專題18 圓錐曲線綜合（10大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第②焦點在軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述．2、拋物線與直線相交于兩點，設(shè)，聯(lián)立可得，時，特殊地，當(dāng)直線過焦點的時候，即，，因為為通徑的時候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標(biāo)來記憶．拋物線與直線相交于兩點，設(shè)，聯(lián)立可得，時，注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算量．開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點共線問題，角度問題等?？純?nèi)容的時候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑?、根的判別式和韋達(dá)定理與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，，可簡記．與C相離；與C相切；與C相交．注意：（1）由韋達(dá)定理寫出，，注意隱含條件．（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因為此情況下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．三、弦長公式設(shè)，根據(jù)兩點距離公式．1、若在直線上，代入化簡，得；2、若所在直線方程為，代入化簡，得3、構(gòu)造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為，時，；（2）直線上任何兩點距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為，判別式為，時，，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率．（4）直線和圓相交的時候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長會更加簡單．（5）直線如果過焦點可以考慮焦點弦公式以及焦長公式．四、已知弦的中點，研究的斜率和方程1、是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為，運用點差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，所以，兩式相減得所以即，故2、運用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點，則；若曲線是拋物線，則．一、解答題1．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知橢圓的左焦點為，上頂點為，離心率，直線FB過點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線與橢圓相交于M，N兩點（M、N都不在坐標(biāo)軸上），若，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)給定條件，借助傾斜角的關(guān)系可得，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式求解即得.【詳解】（1）令，由，得，則直線的斜率，由直線過點，得直線的方程為，因此，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，由直線的斜率知直線的傾斜角為，于是，即有，顯然均不等于，則，即直線的斜率滿足，由題設(shè)知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，由，消去x并整理得，，顯然，設(shè)，則，由，得，即，則，整理得，即，于是，而，解得，，所以直線的方程為，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第2問，由，結(jié)合直線傾斜角及斜率的意義求得是解題之關(guān)鍵.2．（2024·浙江紹興·三模）已知雙曲線：與直線：交于、兩點（在左側(cè)），過點的兩條關(guān)于對稱的直線、分別交雙曲線于、兩點（在右支，在左支）．(1)設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；(2)若直線與雙曲線在點處的切線交于點，求的面積．【答案】(1)1(2)．【分析】（1）設(shè)直線、的傾斜角分別為、（、），則，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解；

