5．如圖，已知平面內(nèi)有兩條直線AB，CD，且AB∥CD，P為一動點．（1）當(dāng)點P移動到AB，CD之間時，如圖①，這時∠P與∠A，∠C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點P移動到圖②、圖③的位置時，∠P，∠A，∠C又有怎樣的關(guān)系？請分別寫出你的結(jié)論．

6．（2020春?潼南區(qū)期末）已知：點A、C、B不在同一條直線上，AD∥BE．（1）如圖①，當(dāng)∠A＝48°，∠B＝108°時，求∠C的度數(shù)；（2）如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究∠BCF與∠AQB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接寫出∠ACB：∠DAC：∠CBE的值．7．（2021春?肥東縣期末）（1）如圖1，已知點A是BC上方的一點，連接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面的求解過程，解：過點A畫ED∥BC．根據(jù)“”，可以得到∠B＝，∠C＝∠DAC．而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)（提示：過點C畫CF∥AB）．（3）如圖3，AB∥EF，BC⊥DC于點C，設(shè)∠B＝x，∠D＝y(tǒng)，∠E＝z，請用一個含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之間的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果）

8．（2021春?渝北區(qū)期末）已知，AB∥CD．直線MN分別與AB，CD交于點E．F．（1）如圖1．∠AEF和∠EFC的角平分線交于點G，∠AEG的角平分線EH與∠CFG的角平分線FH交于點H．①填空：∠G＝°．②求出∠EHF的度數(shù)；（2）如圖2，∠AEF和∠EFC的角平分線交于點G．點H、K在直線AB、CD之間，且滿足∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n為常數(shù)且m＞1，n＞1），請用m，n的代數(shù)式直接表示∠EKF與∠EHF的數(shù)量關(guān)系．第04講平行線中的“拐點”問題突破技巧專題詮釋：對于平行線中的“拐點”問題，結(jié)合已知條件和圖形，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可建立起已知和未知間的“橋梁”，使一些問題由難變易，迎刃而解，本章中添加的輔助線多是作某些直線的平行線，以創(chuàng)造角之間的相等或互補關(guān)系，為題目的解決提供更多的條件．專題典例剖析+針對訓(xùn)練類型一過拐點作平行線——“M”型圖形研究（1）基本型“M”型及變式運用 典例1如圖，已知：AB∥CD，試說明：∠B＋∠D＋∠BED＝360°． 【解法1】如圖5-14，過點E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＋∠D＝180°， ∵EF∥AB，∴∠1＋∠B＝180°，∴∠1＋∠B＋∠2＋∠D＝360°．∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°．【解法2】如圖5-15，過點E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＝∠D， ∵EF∥AB，∴∠1＝∠B，∵∠1＋∠2＋∠BED＝360°．∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°．點睛：本題還有其它解法，如連結(jié)BD、延長DE交AB的延長線與點F等，這些方法需要用到后面所要學(xué)習(xí)的三角形內(nèi)角和定理，不是本章所學(xué)的內(nèi)容．典例2（2019?菏澤）如圖，AD∥CE，∠ABC＝100°，則∠2﹣∠1的度數(shù)是．思路引領(lǐng)：直接作出BF∥AD，再利用平行線的性質(zhì)分析得出答案．解：作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝100°，∴∠1+∠4＝100°，∠2+∠4＝180°，∴∠2﹣∠1＝80°．故答案為：80°．點睛：此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出∠1+∠4＝100°，∠2+∠4＝180°是解題關(guān)鍵．此題也可以連接AB用三角形內(nèi)角和180°來做，針對練習(xí)11．（2019?荊州）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點分別落在直線m，n上，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°解：∵直線m∥n，∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC＝180°，∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣30°﹣90°﹣40°＝20°，故選：B．點睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2021?徐州期中)如圖，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，則∠BCD＝°．答案：90“M”型套“M”型典例2如圖，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=15∠EAB，∠ECF=15∠ECD，則∠思路引領(lǐng)：過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得出∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD，∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD，由，∠EAF=15∠EAB，∠ECF=15∠ECD可得出∠EAB，∠ECD，結(jié)合∠AEC＝∠AEM+∠CEM可得出∠AEC，代入∠解：過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，如圖所示．