江蘇省徐州市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期春季聯(lián)考試題含解析

PAGE26-江蘇省徐州市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期春季聯(lián)考試題（含解析）留意事項(xiàng)：考生在答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀本留意事項(xiàng)及各題答題要求1.本試卷共4頁(yè)，包含填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分.本卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.作答試題必需用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其它位置作答一律無(wú)效.如需作圖，須用2B鉛筆繪圖、寫(xiě)清晰，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.1.設(shè)全集，集合，，則__．【答案】【解析】【分析】干脆依據(jù)交集和補(bǔ)集的定義求解，先求，再求．【詳解】解：∵全集，集合，∴，又，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.復(fù)數(shù)的虛部是____________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以該?fù)數(shù)的虛部是，應(yīng)填答案．3.某校為了解同三同學(xué)寒假期間學(xué)習(xí)狀況，抽查了100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間，繪成頻率分布直方圖（如圖），則這100名同學(xué)中學(xué)習(xí)時(shí)間在6到8小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為人．【答案】30【解析】【分析】本題主要考查的是頻率分布直方圖．由條件可知2(0.04+0.12+x+0.14+0.05)=1,所以x=0.15.所以這100名同學(xué)中學(xué)習(xí)時(shí)間在6到8小時(shí)內(nèi)的頻率為0.15（10-8）100=30．【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?.如圖是一個(gè)算法的流程圖，若輸入的的值為1，則輸出的的值為_(kāi)_____.【答案】73【解析】【分析】依據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)逐步計(jì)算即可.【詳解】輸入,.1.,推斷為“”,.2.,推斷為“”,.3.,推斷為“”.輸出.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)輸入數(shù)據(jù)計(jì)算循環(huán)框圖的輸出結(jié)果.屬于基礎(chǔ)題.5.某校有，兩個(gè)學(xué)生食堂，若，，三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)食堂用餐，則三人不在同一個(gè)食堂用餐的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】求出全部可能的狀況總數(shù),進(jìn)而求得在同一食堂用餐的概率,再利用對(duì)立事務(wù)的概率公式求解三人不在同一個(gè)食堂用餐的概率即可.【詳解】由題意可知,全部可能的狀況共有種,其中在同一食堂用餐的狀況有2種.故三人不在同一個(gè)食堂用餐的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型的問(wèn)題,須要依據(jù)題意求出全部可能的狀況,再求出對(duì)立事務(wù)的概率進(jìn)行計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.6.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)為5，則該正四棱錐的體積為_(kāi)_____.【答案】32【解析】【分析】連接底面對(duì)角線交于,再依據(jù)四棱錐的性質(zhì)求出高即可求得體積.【詳解】設(shè)正四棱錐為,連接交于,連接.易得平面.依據(jù)正四棱錐的性質(zhì)有,.故該正四棱錐的體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正四棱錐體積的計(jì)算,須要依據(jù)其中的直角三角形進(jìn)行高的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.7.若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)求解平移后的函數(shù)解析式,再依據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸的性質(zhì)求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后可得.由題關(guān)于軸對(duì)稱,故當(dāng)時(shí)，有,即.因?yàn)?，故?dāng)時(shí)有的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖像平移以及三角函數(shù)圖像性質(zhì)的問(wèn)題,須要依據(jù)題意代入對(duì)稱軸表達(dá)式進(jìn)行求解.屬于基礎(chǔ)題.8.已知為等差數(shù)列，其公差為2，且是與的等比中項(xiàng)，為前項(xiàng)和，則的值為_(kāi)_____.【答案】-110【解析】【分析】利用基本量法以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得首項(xiàng),再求解即可.【詳解】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng),故,即,即,化簡(jiǎn)得.又所以.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列中基本量的求解以及等比中項(xiàng)的運(yùn)用,同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和的公式.屬于中檔題.9.若雙曲線的一條漸近線與圓：相交于，兩點(diǎn)且，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)圓的半徑相等以及可求得圓心到漸近線的距離為,再利用點(diǎn)到線的距離公式列式求解的關(guān)系,再求解離心率即可.【詳解】因?yàn)?,故圓心到漸近線的距離為.不妨設(shè)漸近線方程為,即.故,即.所以.故,故雙曲線的離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及建立齊次式求解雙曲線離心率的問(wèn)題.屬于基礎(chǔ)題.10.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．【答案】；【解析】，即定義域?yàn)?1.已知，且，若，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】25【解析】【分析】由題意,再依據(jù)換元令,代入綻開(kāi)利用基本不等式求最小值即可.【詳解】由題,,設(shè)則..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法利用基本不等式求解最小值的問(wèn)題.須要依據(jù)題中所給的形式換元,結(jié)合基本不等式求最小值.屬于中檔題.12.在中，若，，，，則______.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可求得,建立平面直角坐標(biāo)系,依據(jù)求出的坐標(biāo),進(jìn)而求得即可.【詳解】由余弦定理可得,即,因?yàn)?故解得.過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線于,再以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸建立平面直角坐標(biāo)系.則,,.設(shè),因?yàn)?故,故,解得,即.