（2）先求出點的坐標(biāo)，進(jìn)而得到雙曲線在點處的切線方程為，不妨設(shè)直線為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和三角形面積公式求解.【詳解】（1）由題意知直線斜率為1，直線的傾斜角，設(shè)直線、的傾斜角分別為、（、），直線、關(guān)于直線對稱，，．（2）聯(lián)立，雙曲線在點處的切線方程為．不妨設(shè)直線為，，，聯(lián)立得，整理得，將等式看作關(guān)于的方程：兩根之和，兩根之積，而其中，由（1）得，直線為，過定點，又雙曲線在點處的切線方程為，過點，，．3．（2024·天津北辰·三模）已知橢圓：的離心率為，左?右焦點分別為，，上?下頂點分別為，，且四邊形的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線：與橢圓交于P，Q兩點，且P，Q關(guān)于原點的對稱點分別為M，N，若是一個與無關(guān)的常數(shù)，則當(dāng)四邊形面積最大時，求直線的方程.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)及已知條件可得a，b，c的關(guān)系，從而可求出a，b，c的值，從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示出|OP|2+|OQ|2，由|OP|2+|OQ|2是一個與m無關(guān)的常數(shù)，可求出k的值，表示出四邊形PQMN面積，求出當(dāng)四邊形PQMN面積最大時m的值，即可求解直線l的方程．【詳解】（1），，所以，因為a2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，所以橢圓方程為．（2）如圖，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），，聯(lián)立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，所以，.，，因為|OP|2+|OQ|2是一個與m無關(guān)的常數(shù)，所以32k2﹣24＝0，，，，，點O到直線l的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即m2＝3，因為m＞0，所以時，取得最大值為，因為S四邊形MNPQ＝4S△POQ，所以S△POQ最大時，S四邊形MNPQ最大，所以或．4．（2024·新疆喀什·三模）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，是直線：（其中是實半軸長，是半焦距）上不同于原點的一個動點，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點，斜率為的直線與雙曲線交于，兩點．(1)求的值；(2)若直線，，，的斜率分別為，，，，問是否存在點，滿足，若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)-3(2)存在，，或【分析】（1）設(shè)，利用斜率公式求解；（2）設(shè)，直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，結(jié)合求解.【詳解】（1）由題可得雙曲線E：，則，∴左、右焦點分別為，，直線l的方程為：設(shè)，，同理可得．∴；（2）設(shè)，如圖，直線方程為，代入雙曲線方程可得：，所以，則，則，，，．同理，即，即，∴或，又，若．無解，舍去．∴，解得，，或，，若，，由A在直線上可得，，∴．此時，若，，由A在直線上可得，，∴此時∴存在點，或，滿足．5．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點為是上第一象限內(nèi)的動點.當(dāng)直線的傾斜角為時，.(1)求的方程；(2)已知點是上不同兩點.若四邊形是平行四邊形，證明：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）過點A作軸的垂線，準(zhǔn)線的垂線，結(jié)合拋物線的定義可得，即可得和方程；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，代入拋物線方程可得，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知：拋物線的焦點，準(zhǔn)線，過點A作軸的垂線，垂足為，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義可得，因為直線的傾斜角為，則，可得，解得，所以的方程為.（2）設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，因為四邊形是平行四邊形，則，即，代入中得，整理得，則直線：，所以直線過定點.6．（2024·上?！と＃┮阎獧E圓：，、分別為左、右焦點，直線過交橢圓于、兩點.(1)求橢圓的離心率；(2)當(dāng)，且點在軸上方時，求、兩點的坐標(biāo)；(3)若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)；(3)存在直線或滿足題意【分析】（1）根據(jù)橢圓方程直接求，即可得離心率；（2）由垂直的向量表示化簡，結(jié)合點在橢圓上即可求出點坐標(biāo)，再聯(lián)立直線與橢圓可得B點坐標(biāo)；（3）由直線方程得出，分別求出三角形面積，根據(jù)面積相等建立方程求出即可得解.【詳解】（1）由橢圓方程知，，，所以，所以離心率.（2），，設(shè)，且.所以，，，，又在橢圓上，滿足，即，，解得，即.所以直線：，聯(lián)立，解得或，所以；（3）設(shè)，，，，直線：，聯(lián)立，得.則，.直線的方程：，令得縱坐標(biāo)；直線的方程：，令得的縱坐標(biāo).則，若，即，，，，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得.存在直線或滿足題意.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中求解三角形面積的常用方法:（1）利用弦長以及點到直線的距離公式，表示出三角形的面積;（2）根據(jù)直線與圓錐曲線的交點，利用公共底或者公共高的情況，將三角形的面積表示為或的形式求解.7．（2024·湖南長沙·二模）已知橢圓中心在原點，左焦點為，其四個頂點的連線圍成的四邊形面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的左焦點作斜率存在的兩直線、分別交橢圓于、、、，且，線段、的中點分別為、.