∵EM∥AB，AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD．同理，可得：∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD．又∵∠EAF=15∠EAB，∠ECF=1∴∠FAB=45∠EAB，∠FCD=4∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD=54∠AFC故答案為：150°．點睛：同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角是研究兩條平行線的重要工具，如果圖中沒有這三種角，可通過做輔助線，構(gòu)造出這些角．針對練習(xí)23．如圖，AB∥CD，BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，試問∠M與∠N之間的數(shù)量關(guān)系如何？請說明理由．思路導(dǎo)引：過點M作ME∥AB，由于AB∥CD，可證ME∥CD，容易證明∠BME＝∠ABM，∠DME＝∠MDC，即∠BMD＝∠ABM＋∠CDM，同樣道理：∠N＝∠ABN＋∠CDN，要尋找∠BMD與∠N的關(guān)系，我們只需尋找∠ABM＋∠CDM與∠ABN＋∠CDN的關(guān)系即可．答：∠M＝2∠N理由：先證明∠M＝∠ABM＋∠CDM，∠N＝∠ABN＋∠CDN∵BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN∴∠ABM＋∠CDM＝2∠CDN＋2∠ABN∴∠M＝2∠N點睛：本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．“M”型疊“M”型典例3（2019春?老河口市期中）如圖，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，則∠A+∠C的度數(shù)為35°．思路引領(lǐng)：延長AE，CG，交于點H，過H作HP∥AB，依據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可得到∠A+∠C的度數(shù)．解：如圖所示，延長AE，CG，交于點H，過H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠A＝∠AHP，∠C＝∠CHP，∴∠A+∠C＝∠AHC，∵∠F＝∠CGF＝30°，∴EF∥CH，∴∠AHC＝∠AEF＝35°，∴∠A+∠C＝35°，故答案為：35°．點睛：本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．針對訓(xùn)練34．如圖，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度數(shù)為．解：如圖所示，延長AE，DG交于點Q，由題可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），又∵∠AEF+∠DGF＝∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）＝∠B+∠C+∠H＝360°，故答案為：360°．類型二過拐點作平行線——“鉤”型圖形研究典例4（2020春?硚口區(qū)期末）已知AB∥CD（1）如圖1，求證：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°（2）如圖2，∠DCE的平分線CG的反向延長線交∠ABE的平分線BF于F①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，則∠BEC＝°．思路引領(lǐng)：（1）過E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，進(jìn)而可證明結(jié)論；（2）①易求∠ABE＝52°，根據(jù)（1）的結(jié)論可求解∠DCE＝154°，根據(jù)角平分線的定義可得∠DCG＝77°，過點F作FN∥AB，結(jié)合平行線的性質(zhì)利用∠BFC＝∠BFN+∠NFC可求解；②根據(jù)平行線的性質(zhì)即角平分線的定義可求解∠BFC＝∠FCE＝180°﹣∠ECG＝180°﹣（90°?12∠BEC）＝90°+12∠BEC，設(shè)∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠DCE＝（1）證明：如圖1，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴DC∥EF，∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，∴∠C+∠B﹣∠BEC＝180°，即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）解：①∵FB∥CE，∴∠FBE＝∠BEC＝26°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，∵CG平分∠ECD，∴∠DCG＝77°，過點F作FN∥AB，如圖2，∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°，②∵BF平分∠ABE，CG平分∠DCE，設(shè)∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠由（1）可知，∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°，∴2x+2y﹣∠BEC＝180°，由（2）可知，∠BFC＝∠ABF+∠DCG，∴∠BFC＝x+y，∵∠BFC﹣∠BEC＝74°，∴x+y＝74°+∠BEC，∴2（74°+∠BEC）﹣∠BEC＝180°解得∠BEC＝32°．