2024屆四川省三臺(tái)縣塔山中學(xué)高三下期中考試數(shù)學(xué)試題文試題

2024屆四川省三臺(tái)縣塔山中學(xué)高三下期中考試數(shù)學(xué)試題文試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，值域?yàn)榈呐己瘮?shù)是（）A． B． C． D．2．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．3．設(shè)，則（）A． B． C． D．4．連接雙曲線及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為，連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．若sin(α+3π2A．-12 B．-136．設(shè)，則關(guān)于的方程所表示的曲線是（）A．長軸在軸上的橢圓 B．長軸在軸上的橢圓C．實(shí)軸在軸上的雙曲線 D．實(shí)軸在軸上的雙曲線7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時(shí)，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．9．若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)，則z的最大值為()A． B．1 C．2 D．010．已知點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為該拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)A，B，AB=42，球心為O，若球面上的動(dòng)點(diǎn)C滿足二面角C-AB-O的大小為60°14．如圖,已知，，為的中點(diǎn)，為以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____．15．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)m的值是________．16．如圖所示，在直角梯形中，，、分別是、上的點(diǎn)，，且（如圖①）.將四邊形沿折起，連接、、（如圖②）.在折起的過程中，則下列表述：①平面；②四點(diǎn)、、、可能共面；③若，則平面平面；④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，求證：；（Ⅲ）若對(duì)于恒成立，求的最大值．18．（12分）如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，，，平面，是線段上靠近的三等分點(diǎn).（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）在中，角所對(duì)的邊分別是，且.（1）求角的大?。唬?）若，求邊長.20．（12分）已知函數(shù)（，），.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（10分）已知數(shù)列和，前項(xiàng)和為，且，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且，滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件，故選C．考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域．2、D【解析】

利用直線與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】試題分析：，．故C正確．考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求值．4、D【解析】

先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形，求出菱形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積，所以，當(dāng)取得最大值時(shí)有，，離心率，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.5、B【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因?yàn)閟inα+3π2=3故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)條件，方程．即，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型．【詳解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線，

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵．7、A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時(shí)A,P位于同一水平線上，計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算斜率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長最小值，即計(jì)算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN，所以，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處，三角形周長最小，故此時(shí)M的坐標(biāo)為，所以斜率為，故選A．【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等．8、D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9、C【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)如圖：當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值為故答案選C【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最大，在軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在軸上截距最大時(shí)，值最小，在軸上截距最小時(shí)，值最大.10、C【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長，進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得，而雙曲線的半實(shí)軸，所以，得離心率,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12、B【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角，可求出OD,?O1D及OO1，然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上，在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1，AB中點(diǎn)為D，連接OD,OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，∠ODO1即為二面角∠ODO因?yàn)镺A=OB=4,?AB=42，所以△OAB在Rt△ODO1中，由cos60o＝O1D因?yàn)镺1到A、B、C三的距離相等，所以，四面體OABC外接球的球心E在直線OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R，在Rt△O1由勾股定理可得：O1B2+O【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題．14、【解析】

建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則點(diǎn),,,設(shè)點(diǎn),所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因?yàn)?所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.15、1【解析】

根據(jù)即可得出，從而求出m的值．【詳解】解：∵；∴；∴m＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．16、①③【解析】

連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，可判斷命題①的正誤；利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤；連接，證明出，結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤；假設(shè)平面與平面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題①，連接、交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)、，連接、，如下圖所示：則且，四邊形是矩形，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，且，四邊形為平行四邊形，，即，平面，平面，平面，命題①正確；對(duì)于命題②，，平面，平面，平面，若四點(diǎn)、、、共面，則這四點(diǎn)可確定平面，則，平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，則，但四邊形為梯形且、為兩腰，與相交，矛盾.所以，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③，連接、，設(shè)，則，在中，，，則為等腰直角三角形，且，，，且，由余弦定理得，，，又，，平面，平面，，，、為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以，平面，平面，平面平面，命題③正確；對(duì)于命題④，假設(shè)平面與平面垂直，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，，，，，，又，平面，平面，.，平面，平面，.，，顯然與不垂直，命題④錯(cuò)誤.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問題，涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷，考查推理能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用二次求導(dǎo)可得，所以在上為增函數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進(jìn)而可證；（Ⅲ）條件等價(jià)于對(duì)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，即可得到的最小值為，再次構(gòu)造函數(shù)（a），，利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得最大值．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，所以，又因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ），則令，則（1），，所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，則，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，，由，得，所以，由于，，從而；（Ⅲ）因?yàn)閷?duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，不妨令，因?yàn)?，，所以的解為，則當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以的最小值為，則，不妨令（a），，則（a），解得，所以當(dāng)時(shí)，（a），（a）為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（a），（a）為減函數(shù)，所以（a）的最大值為，則的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法，意在考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題．18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由，故，所以四邊形為菱形，再通過，證得，所以四邊形為正方形，得到.（2）根據(jù)（1）的論證，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，由求得，再由，利用線面角的向量法公式求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以四邊形為菱形，而平面，?因?yàn)?，故，故，即四邊形為正方形，?（2）依題意，.在正方形中，，故以為原點(diǎn)，所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；如圖所示：不紡設(shè)，則，又因?yàn)椋?所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.于是.又因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）把代入已知條件，得到關(guān)于的方程，得到的值，從而得到的值.（2）由（1）中得到的的值和已知條件，求出，再根據(jù)正弦定理求出邊長.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，?因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?（2）.在中，由正弦定理得，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)公式的運(yùn)用，正弦定理解三角形，屬于簡單題.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，得到答案.（Ⅱ）變換得到，設(shè)，求，令，故在單調(diào)遞增，存在使得，，計(jì)算得到答案.【詳解】（Ⅰ）（），當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（Ⅱ）（），即，（）.令（），則，令，，故在單調(diào)遞增，注意到，，于是存在使得，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴.綜上知，.【點(diǎn)睛】