求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題可知橢圓的焦點在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為，由橢圓的性質(zhì)可得四邊形面積為，由焦點坐標(biāo)可知，聯(lián)立方程即可求出、（2）由點斜式設(shè)出直線、的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，寫出判別式和韋達(dá)定理，由弦長公式得到，同理可得，四邊形面積為，而、，利用和進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求出面積的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意可知橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓四個頂點的連線圍成的四邊形是菱形，兩條對角線互相垂直，而兩條對角線長分別為，，由已知得，即，因為左焦點為，所以，可得，聯(lián)立，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）作出橢圓的圖象，如下圖所示：根據(jù)題意可知直線、的斜率存在，且，所以兩直線、的斜率存在且不為0，因此設(shè)直線AB、CD的斜率分別為、，又，設(shè)直線方程為，直線方程為，設(shè)、、、的坐標(biāo)分別為、、、，設(shè)四邊形面積為.聯(lián)立，得，，因為、是該方程兩根，由韋達(dá)定理可得，由弦長公式可得，則，同理可得，.因為、分別是線段、的中點，且，所以，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故四邊形面積的最小值為.8．（2024·北京西城·三模）已知橢圓的左頂點為A，上頂點為B，下頂點為C，若橢圓的，三角形ABC的面積為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點D（0，2），直線AD交橢圓于點E，過點D的直線交橢圓于M，N兩點，若直線CM與x軸交于P點，過E且平行于x軸的直線與BN交于Q點，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本量即可求解；（2）求出點的坐標(biāo)，分直線斜率是否存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求解，根據(jù)交點個數(shù)列出關(guān)于的不等式，寫出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，求出點的橫坐標(biāo)，寫出直線BN的方程，求解點的橫坐標(biāo)，寫出即可得三點共線，進(jìn)而求解.【詳解】（1）依題意：，解得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線DA：，，解得，.若直線MN：，則，若直線MN：，設(shè)，，，整理得，，解得或，，，直線CM：，令，得.直線BN：，令，得，因為，所以D，P，Q三點共線，所以，綜上知：.9．（2024·湖南長沙·三模）已知拋物線，過點的直線與交于不同的兩點.當(dāng)直線的傾斜角為時，.(1)求的方程；(2)在線段上取異于點的點，且滿足，試問是否存在一條定直線，使得點恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)點恒在直線上.【分析】（1）先求直線的方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達(dá)定理及兩點距離公式，求弦的長即可；（2）設(shè)直線方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達(dá)定理及相似三角形求解即可.【詳解】（1）設(shè).若直線的傾斜角為，則直線的方程為.聯(lián)立得，則，且，所以.因為，所以，故的方程為.（2）存在，定直線為.由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立得.由，得且，.不妨設(shè)，則，過點向軸作垂線，垂足分別為點，如圖所示，則，.因為，所以，整理得，所以.代入直線的方程得.因為，所以點恒在直線上.10．（2024·北京·三模）已知橢圓的短軸長為，左、右頂點分別為，過右焦點的直線交橢圓于兩點（不與重合），直線與直線交于點．(1)求橢圓的方程；(2)求證：點在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得解.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，再求出直線與直線的交點橫坐標(biāo)，并結(jié)合韋達(dá)定理計算即得.【詳解】（1）依題意，，半焦距，則，所以橢圓的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線，由消去x并整理得，，設(shè)，則，且有，直線，直線，聯(lián)立消去y得，即，整理得，即，于是，而，則，因此，所以點在定直線上.11．（2024·上海浦東新·三模）已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，、為雙曲線上的點.