故答案為32°．點睛：本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．針對練習(xí)45．如圖，AB∥CD，點E在AB與CD的上方，請你探索∠1，∠2，∠E三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解：∠1＋∠2－∠E＝180°.理由如下：如答圖，過點E作EF∥AB，則∠AEF＋∠1＝180°.∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠2，即∠CEA＋∠AEF＝∠2，∴∠AEF＝∠2－∠CEA，∴∠2－∠CEA＋∠1＝180°，即∠1＋∠2－∠AEC＝180°.6．（2021春?揭陽期末）已知AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．（溫馨提示：本題可能用到知識點：三角形三角和為180°）（1）如圖1，若∠A＝40°，求∠C的度數(shù)；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，說明：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在射線DM上，連結(jié)BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．解：（1）如圖1，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∠ADB＝180°﹣90°﹣∠A＝50°，∵AM∥CN，∴∠C＝∠ADB＝50°；（2）如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG＝90°，∴∠ABD+∠ABG＝90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設(shè)∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°得：2α+β+3α+3α+β＝180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2a＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．類型三過拐點作平行線——“C”型圖形研究典例5（1）如圖①，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2＝；如圖②，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3＝，請你說明理由；（2）如圖③，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于點F，∠E＝140°，求∠BFD的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到結(jié)論；（2）過A2作PA2∥MA1，過A3作QA3∥MA1，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；（3）過F作FG∥AB，則AB∥CD∥FG，根據(jù)（1）中的結(jié)論以及角平分線的定義，即可得到∠BFD=12（∠ABE+∠解：（1）如圖①，根據(jù)MA1∥NA2，可得∠A1+∠A2＝180°，如圖②，過A2作PA2∥MA1，∵M(jìn)A1∥NA3，∴PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠A3+∠A3A2P＝180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝360°；故答案為：180°，360°；（2）如圖③，過A2作PA2∥MA1，過A3作QA3∥MA1，∵M(jìn)A1∥NA3，∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠QA3A2+∠A3A2P＝180°，∠A4+∠A4A3Q＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；故答案為：540°；（3）如圖④，過F作FG∥AB，則AB∥CD∥FG，∴∠BFG＝∠ABF，∠GFD＝∠CDF，∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于點F，∴∠BFD=12（∠ABE+∠又∵∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∠E＝140°，∴∠ABE+∠CDE＝220°，∴∠BFD＝110°．點睛：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．解決問題的關(guān)鍵是作平行線，構(gòu)造同旁內(nèi)角．典例6（2019春?越城區(qū)期末）如圖為一臺燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行，燈腳AB始終和桌面FG垂直，（1）當(dāng)∠EDC＝∠DCB＝120°時，求∠CBA；（2）連桿BC、CD可以繞著B、C和D進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，燈頭E始終在D左側(cè)，設(shè)∠EDC，∠DCB，∠CBA的度數(shù)分別為α，β，γ，請畫出示意圖，并直接寫出示意圖中α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系．思路引領(lǐng)：（1）過C作CP∥DE，延長CB交FG于H，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠CHA＝∠PCH＝60°，依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠CBA的度數(shù)；（2）分四種情況討論，分別過C作CM∥DE，過B作BN∥FG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系．