故故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解向量數(shù)量積的問(wèn)題.須要依據(jù)題意建立合適的坐標(biāo)系,再依據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行向量坐標(biāo)的運(yùn)算.屬于中檔題.13.已知圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，若，則弦的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)為M，由可得，可得M在上，當(dāng)最小時(shí)，弦的長(zhǎng)才最大.【詳解】設(shè)為中點(diǎn)，，即，即，，.設(shè)，則，得.所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想，是一道有肯定難度的題.14.函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上有1515個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由已知，在上有3個(gè)根，分，，，四種狀況探討的單調(diào)性、最值即可得到答案.【詳解】由已知，的周期為4，且至多在上有4個(gè)根，而含505個(gè)周期，所以在上有3個(gè)根，設(shè)，，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，.若時(shí)，在上無(wú)根，在必有3個(gè)根，則，即，此時(shí)；若時(shí)，在上有1個(gè)根，留意到，此時(shí)在不行能有2個(gè)根，故不滿意；若時(shí)，要使在有2個(gè)根，只需，解得；若時(shí)，在上單調(diào)遞增，最多只有1個(gè)零點(diǎn)，不滿意題意；綜上，實(shí)數(shù)的范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，涉及到函數(shù)的周期性、分類探討函數(shù)的零點(diǎn)，是一道中檔題.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期.（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)依據(jù)平面對(duì)量的數(shù)量積公式以及降冪公式與協(xié)助角公式化簡(jiǎn)可得,進(jìn)而求得最小正周期.(2)代入可得,再依據(jù),利用三角函數(shù)和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】（1）,∴的最小正周期為.（2）∴,∵,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)恒等變換.同時(shí)也考查了依據(jù)三角函數(shù)值求三角函數(shù)值的問(wèn)題.屬于中檔題.16.如圖，在直三棱柱中，，是棱上的一點(diǎn).（1）求證：；（2）若，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)依據(jù)直三棱柱的性質(zhì)證明平面即可.(2)取的中點(diǎn)為,連接,,再證四邊形為平行四邊形即可.【詳解】（1）在直三棱柱中,平面,平面,∴,又∵,,平面,平面,∴平面,又∵平面,∴.（2）取的中點(diǎn)為,連接,,∵在中,、分別為、中點(diǎn),∴且,在直三棱柱中,∵且,為的中點(diǎn),∴且,∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴,又∵平面,平面,∴平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直以及線面平行證明.屬于基礎(chǔ)題.17.如圖，某居民區(qū)內(nèi)有始終角梯形區(qū)域，，，百米，百米.該區(qū)域內(nèi)原有道路，現(xiàn)新修一條直道（寬度忽視不計(jì)），點(diǎn)在道路上（異于，兩點(diǎn)），，.（1）用表示直道的長(zhǎng)度；（2）安排在區(qū)域內(nèi)修建健身廣場(chǎng)，在區(qū)域內(nèi)種植花草.已知修建健身廣場(chǎng)的成本為每平方百米4萬(wàn)元，種植花草的成本為每平方百米2萬(wàn)元，新建道路的成本為每百米4萬(wàn)元，求以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值（單位：萬(wàn)元）.【答案】（1），.（2）萬(wàn)元.【解析】【分析】(1)過(guò)點(diǎn)作垂直于線段,垂足為得到,再在中,由正弦定理求得即可.(2)在中,由正弦定理求得,進(jìn)而依據(jù)求出,再依據(jù)題意表達(dá)出總費(fèi)用,再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值即可.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作垂直于線段,垂足為.在直角中,因?yàn)?,,所以.在直角中,因?yàn)?,所以,則,故,又,所以.在中,由正弦定理得,所以,.（2）在中,由正弦定理得,所以.所以.又.所以.設(shè)三項(xiàng)費(fèi)用總和為,則,,所以,令,則.列表：-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以時(shí),.答：以上三項(xiàng)費(fèi)用總和的最小值為萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形在實(shí)際中的運(yùn)用,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際運(yùn)用中的最值問(wèn)題,須要依據(jù)題意確定函數(shù)與自變量的角度間的關(guān)系,再求導(dǎo)分析單調(diào)性以及最值等.屬于難題.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，設(shè)直線與圓相切與點(diǎn)，與橢圓相切于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，線段長(zhǎng)度最大？并求出最大值.【答案】（1）；（2）時(shí)，最大值為1.【解析】【分析】(1)利用基本量的關(guān)系列式求解即可.(2)設(shè)直線的方程為,依據(jù)直線與圓相切可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用相切則所得的二次方程判別式為0可得,再聯(lián)立可得.再依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合距離公式以及,在依據(jù)基本不等式求解最大值即可.【詳解】解：（1）由題,,故,解得.故橢圓方程為.（2）連接OA,OB，如圖所示：設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本€與圓：相切于,所以,即①,因?yàn)榕c橢圓：相切于點(diǎn),由得,即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解,則,即,②由①、②可得,設(shè),由求根公式得,∴,∴,∴在直角三角形中,,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即當(dāng)時(shí),取得最大值,最大值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓中基本量的求解,同時(shí)也考查了直線與圓和橢圓等相切時(shí)的方法.當(dāng)直線與圓相切時(shí)利用圓心到直線的距離等于半徑列式,當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)聯(lián)立方程依據(jù)判別式為0列式.屬于難題.19.已知函數(shù)和函數(shù).（1）若曲線在處的切線過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若不等式對(duì)于隨意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）2.