(1)求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；(2)若，求直線的方程；(3)若，其中A、B兩點均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(3).【分析】（1）由題意，求出點的坐標(biāo)和漸近線方程，根據(jù)點到直線的距離公式計算即可求解；（2）易知直線不與x軸重合，設(shè)其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示，結(jié)合計算求得即可；（3）如圖，由（2），利用弦長公式求出，利用平行線之間的距離公式求出平行線與之間的距離，進(jìn)而表示，結(jié)合換元法計算即可求解.【詳解】（1）由題，右焦點，漸近線方程為，因此焦點到漸近線的距離為.（2）顯然，直線不與x軸重合，設(shè)直線方程為，由，得，由，得，其中，恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直線的方程為.（3）延長交雙曲線于點P，延長交雙曲線于點Q.則由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.由題，設(shè)，直線程為，直線方程，由第（2）問，易得，因為，得，因而，平行線與之間的距離為，因此，.令，則，得在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故（等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立），所以，四邊形面積的取值范圍為.12．（2024·天津南開·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且C的左、右焦點與短軸的兩個端點構(gòu)成的四邊形的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，過點A與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個交點為.當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓焦點與頂點的坐標(biāo)與離心率的定義計算即可得答案；（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立曲線方程后可得與坐標(biāo)有關(guān)的韋達(dá)定理表達(dá)式，結(jié)合三角形面積公式表示出面積后借助基本不等式計算即可得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，依題意，，，又，解得，，，所以橢圓C的方程為；（2）由題意可得直線的斜率不為，故可設(shè)直線l的方程為，，，則，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得，由于直線過橢圓內(nèi)一點，故必有，則．又，，易知與同號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以面積的最大值為，此時直線l的方程為．13．（2024·貴州六盤水·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A，B分別是x軸和y軸上的動點，且動點滿足，記P的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設(shè)曲線C與x軸的交點為A1，A2（A1在A2的左邊），過點Q（1，0）且不與x軸平行的直線l與C相交于M，N兩點，記直線A1M，A2N的斜率分別為k1和k2，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知結(jié)合向量的線性運算的坐標(biāo)表示即可求解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及直線的斜率關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，因為，所以，由得，，將，代入得，，所以動點P的軌跡C的方程為；（2）由（1）知，聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理得，，于是，從而，因為，，則，，，所以．

14．（2024·廣東汕頭·三模）已知雙曲線：的漸近線方程為，過點的直線交雙曲線于，兩點，且當(dāng)軸時，.(1)求的方程；(2)記雙曲線的左右頂點分別為，，直線，的斜率分別為，，求的值.(3)探究圓：上是否存在點，使得過作雙曲線的兩條切線，互相垂直.【答案】(1)；(2)；(3)存在.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得的方程.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式求解即得.（3）設(shè)出雙曲線的兩條切線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合判別式求出兩條切線交點的軌跡方程，再判斷與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】（1）由對稱性知，雙曲線過點，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）得，設(shè)，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，由消去x得，顯然，，則，即，所以.（3）圓上存在點，使得過作雙曲線的兩條切線互相垂直.