解：（1）如圖，過C作CP∥DE，延長CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°，∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°，∴∠CHA＝∠PCH＝60°，又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，∴∠CBA＝60°+90°＝150°，（2）分四種情況：①如圖所示，過C作CP∥DE，延長CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴∠D+∠PCD＝180°，∠FHC+∠PCH＝180°，∴∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，∴∠AHB＝∠ABC﹣90°，∴∠FHC＝180°﹣（∠ABC﹣90°）＝270°﹣∠ABC，∴∠D+∠DCH+270°﹣∠ABC＝360°，即∠D+∠DCB﹣∠ABC＝90°．即α+β﹣γ＝90°．②如圖所示，過C作CM∥DE，過B作BN∥FG，則∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，∵DE∥FG，∴CM∥BN，∴∠BCM+∠CBN＝180°，即∠BCD﹣∠DCM+∠ABC﹣∠ABN＝180°，∴β﹣α+γ﹣90°＝180°，即β﹣α+γ＝270°；③如圖所示，過C作CM∥DE，過B作BN∥FG，易得∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，CM∥BN，∴∠BCM＝∠CBN，即∠BCD﹣∠DCM＝∠ABC﹣∠ABN，∴β﹣α＝γ﹣90°，∴α﹣β+γ＝90°；④如圖所示，過C作CM∥DE，過B作BN∥FG，易得∠D+∠DCM＝180°，∠ABN+∠BAF＝180°，∠BCM+∠CBN＝180°，∴∠D+∠BCD+∠ABC+∠FAB＝540°，即α+β+γ+90°＝540°，∴α+β+γ＝450°．點睛：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．針對訓(xùn)練57．已知AB∥DE. （1）如圖①，點C是夾在AB和DE之間的一點，當(dāng)AC⊥CD時，垂足為點C，你知道∠A＋∠D是多少嗎？ （2）如圖②，點C1，C2是夾在AB和DE之間的兩點，請想一想：∠A＋∠C1＋∠C2＋∠D的度數(shù)為________； （3）如圖③，隨著AB與DE之間點的增加，那么∠A＋∠C1＋∠C2＋…＋∠Cn－1＋∠D的度數(shù)為________．(不必說明理由)解：（1）如答圖，過點C作AB的平行線CF.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠A＋∠ACF＝180°，∠DCF＋∠D＝180°，∴∠A＋∠ACD＋∠D＝180°×2＝360°.又∵AC⊥CD，∴∠A＋∠D＝360°－90°＝270°. （2）540°（3）(180n)°類型四幾種基本圖形的組合典例7(2021?金壇區(qū)期末)將一根鐵絲AF按如下步驟彎折：第一步，在點B，C處彎折得到圖1的形狀，其中AB∥CF；第二步，將CF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，在點D，E處彎折，得到圖2的形狀，其中AB∥EF．解答下列問題：（1）如圖①，若∠C＝3∠B，求∠B的度數(shù)；（2）如圖②，求證：∠B＋∠C＝∠D＋∠E；（3）將另一根鐵絲彎折成∠G，如圖③擺放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接寫出∠G的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)AB∥CF，得∠B+∠C=180°，則4∠B=180°即可求出答案；

（2）分別過點D，C作DN∥AB，CM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得結(jié)論；

（3）由（2）知：∠ABC+∠C=∠E+∠CDE，則∠ABC-∠CDE=130°-88°=42°，從而∠CBG-∠CDG=14°，從而求出答案．解：（1）∵AB∥CF，∴∠B＋∠C＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)，∵∠C＝3∠B，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，（2）證明：分別過點D，C作DN∥AB，CM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥DN∥CM∥EF(同平行于一條直線的兩直線平行)，∵AB∥CM，∴∠B＋∠BCM＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)，同理，∠E＋∠NDE＝180°，∵DN∥CM，∴∠NDC＝∠MCD(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，∴∠B＋∠BCD＝∠E＋∠CDE．第7題答圖 （3）由（2）知：∠ABC＋∠C＝∠E＋∠CDE，∴∠ABC＋88°＝130°＋∠CDE，∴∠ABC－∠CDE＝130°－88°＝42°，∴3∠CBG－3∠CDG＝42°，∴∠CBG－∠CDG＝14°，又∵∠CBG＋∠C＝∠CDG＋∠G，∴∠CBG－∠CDG＝∠G－∠C＝14°，∴∠G＝∠C＋14°＝102°．針對訓(xùn)練68．如圖①，已知AB∥CD，點E在直線AB，CD之間． （1）求證：∠AEC＝∠BAE＋∠ECD． （2）若AH平分∠BAE，將線段CE沿CD平移至FG. ①如圖②，若∠AEC＝90°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)； ②如圖③，若FH平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（1）證明：如答圖①，過點E作直線EN∥AB．