第01講 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（六大題型）（練習）（含答案解析）

第01講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 2題型二：直觀圖 3題型三：展開圖 6題型四：最短路徑問題 7題型五：空間幾何體的表面積 10題型六：空間幾何體的體積 1202重難創(chuàng)新練 1503真題實戰(zhàn)練 28題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．下列命題正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺D．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱【答案】D【解析】對于A，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，可能是棱臺或組合圖形，故A錯誤；對于B，有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐，故B錯誤；對于C，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺，故C錯誤；對于D，根據(jù)棱柱的定義，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，故D正確.故選：D2．有下列四個命題，其中正確的是（

）A．底面是矩形的平行六面體是長方體B．棱長相等的直平行六面體是正方體C．有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體D．對角線相等的平行六面體是直平行六面體【答案】D【解析】對于A，底面是矩形的平行六面體，它的側(cè)面不一定是矩形，故它也不一定是長方體，即A不正確；對于B，若底面是菱形，則棱長都相等的直四棱柱不是正方體，故B不正確；對于C，若側(cè)棱垂直于底面兩條平行邊，則側(cè)棱不一定垂直于底面，故側(cè)棱垂直于底面兩條邊的平行六面體不一定是直平行六面體．故C不正確；.對于D，若平行六面體對角線相等，則對角面皆是矩形，于是可得側(cè)棱垂直于底面，因此對角線相等的平行六面體是直平行六面體，故D正確.故選：D.3．下列說法正確的是（

）A．用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，該圓錐―定被分為一個小圓錐和一個圓臺B．有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱C．圓臺的所有母線延長不一定交于一點D．一個多面體至少有3個面【答案】A【解析】對于A項，用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，原圓錐一定被分為一個小圓錐和一個圓臺，故A正確；對于B項，滿足條件的幾何體可能是組合體，如圖，故B錯誤；對于C項，圓臺的所有母線延長一定交于一點，故C錯誤；對于D項，多面體至少有4個面，所以D錯誤.故選：A.題型二：直觀圖4．水平放置的的斜二測直觀圖是如圖中的，已知，，則邊的實際長度是.【答案】5【解析】把直觀圖還原為原圖形，如圖所示，則，所以.故答案為：5.5．如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，若，，則的面積為.