若雙曲線的兩條切線有交點，則兩條切線的斜率存在且不為0，設(shè)雙曲線的兩條切線分別為，將代入消去得：，由得，解得，因此，設(shè)兩條切線的交點坐標(biāo)為，則，即有，且，即，于是是方程的兩根，而，則，即，從而兩條切線們交點的軌跡為圓，而的圓心為，半徑為1，圓的圓心，半徑為3，顯然，滿足，即圓與圓相交，所以圓上存在點，使得過作雙曲線的兩條切線互相垂直.【點睛】方法點睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．15．（2024·江西鷹潭·二模）設(shè)橢圓E：經(jīng)過點，且離心率，直線垂直x軸交x軸于T，過T的直線l1交橢圓E于，兩點，連接，，．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，．（?。┣蟮闹担唬áⅲ┤鐖D：過P作x軸的垂線l，過A作PT的平行線分別交PB，l于M，N，求的值．【答案】(1)(2)（i）2；（ii）1【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程組，利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）（?。┦紫仍O(shè)直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，即可求解；（ⅱ）首先設(shè)直線的傾斜角分別為,根據(jù)正弦定理利用角表示邊長，，再求比值，利用（?。┑慕Y(jié)論，即可求解.【詳解】（1）由題意知解得，所以橢圓E的方程為；（2）（?。┮字?，，，，設(shè)直線的方程為，由直線過知，聯(lián)立方程得，變形得：，即；（ⅱ）設(shè)直線的傾斜角分別為,則，，，,，，在中，，在中，，所以由知，，即，故..【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第一問的轉(zhuǎn)化比較巧妙，轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的方程，利用韋達(dá)定理即可求解，第二問巧妙設(shè)傾斜角，利用三角函數(shù)表示的值.16．（2024·山東煙臺·三模）已知拋物線C：（）過點，F(xiàn)為C的焦點，A，B為C上不同于原點O的兩點.(1)若，試探究直線是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由；(2)若，求面積的最小值.【答案】(1)直線過定點(2)【分析】（1）首先根據(jù)已知點求出拋物線方程，設(shè)，，聯(lián)立拋物線方程，有，結(jié)合，由向量垂直的坐標(biāo)表示可列出方程，由此解出，進(jìn)一步檢驗判別式即可得解；（2）由得條件等式，進(jìn)一步得出的取值范圍是或，由弦長公式、點到直線的距離公式表示出面積，結(jié)合的范圍即可得解.【詳解】（1）已知拋物線C：（）過點，所以，所以拋物線的方程為，直線斜率不可能為0，否則直線與拋物線沒有兩個交點，故可設(shè)，，聯(lián)立拋物線的方程為，可得，，由韋達(dá)定理有，因為，所以，因為A，B為C上不同于原點O的兩點，所以，所以，經(jīng)檢驗符合題意；即，所以直線過定點；（2）顯然，由（1）得，，因為，所以，即有條件等式成立，而，所以首先有，其次，或，因為為直線在軸上的截距，且與相異，由圖可知，從而的取值范圍是或，，點到直線的距離為，所以的面積可表示為：，因為的取值范圍是或，所以或，所以當(dāng)，即時，，綜上所述，面積的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（2）問的關(guān)鍵是得出的取值范圍以及面積的表達(dá)式，由此即可順利得解.17．（2024·山西陽泉·三模）已知圓．點在圓上，延長到，使，點在線段上，滿足．(1)求點的軌跡的方程；(2)設(shè)點在直線上運動，．直線與軌跡分別交于兩點，求證：所在直線恒過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)得到向量模的關(guān)系，根據(jù)即可求解；（2）設(shè)點的坐標(biāo)，根據(jù)三點共線得到平行關(guān)系，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，據(jù)此即可求解.【詳解】（1），，為的中點，又為的中點，，則，點的軌跡是以為焦點的橢圓，而，點的軌跡的方程為；（2）由（1）得是橢圓的左右頂點，設(shè)，由三點共線，得，而，，由三點共線，得，而，，，即，設(shè)的方程為，聯(lián)立，得，則，，，由，得，即，，恒成立，，所在直線恒過定點．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題（2）關(guān)鍵在于設(shè)點的坐標(biāo)，根據(jù)三點共線得到平行關(guān)系.18．（2024·湖南衡陽·三模）已知橢圓.(1)已知的頂點均在橢圓上，若坐標(biāo)原點為的重心，求點到直線PQ距離的最小值；(2)已知定在橢圓上，直線（與軸不重合）與橢圓交于A、B兩點，若直線AB，AN，BN的斜率均存在，且，證明：直線AB過定點（坐標(biāo)用，表示）.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，當(dāng)時，求出原點到直線PQ的距離；當(dāng)，點差法求出直線PQ的斜率，得直線PQ的方程，表示原點到直線PQ的距離，由的取值范圍求最小值.（2）設(shè)，，由，得，設(shè)直線，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理化簡，得，代入直線方程可得所過定點.