答圖①∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠CEN，∴∠AEC＝∠AEN＋∠CEN＝∠BAE＋∠ECD． （2）解：∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH. ①∵FH平分∠DFG，設(shè)∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x.又∵∠AEC＝∠BAE＋∠ECD，∠AEC＝90°，∴∠BAH＝∠EAH＝45°－x.如答圖②，過點H作l∥AB，答圖②易證∠AHF＝∠BAH＋∠DFH＝45°－x＋x＝45°. ②設(shè)∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y(tǒng).∵FH平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°－x.由（1）知∠AEC＝∠BAE＋∠ECD＝2x＋2y.如答圖③，過點H作l∥AB，答圖③易證∠AHF－y＋∠CFH＝180°，即∠AHF－y＋90°－x＝180°，∠AHF＝90°＋(x＋y)，∴∠AHF＝90°＋eq\f(1,2)∠AEC(或2∠AHF－∠AEC＝180°)．第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練1．把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置，如果∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．10° C．20° D．15°解：∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，∴∠2＝45°﹣∠1＝10°．故選：B．2．如圖，已知直線a∥b，則∠1、∠2、∠3的關(guān)系是（）A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°解：如圖，過A作AB∥a，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠1+∠BAD＝180°，∠2＝∠BAC＝∠3+∠BAD，∴∠BAD＝∠2﹣∠3，∴∠1+∠2﹣∠3＝180°，故選：B．3．如圖AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，則∠C的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．75° D．70°解：∵AB∥CD，∴∠A+∠AFD＝180°，∵∠A＝110°，∴∠AFD＝70°，∴∠CFE＝∠AFD＝70°，∵∠E＝40°，∴∠C＝180°﹣∠E﹣∠CFE＝180°﹣40°﹣70°＝70°，故選：D．4．(2021?鼓樓區(qū)校級期中)如圖，已知直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．答案：17°5．如圖，已知平面內(nèi)有兩條直線AB，CD，且AB∥CD，P為一動點．（1）當(dāng)點P移動到AB，CD之間時，如圖①，這時∠P與∠A，∠C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點P移動到圖②、圖③的位置時，∠P，∠A，∠C又有怎樣的關(guān)系？請分別寫出你的結(jié)論．解：（1）∠APC＝∠A＋∠C．證明如下：如答圖①，過點P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠A＋∠C． （2）如答圖②，∠APC＋∠A＋∠C＝360°.理由如下：過點P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°，∴∠APC＋∠A＋∠C＝360°.如答圖③，∠APC＝∠C－∠A．理由如下：過點P作PE∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠C＝∠CPE，∠A＝∠APE，∴∠APC＝∠CPE－∠APE＝∠C－∠A．6．（2020春?潼南區(qū)期末）已知：點A、C、B不在同一條直線上，AD∥BE．（1）如圖①，當(dāng)∠A＝48°，∠B＝108°時，求∠C的度數(shù)；（2）如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究∠BCF與∠AQB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接寫出∠ACB：∠DAC：∠CBE的值．解：（1）如圖1，過C點作CF∥AD，則CF∥BE，∴∠ACH＝∠A，∠BCH＝180°﹣∠B，∵∠A＝48°，∠B＝108°，∴∠ACB＝∠ACH+∠BCH＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°；（2）如圖2，過Q作QM∥AD，則QM∥BE，∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ，∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD=12∠CAD，∠EBQ=1∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM=12（∠CBE﹣∠∵∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠BCF＝2∠AQB；（3）∵AC∥QB，∴∠AQB＝∠CAP=12∠CAD，∠ACP＝∠PBQ=1∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°?12∠∵2∠AQB+∠ACB＝180°，∴∠CAD=12∠∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，∴∠CAD＝60°，∠CBE