【答案】12【解析】如圖，根據(jù)斜二測畫法，將直觀圖還原后，得到的為直角三角形，且兩條直角邊，，所以，的面積為.故答案為：12.6．一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸，軸，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C． D．12【答案】C【解析】記與軸的交點為D，因為軸，軸，所以，又軸，所以四邊形為平行四邊形，，由題意可知：，因為，，所以，，則四邊形的面積為，所以四邊形的面積為.故選：C.7．（2024·湖北·模擬預測）用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖所示，其中是的中點，且軸，軸，，那么（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示，其中，，，原平面圖形的面積為.故選：D．題型三：展開圖8．（2024·山西·模擬預測）將一個圓臺的側(cè)面展開，得到的扇環(huán)的內(nèi)弧長為，外弧長為，外弧半徑與內(nèi)弧半徑之差為，若該圓臺的體積為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】因為一個圓臺的側(cè)面展開，得到的扇環(huán)的內(nèi)弧長為，外弧長為，外弧半徑與內(nèi)弧半徑之差為，所以圓臺的上底面半徑，下底面半徑，母線長為．設圓臺的高為，根據(jù)題意可知該圓臺的體積，解得，則．故選：B9．某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑長為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【解析】設圓錐的母線長為，底面半徑為，由圓錐的性質(zhì)可得側(cè)面展開圖的半徑為，弧長為，又圓錐的底面周長為，所以，又，所以，即圓錐的底面半徑長為2.故選：A10．（2024·福建泉州·模擬預測）已知圓錐SO的母線長為2，AB是圓O的直徑，點M是SA的中點．若側(cè)面展開圖中，為直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，且為直角三角形，將半個圓錐展開后如圖，則，又因為為的中點，則，可得為等邊三角形，即，則側(cè)面展開圖的圓心角為所以該圓錐的側(cè)面積.故選：C.11．某同學將一張圓心角為的扇形紙殼裁成扇環(huán)（如圖1）后，制成了簡易筆筒（如圖2）的側(cè)面，已知，則制成的簡易筆筒的高為．【答案】【解析】依題意，圓臺上底面圓周長為，則圓臺上底半徑，圓臺下底面圓周長為，則圓臺下底半徑，圓臺軸截面是等腰梯形，上下底邊長分別為，腰長為，所以圓臺的高，即等腰梯形的高為（cm）.故答案為：題型四：最短路徑問題12．現(xiàn)有一塊如圖所示的三棱錐木料，其中，，木工師傅打算過點將木料切成兩部分，則截面周長的最小值為.【答案】【解析】將三棱錐側(cè)面沿著展開，如圖：則，由余弦定理可得：,則，所以截面周長的最小值為.故答案為：.13．在正方體中，為棱的中點，分別為上的動點，則的最小值為．【答案】【解析】將正方體的側(cè)面與展開到同一平面在同一平面內(nèi)可知的最小值就是點到的距離，正方體中，為棱的中點，所以，，是正方形，所以故答案為：14．如圖，一圓柱體的底面周長為，高為，是上底面的直徑.一只昆蟲從點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點，昆蟲爬行的最短路程是.【答案】【解析】作出圓柱的側(cè)面展開圖如下圖所示，則當昆蟲的爬行路線為線段時，爬行的路程最短，圓柱體的底面周長為，；最短路程為：.故答案為：.15．如圖，圓柱形開口容器下表面密封，其軸截面是邊長為的正方形.現(xiàn)有一只螞蟻從外壁處出發(fā)，沿外壁先爬到上口邊沿再沿內(nèi)壁爬到中點處，則它所需經(jīng)過的最短路程為.【答案】【解析】側(cè)面展開后得矩形，其中，問題轉(zhuǎn)化為在上找一點，使最短，作P關于CD的對稱點E，連接AE，令AE與CD交于點Q，則的最小值就是AE為故答案為：.題型五：空間幾何體的表面積16．冰嘎別名冰尜，是東北民間少年兒童游藝品，俗稱“陀螺”.通常以木鏇之，大小不一，一般徑寸余，上端為圓柱形，下端為錐形.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知分別是上、下底面圓的圓心，，底面圓的半徑為，則該陀螺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由底面圓的半徑為，得底面圓的面積為，又知，則得圓柱的高等于母線長，且圓柱的母線長為，已知圓錐的高為，圓的半徑為，則圓錐的母線長為：，則陀螺的表面積為：；故選：B.17．（2024·陜西商洛·模擬預測）魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾?魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具.魔方擁有競速?盲擰?單擰等多種玩法，風靡程度經(jīng)久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一.一個三階魔方，由27個棱長為1的正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了，則該魔方的表面積增加了.【答案】【解析】如圖，轉(zhuǎn)動后，此時魔方相對原來魔方多出了16個小三角形的面積，俯視圖如圖，由圖形的對稱性可知，為等腰直角三角形，設直角邊，則斜邊，故，可得.由幾何關系得，故轉(zhuǎn)動后的表面積，故表面積增加了.故答案為：.18．（2024·山東濟南·二模）將一個圓形紙片裁成兩個扇形，再分別卷成甲?乙兩個圓錐的側(cè)面，甲?乙兩個圓錐的側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則.【答案】/【解析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故答案為：.題型六：空間幾何體的體積19．（2024·高三·廣東·開學考試）高臺建筑流行于戰(zhàn)國到西漢時期，當時重要宮殿臺榭多采用此建筑形式．高臺建筑以高大的夯土臺為基礎和核心，在夯土版筑的臺上層層建屋，木構(gòu)架緊密依附夯土臺而形成土木混合的結(jié)構(gòu)體系．如圖是一個非常簡易的高臺建筑，塔下方是一個正四棱臺形夯土臺，已知該四棱臺上底邊長，下底邊長，側(cè)棱長，則此四棱臺的體積為．

【答案】【解析】如圖正四棱臺，過作平面為垂足，由題意可知,所以，所以故答案為：20．所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體．在這兩個平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的垂直距離叫作擬柱體的高．現(xiàn)有一擬柱體，上下底面均為正六邊形，且下底面邊長為4，上底面各頂點在下底面的射影點為下底面各邊的中點，高為2，則該擬柱體的體積為．【答案】【解析】由題意可得：該擬柱體的體積為中間正六棱柱的體積與外側(cè)6個四棱錐的體積之和，上底面邊長為，正六棱柱的體積，四棱錐的體積為，從而擬柱體的體積為．故答案為：．21．（2024·浙江金華·模擬預測）已知梯形滿足且，其中，將梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為．【答案】【解析】如下圖，梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐和圓柱的組合體，其中圓錐及圓柱底面都是半徑為的圓，圓錐的高為1，圓柱的高為2，所以幾何體體積為.故答案為：22．如圖中，，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，交BC于點N），則圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為．

【答案】【解析】連接，則，設，因為，所以，在中，，解得，在中，因為，可得，設直角繞旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐的體積為，半圓繞旋轉(zhuǎn)一周得到球的體積為，圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周，可得旋轉(zhuǎn)體為一個圓錐挖去一個球，所以圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：.故答案為：.23．（2024·青海海西·模擬預測）如圖，在幾何體中，，梯形和梯形為等腰梯形，，若幾何體的體積為，則．