【解析】【分析】(1)依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得,再求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)分子的根的存在狀況,進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)以及原函數(shù)的單調(diào)性.(3)令,再求導(dǎo)分析可得在上單調(diào)遞增,可得.再分與兩種狀況分析函數(shù)的單調(diào)性求解最小值即可.【詳解】解（1）∵,∴,又∵,曲線在處的切線方程為,∵切線過(guò)點(diǎn),∴,∴.（2）的定義域?yàn)?,則,令.（Ⅰ）當(dāng)即時(shí),∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：.（Ⅱ）當(dāng)即或時(shí),有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,,當(dāng)時(shí),,,∴,函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為,當(dāng)時(shí),,,令,則或,令,則,∴單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）令,則,記,則,所以在上單調(diào)遞增,故,當(dāng),,故在上單調(diào)遞增,所以,符合題意.當(dāng)時(shí),,故,又在上單調(diào)遞增,所以存在唯一的實(shí)數(shù),使得,列表如下：-0+微小值則當(dāng)時(shí),,這與恒成立沖突.綜上,實(shí)數(shù)的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)分析含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立的問(wèn)題.須要依據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)存在性以及大小關(guān)系,進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性以及最值.屬于難題.20.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前項(xiàng)和分別為，且，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出全部滿意條件的的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】【分析】（1）利用基本量法干脆計(jì)算即可；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算；（3），令可得，，探討即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，即，解得，或（舍去?所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因?yàn)槭菙?shù)列或中的一項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)椋?，又，則或.當(dāng)時(shí)，有，即，令.則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即.由，知無(wú)整數(shù)解.當(dāng)時(shí),有，即存在使得是數(shù)列中的第2項(xiàng)，故存在正整數(shù)，使得是數(shù)列中的項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列中的存在性問(wèn)題，是一道較為綜合的題.2025屆高三春季聯(lián)考數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）留意事項(xiàng)：考生在答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀本留意事項(xiàng)及各題答題要求：1.本試卷共2頁(yè)，均為非選擇題（第21題~第23題）.本卷滿分為40分.考試時(shí)間為30分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.作答試題必需用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其它位置作答一律無(wú)效.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清晰，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.21.【選做題】本題包括A，B，C三小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.【選修4-2：矩陣與變換】21.已知二階矩陣的特征值是所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.（1）求矩陣；（2）設(shè)曲線在變換矩陣作用下得到的曲線的方程為，求曲線的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)特征值與特征向量的性質(zhì)計(jì)算即可.(2)曲線上一點(diǎn)在矩陣的作用下的到點(diǎn),進(jìn)而求得,再代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：（1）由得,即,∴.（2）設(shè)曲線上一點(diǎn)在矩陣的作用下的到點(diǎn),則點(diǎn)在曲線上.∴,即,又∵,∴,整理得曲線的方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了特征值與特征向量的運(yùn)用,同時(shí)也考查了矩陣變換的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.B.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合.若直線的極坐標(biāo)方程為.（1）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）已知為橢圓：上一點(diǎn)，求到直線的距離的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)三角函數(shù)公式以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化求解即可.(2)設(shè),再求出點(diǎn)到線的距離表達(dá)式,利用三角函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】解：（1）直線的極坐標(biāo)方程,則,即,所以直線的直角坐標(biāo)方程為；（2）為橢圓：上一點(diǎn),設(shè),其中,則到直線的距離,∴當(dāng)時(shí),的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化,同時(shí)也考查了利用參數(shù)方程求解點(diǎn)到線的距離最值問(wèn)題.屬于中檔題.C.【選修4-5：不等式選講】23.已知實(shí)數(shù)滿意，求的最小值.【答案】【解析】【分析】由柯西不等式知：（x+y+z）2≤[（x）2+（y）2+z2]?[（）2+（）2+12]故2x2+3y2+z2，由此能求出2x2+3y2+z2的最小值．【詳解】由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤[（x）2+（y）2+z2]?[（）2+（）2+12]，故2x2+3y2+z2，當(dāng)且僅當(dāng)，即：x，y，z時(shí)，2x2+3y2+z2取得最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查柯西不等式的應(yīng)用，考查了等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.24.已知，是拋物線：上不同兩點(diǎn).（1）若拋物線的焦點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，且，求拋物線的方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與軸的正半軸交點(diǎn)，且，是否存在直線，使得？