江蘇省蘇州市實(shí)驗(yàn)初中集團(tuán)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期十月月考數(shù)學(xué)試卷

蘇州實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期陽光測評初二數(shù)學(xué)2024.10試卷分值：130分考試用時(shí)：120分鐘一．選擇題（共8小題，每小題3分）1．下列圖形是幾家電信公司的標(biāo)志，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列說法正確的是（）A．﹣81的平方根是﹣9 B．平方根等于它本身的數(shù)是1和0 C．的平方根是±9 D．立方根等于它本身的數(shù)是±1和03．如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE4．如圖，某市的三個(gè)城鎮(zhèn)中心A、B、C構(gòu)成△ABC，該市政府打算修建一個(gè)大型體育中心P，使得該體育中心到三個(gè)城鎮(zhèn)中心A、B、C的距離相等，則P點(diǎn)應(yīng)設(shè)計(jì)在（）三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn) B．三角形三條高的交點(diǎn) C．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)D．三角形三條中線的交點(diǎn)5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．a(chǎn)：b：c＝4：4：66．如圖，△ABC≌△A'BC'，過點(diǎn)C作CD⊥BC'，垂足為D，若∠ABA'＝55°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．45° D．55°7．已知∠AOB＝30°，在∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN的周長最小值為3，則OP的長為（）A．1.5 B．3 C． D．8．已知，如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，OC，以下四個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②△CPQ是等邊三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正確的結(jié)論是（）A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④二．填空題（共8小題，每小題3分）9．等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為11．則它的周長為．10．小明站在河岸邊看見水中的自己胸前球衣的號(hào)碼是，則實(shí)際的號(hào)碼為．11．已知|＝0，則x+y的平方根是．12．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”今譯：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落地，離竹子底端3尺處．折斷處離地面的高度是尺．（1丈＝10尺）13．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠1+∠2＝．14．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對角線AC的中點(diǎn)，連接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，則∠EDB的度數(shù)為度．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，MN垂直平分AB，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，在MN上有一點(diǎn)P，則PB+PD的最小值為．16．如圖，三角形紙片ABC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到△AED，DE與AC交于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面積為，則點(diǎn)F到BC的距離為．三．解答題（共10小題，共82分）17．（8分）求下列各式中x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）3＝27．18．（6分）已知某正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是a﹣3和2a+15，y的立方根是﹣3．z是的整數(shù)部分．求x+y﹣2z的平方根．19．（8分）如圖，在規(guī)格為8×8的邊長為1個(gè)單位的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長為1），△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，且直線m、n互相垂直．（1）畫出△ABC關(guān)于直線n對稱的△A'B'C'；（2）在直線m上作出點(diǎn)P，使得△APB的周長最小；（保留作圖痕跡）（3）在（2）的條件下，圖中△APB的面積為．（請直接寫出結(jié)果）20．（6分）如圖，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面積．21．（8分）如圖，在△ABC中，AB＜AC，邊BC的垂直平分線DE交△ABC的外角∠CAM的平分線于點(diǎn)D，垂足為E，DF⊥AC于點(diǎn)F，DG⊥AM于點(diǎn)G，連接CD．（1）求證：BG＝CF；（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的長．22．（8分）如圖，CD⊥AB于D點(diǎn)，BE⊥AC于E點(diǎn)，BE，CD交于O點(diǎn)，且AO平分∠BAC．求證：OB＝OC．23．（8分）今年，第十五號(hào)臺(tái)風(fēng)登陸江蘇，A市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心位于A市正南方向52km的B處，正以8km/h的速度沿BC方向移動(dòng)．已知A市到BC的距離AD＝20km，（1）臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)經(jīng)過多長時(shí)間？（2）如果在距臺(tái)風(fēng)中心25km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)影響，那么A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是多長？24．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CP的長為；（用含t的代數(shù)式表示）（2）若點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上，求t的值；（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，直接寫出△ABP是等腰三角形時(shí)t的值．25．（10分）我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個(gè)三角形為勾股高三角形，兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)．