【答案】【解析】如圖所示，取的中點，連接，由，可得四邊形為平行四邊形，可得，又由，可得，可得為等邊三角形，三棱錐為正三棱錐，設，如圖，過點作平面，連接，可得，，，又由，可得三棱柱的體積是三棱錐體積的3倍，可得，解得．故答案為：.1．（2024·河北·模擬預測）某圓環(huán)的內(nèi)外半徑分別為2和4，將其繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，幾何體體積為大球的體積減去小球的體積，所以幾何體體積為．故選：C．2．（2024·四川宜賓·三模）在直三棱柱中，，，點P在四邊形內(nèi)（含邊界）運動，當時，點P的軌跡長度為，則該三棱柱的表面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】設，因為，所以由棱柱的性質(zhì)可得，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面，點P在四邊形內(nèi)（含邊界）運動，當時，，這意味著點是在以為圓心為半徑的圓弧上運動，該圓弧弧長是圓周周長，由題意，解得，所以該三棱柱的表面積為.故選：C.3．（2024·全國·二模）已知圓錐的軸截面是底角為θ的等腰三角形，圓錐的底面半徑為，圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，則圓柱體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，圓錐的軸截面是底角為的等腰三角形，圓錐的底面半徑為，則圓錐的高為，設圓錐內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，由可得，解得則圓柱的體積為：，，由，得，當時，，則在上單調(diào)遞增；當時，，則在上單調(diào)遞減.故當時，.故選：D.4．（2024·廣西·模擬預測）某高中科技課上，老師組織學生設計一個圓臺狀的器皿材料，其厚度忽略不計，該器皿下底面半徑為3cm，上底面半徑為10cm，容積為，則該器皿的高為（

）A．5cm B．12cm C．15cm D．20cm【答案】B【解析】由題意得：，解得．故選：B．5．（2024·河南駐馬店·二模）已知某正六棱柱的體積為，其外接球體積為，若該六棱柱的高為整數(shù)，則其表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設該正六棱柱的底面邊長為，高為，其外接球的半徑為，易知，則①，且②，聯(lián)立①②，因為，解得，所以正六棱柱的表面積.故選：D.6．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是和，則該圓臺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，母線長為，則，，解得，，又，，設上底面面積為，下底面面積為，所以圓臺的體積.故選：B.7．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，已知正方形ABCD為圓柱的軸截面，，E，F(xiàn)為上底面圓周上的兩個動點，且EF過上底面的圓心G，若，則三棱錐的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖設圓柱的下底面的圓心為，連接，則，且平面，平面，所以，又，，所以，又，平面，所以平面，且，，所以.故選：B.8．（2024·天津和平·二模）如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的內(nèi)切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個公共點）的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出四棱錐如圖：根據(jù)題意可得正四棱錐的斜高為，底面正方形的邊長為6，正四棱錐的高為，設這個正四棱錐的內(nèi)切球的球心為，半徑為，與側(cè)面相切于，則高線與斜高的夾角為，則，則,，，這個正四棱錐的內(nèi)切球的體積為．故選：B．9．（多選題）已知圓錐的底面半徑r=32，母線長，，是兩條母線，是的中點，則（

）A．圓錐的體積為B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為C．當為軸截面時，圓錐表面上點到點的最短距離為D．面積的最大值為2【答案】BCD【解析】對于A：因為r=32，，所以圓錐的高，所以圓錐的體積，故A錯誤；對于B：設圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，則，即，解得，即圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，故B正確；對于C：當為軸截面時，將圓錐側(cè)面展開可知，點到點的最小距離為，如圖，在中，，由余弦定理得，故C正確；對于D：當為軸截面時，在中，，因為，所以此時為鈍角，又，當時，的面積最大，且最大值為，故D正確；故選：BCD10．（多選題）如圖，四棱臺的側(cè)棱長均相等，四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．該四棱臺的體積為1344B．該四棱臺的側(cè)面積為C．該四棱臺外接球的表面積為D．若在該四棱臺內(nèi)有一個球體，則該球體半徑的最大值為【答案】ABD【解析】如圖1，連接，交于點O，連接，交于點，連接．由題意可得，，則，．在直角梯形中，，該棱臺的體積，A正確．梯形的高為，梯形的高為，則梯形的面積，梯形的面積，該四棱臺的側(cè)面積為，B正確．設該四棱臺外接球的球心為，半徑為R，結(jié)合題意可得在線段上，設，則，由勾股定理得，解得，則，該四棱臺外接球的表面積為，C錯誤．因為，所以當該球體的半徑最大時，該球體與平面及平面相切，設切點分別為Q，P，該球體的球心為，半徑為r，過點Q，P，O，的截面與棱，，，分別交于點E，F(xiàn)，M，N，連接，交于點T，如圖2．