【詳解】（1）設(shè)，記線段PQ中點為，因為為的重心，所以，則點的坐標(biāo)為，若，則，此時直線PQ與軸垂直，故原點到直線PQ的距離為；若，此時直線PQ的斜率存在，設(shè)，，則，又兩式相減得，可得.故直線PQ的方程為，即，則點到直線PQ的距離為，將代入得，因為，所以，故原點到直線PQ距離的最小值為.（2）證明：設(shè)，，，因為，所以，所以，即①，設(shè)直線，代入橢圓的方程，得，則，，，，，將以上4個式子代入①，得，得，即②，因為點在橢圓上，所以，，代入②得，得，即，因為，所以不在直線AB上，則，則，得，所以直線過定點.【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題，而中點弦問題，采用點差法．19．（2024·四川攀枝花·三模）已知拋物線上一點Q到焦點F的距離為2，點Q到y(tǒng)軸的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)過F的直線交拋物線C于A，B兩點，過點B作x軸的垂線交直線AO（O是坐標(biāo)原點）于D，過A作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點為E，直線與交于點G．求【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意，設(shè)出點Q的坐標(biāo)，根據(jù)題目所給信息列出等式求出p的值，進(jìn)而可得拋物線的方程；（2）設(shè)出直線的方程和A，B兩點的坐標(biāo)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點D，G的坐標(biāo)，即可求出的表達(dá)式，再進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）不妨設(shè)，因為拋物線C上一點Q到焦點F的距離為4，點Q到y(tǒng)軸的距離為，所以，整理得，解得或（舍去），則拋物線C的方程為；（2）由題意知直線的斜率必存在，，不妨設(shè)直線AB的方程為，，聯(lián)立，消去y并整理得，，由韋達(dá)定理得，易知直線OA的方程為，因為軸，所以，即，所以，因為DF⊥AE，所以，則直線AE的方程為，因為，所以，此時，因為，所以，由題意知，則，所以．故的取值范圍為．【點評】易錯點點睛：本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理、分類討論和運算能力，屬于中檔題．容易出錯的地方在于計算，并且計算基本都是相關(guān)字母參數(shù)的運算，因此要求十分細(xì)心才可以.20．（2024·新疆·三模）已知橢圓：的左右焦點分別為，，離心率為，過拋物線：焦點的直線交拋物線于M，N兩點，的最小值為4.連接，并延長分別交于A，B兩點，且點A與點M，點B與點N均不在同一象限，與的面積分別記為，.(1)求和的方程；(2)記，求的最小值.【答案】(1)橢圓的方程為，拋物線的方程為(2).【分析】（1）利用拋物線過焦點弦求最小值，求解出值，即可求解兩個方程；（2）利用拋物線過焦點弦的端點到原點的斜率之積為定值，從而引入新變量直線斜率為，即可求出點坐標(biāo)，同理也可以求出點坐標(biāo)，然后利用兩點間弦長公式可求得的長度，即可計算兩三角形面積比的平方，最后轉(zhuǎn)化到變量的函數(shù)求最小值即可.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立,整理得，所以，所以當(dāng)時，有最小值，所以，解得，又因為離心率為，所以，則，所以橢圓的方程為，拋物線的方程為.（2）

由（1）可得，，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，解得，同理可設(shè)直線的方程為，可解得，.所以當(dāng)時，有最小值.【點睛】方法點睛：（1）利用拋物線過焦點弦的最小值為通徑這一性質(zhì)來解題；（2）利用拋物線過焦點弦的端點到原點的斜率之積為定值，來引入斜率變量，求出點坐標(biāo)；（3）利用兩點間的弦長公式來求出長度，即可求面積比；（4）最后把面積比轉(zhuǎn)化為兩根之積的韋達(dá)定理，以及斜率變量上來，最后利用基本不等式可求出最小值.21．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)雙曲線C：（，）的一條漸近線為，焦點到漸近線的距離為1．，分別為雙曲線的左、右頂點，直線過點交雙曲線于點，，記直線，的斜率為，．(1)求雙曲線的方程；(2)求證為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）借助漸近線定義及點到直線距離公式計算即可得；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線可得與交點縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，作商即可得所設(shè)參數(shù)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，借助斜率公式表示出斜率后，消去所設(shè)參數(shù)即可得證.【詳解】（1）由題意可得，解得，故雙曲線的方程為；（2）由雙曲線的方程為，則，，由題意可知直線斜率不為，故可設(shè)，，，聯(lián)立，消去可得，，即，則，，則，即，，，則，即為定值.

【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．（2024·浙江·三模）已知雙曲線的實軸長為4，左、右焦點分別為、，其中到其漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)