●特例感知①等腰直角三角形勾股高三角形（請?zhí)顚憽笆恰被蛘摺安皇恰保虎谌鐖D1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)，CD是AB邊上的高．若BD＝2AD＝2，試求線段CD的長度．●深入探究如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點(diǎn)且CA＞CB，CD是AB邊上的高．試探究線段AD與CB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；●推廣應(yīng)用如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD為AB邊上的高，過點(diǎn)D向BC邊引平行線與AC邊交于點(diǎn)E．若CE＝a，試求線段DE的長度．26．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)F．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FG⊥AC交AC于G點(diǎn)，求證：△AGF≌△ECA；（2）如圖2，連接BF交AC于D點(diǎn)，若，求證：CE是BE的2倍；（3）E是射線CB上一點(diǎn)，直線BF交直線AC于D點(diǎn)，若，則＝。參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．C．2．D．3．B．4．C．5．D．6．B．7．B．8．D．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）9．2710．2111．±212．4.5513．135°14．3415．1216．三．解答題（共1小題，滿分82分）17．(4分)（1）x＝±；（4分）（2）x＝4．18．（6分）x+y﹣2z的平方根是±4．19．（8分）解：（1）如圖所示，△A'B'C'即為所求；（2）如圖所示，點(diǎn)P即為所求；（3）S﹣＝2，20．（6分）解：延長AB，作CD⊥AB的延長線于點(diǎn)D，∵∠A＝∠C＝15°，AB＝5，∴BC＝AB＝5，∠DBC＝∠A+∠BCA＝30°，∴，∴△ABC的面積為：．21．（8分）（1）證明：連接BD，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，∴DG＝DF，在Rt△BDG和Rt△CDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），∴BG＝CF；（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，∴AC＝AF+AB+AG，∴AC＝2AG+AB，∵AB＝10cm，AC＝14cm，∴AG＝＝2cm．22．（8分）證明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°．∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△AOD和△AOE中，，∴△AOD≌△AOE（AAS）．∴OD＝OE．在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC．23．（8分）解：（1）由題意得，在Rt△ABD中，AB＝52km，AD＝20km∴，∴48÷8＝6小時(shí)，即臺(tái)風(fēng)中心從B點(diǎn)移到D點(diǎn)需要6小時(shí)；（2）以A為圓心，以25km為半徑畫弧，交BC于P、Q，則A市在P點(diǎn)開始受到影響，離開Q點(diǎn)恰好不受影響（如圖），由題意，AP＝25km，在Rt△ADP中，，∵AP＝AQ，∠ADB＝90°，∴DP＝DQ，∴PQ＝30km，∴30÷8＝3.75（小時(shí)）∴A市受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為3.75小時(shí)．24．（10分）解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴由勾股定理得：，∵已知點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的長度為：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案為：2t﹣4．（2）過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∴PC⊥BC，∵點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上，PM⊥AB，∴PC＝PM，又∵PB＝PB，∴Rt△PCB≌Rt△PMB（HL），∴CB＝MB，∴AM＝AB﹣MB＝AB＝BC＝5﹣3＝2，設(shè)PM＝PC＝x，則AP＝4﹣x，在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：，，即若點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上，則t的值為．（3）當(dāng)AB作為底邊時(shí)，如圖所示：則PA＝PB，設(shè)PA＝a，則PC＝AC﹣AP＝4﹣a，在Rt△PCB中，PB2＝PC2+CB2，a2＝（4﹣a）2+32，解得：，此時(shí)；當(dāng)AB作為腰時(shí)，如圖所示：AP1＝AB＝5，此時(shí)；AB＝BP2時(shí)，∵BC⊥AP2，∴AP2＝2AC＝8，此時(shí)t＝8÷2＝4，綜上分析可知，t的值為或或4．25．（10分）解：●特例感知：①是．②CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，∴CD＝．●深入探究：如圖2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，∴AD2＝CB2，即AD＝CB；●推廣應(yīng)用：過點(diǎn)A向ED引垂線，垂足為G，∵“勾股高三角形”△ABC為等腰三角形，且AB＝AC＞BC，∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上問可知AD＝BC……①．又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，∴△AGD≌△CDB（AAS），∴DG＝BD．易知△ADE與△ABC均為等腰三角形，根據(jù)三線合一原理可知ED＝2DG＝2BD．又AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝EC＝a，∴ED＝2a．26．（10分）（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE＝AF，∠EAF＝90°，∴∠EAC+∠DAG＝90°，∵FG⊥AC，∴∠FGA＝90°，∴∠ADG+∠FAG＝90°，∴∠EAC＝∠FAG，在△AGF和△ECA中，，∴△AGF≌△ECA（AAS）；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)F作FG⊥AC于G點(diǎn)，∴∠FGD＝∠C＝90°，由（1）知△AGF≌△ECA，∴GA＝CE，F(xiàn)G＝AC，∵AC＝BC，∴FG＝BC，在△FDG和△BDC中，，∴△FDG≌△BDC（AAS），∴GD＝CD，∵，∴AD＝5CD，設(shè)CD＝a，則AD＝5a，GD＝a，∴AG＝AD﹣GD＝4a，AC＝AD+CD＝6a，∴CE＝AG＝4a，BC＝AC＝6a，∴BE＝BC﹣CE＝2a，∴，即CE是BE的2倍；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB上時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥AC于G點(diǎn)，∵，∴設(shè)BC＝5x，BE＝3x，∴CE＝BC﹣BE＝2x，由（1）知△AGF≌△ECA，∴GA＝CE＝2x