，，由,則，,解得，所以，同理求得．因為，所以，即，解得，經(jīng)檢驗，，符合題意，D正確，故選：ABD11．（多選題）（2024·高三·河南·開學考試）如圖，球被一個距離球心的平面截成了兩個部分，這兩個部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公式為，球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高，記兩個球缺的球冠面積分別為，兩個球缺的體積分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則兩個球缺的底面面積均為B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【解析】對于A，設這兩個球缺的底面圓半徑為，則，因為，，解得，該圓的面積為A錯誤.對于B，設兩個球缺的高分別為，則.由，得，則，所以，解得.，同理得，所以B正確.對于C，.設，由，得，則，C正確.對于D，.由，得.設函數(shù)，則f'x>0在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即D正確.故選：BCD.12．（2024·貴州貴陽·二模）在一個棱長為的正四面體容器內(nèi)放入一個半徑為1的小球，搖晃容器使得小球在容器內(nèi)朝著任意方向自由運動，則小球不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積為.【答案】【解析】如圖：考慮小球O即在正四面體的一個角上時，做平面平面，為平面的中心，則.因為可得，所以,.由題意，考慮小球與正四面體的一個面相切時的情況，易知小球在面上最靠近便得切點的軌跡仍為正三角形，因為，平分，所以，.因為正四面體的棱長為，故小三角形的邊長為，小球與一個面不能接觸到的部分的面積為：.所以幾何體的四個面永遠不可能接觸到容器的內(nèi)壁的面積是.故答案為：13．（2024·陜西銅川·三模）榫卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為正三角形，則該木楔子的外接球的表面積為.

【答案】【解析】如圖，分別過點作的垂線，垂足分別為，連接，則，故.取的中點，連接，又，則.由對稱性易知，過正方形的中心且垂直于平面的直線必過線段的中點，且所求外接球的球心在這條直線上，如圖.設球的半徑為，則，且，從而，即，當點在線段內(nèi)（包括端點）時，有，可得，從而，即球心在線段的中點，其半徑.當點在線段外時，，解得（舍）.故所求外接球的表面積為.故答案為：.14．（2024·吉林·模擬預測）清初著名數(shù)學家孔林宗曾提出一種“蒺藜形多面體”，其可由兩個正交的全等正四面體組合而成（每一個四面體的各個面都過另一個四面體的三條共點的棱的中點）.如圖，若正四面體棱長為2，則該組合體的表面積為；該組合體的外接球體積與兩正交四面體公共部分的內(nèi)切球體積的比值為.【答案】27【解析】該組合體一共有24個面，每一個面都是全等的邊長為1的等邊三角形，則其表面積為;該組合體的外接球也是任意一個正四面體的外接球，可用一個正四面體來看，是的中心，是球心，則，則，，設外接球半徑為，則，又，解得,兩正交四面體公共部分一共有8個面，且每一個面都是全等的邊長為1的等邊三角形，則其表面積為，大正四面體的體積為則每個小正四面體的體積為，則中間部分的體積為，設其內(nèi)切球半徑為，則中間部分的體積也可表示為，解得，故外接球和內(nèi)切球體積之比為故答案為：；.15．（2024·陜西渭南·二模）已知三棱錐外接球直徑為SC，球的表面積為，且，則三棱錐的體積為.【答案】/【解析】設外接球半徑為，則，解得，故，由于均在球面上，故，由勾股定理得，取的中點，連接，則⊥，⊥，，又，平面，故⊥平面，其中，由勾股定理得，在中，由余弦定理得，故，故，故三棱錐的體積為故答案為：1．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（

）

A．24 B．26 C．28 D．30【答案】D【解析】如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.2．（2023年天津高考數(shù)學真題）在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B3．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，左圖中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個相同的直三棱柱重疊而成的幾何體（如右圖）.這兩個直三棱柱有一個公共側(cè)面ABCD.在底面BCE中，若,,則該幾何體的體積為（

）A． B． C．27 D．【答案】C【解析】如圖所示，該幾何體可視為直三柱與兩個三棱錐，拼接而成.記直三棱柱的底面的面積為，高為，所求幾何體的體積為，則，.所以.故選：C.4．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．5．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.6．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】由三視圖還原幾何體，如圖，則該直四棱柱的體積.故選：B.7．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設四邊形ABCD對角線夾角為，則（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為又設四棱錐的高為，則，當且僅當即時等號成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當且僅當，即時，等號成立)所以該四棱錐的體積最大時，其高.故選：C．[方法三]：利用導數(shù)求最值由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當時，最大，此時．故選：C.【點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．8．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．9．（多選題）（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【解析】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側(cè)面積為，B選項錯誤；C選項，設是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選：AC.10．（多選題）（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.11．（多選題）（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】設，因為平面，，則，，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD.12．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．【答案】【解析】由題可得兩個圓臺的高分別為，，所以.故答案為：.13．（