第04講 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

第04講雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解雙

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的幾何量a,b,c,

曲線中a,b,c,e的幾何意義及范圍.

e的意義，會(huì)利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的

2.會(huì)根據(jù)雙曲線的方程解決雙曲線的幾

大小，會(huì)利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決與雙曲線有關(guān)的

何性質(zhì)，會(huì)用雙曲線的幾何意義解決

點(diǎn)、弦、周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題.

相關(guān)問(wèn)題.

趣:知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)雙曲線的相關(guān)性質(zhì)

y1x1

/b2TA京=1

標(biāo)準(zhǔn)方程

(a>0,b>0)(a>0,b>0)

圖形*

WC

范圍x次或爛一a,x￡R,性一4或佗a

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)4（一〃，0）,從2（〃，0）Ai(0,一〃)，A2(0,a)

ba

漸近線y=±~x

性質(zhì))a

離心率e=j,e￡(l,+oo)

線段AiA:叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)度|AiA2|=2a；線段B山2叫做

實(shí)虛軸

雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)度B82|=26。叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b

叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

a,b,c的關(guān)系c2=a1+b2

【微點(diǎn)撥】要點(diǎn)詮釋

I.等軸雙曲線

定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線.

等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y=±x；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率e=J5.

等軸雙曲線可以設(shè)為：x2-y2=2（20）,當(dāng)4>0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng)4<0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上.

2.共漸近線的雙曲線系

如果已知一雙曲線的漸近線方程為y=±2x=土也x（k>。）,那么此雙曲線方程就一定是:

aka

2222

-7^—=y=±l收>0)或?qū)懗扇?=/1.

(ka)2(kb)2a2b2

3.雙曲線的草圖

具體做法是：畫(huà)出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置，然后過(guò)這兩

點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫(huà)出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的

對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出完整的雙曲線.

4.離心率

雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=仝=￡,叫做雙曲線的離心率.范圍：e>l

2aa

雙曲線形狀與e的關(guān)系：k=2="一-=JSI-I=7e2-l,e越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就大,

aaVa

這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊.由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊.

5.共規(guī)雙曲線

以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱(chēng)為原雙曲線的共朝雙曲線.區(qū)別：三

量q力,c中a）不同（互換）c相同.

共用一對(duì)漸近線.雙曲線和它的共軌雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上.

確定雙曲線的共粗雙曲線的方法：將1變?yōu)?1.

共用同一對(duì)漸近線y=土燈;的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設(shè)為--白=〃幾H0）,當(dāng);I>0時(shí)

1k

交點(diǎn)在x軸，當(dāng)XV0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上.

6.準(zhǔn)線方程:

對(duì)于j—「=1來(lái)說(shuō)，相對(duì)于左焦點(diǎn)￡（—c,0）對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線乙：x=-仁，相對(duì)于右焦點(diǎn)尸2（。,0）對(duì)應(yīng)著

ab"c

右準(zhǔn)線4:》=幺;

C

〃2

位置關(guān)系：W2。>丁>0?焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離〃=?。ㄒ步薪箙?shù)）.

對(duì)于二-二二1來(lái)說(shuō)，相對(duì)于上焦點(diǎn)大（0,-。）對(duì)應(yīng)著上準(zhǔn)線人：y=-幺；相對(duì)于下焦點(diǎn)B（0，c）對(duì)應(yīng)著

a~b~c

下準(zhǔn)線4：y=且

c

7.焦點(diǎn)弦：

定義：過(guò)焦點(diǎn)的直線割雙曲線所成的相交弦.

焦點(diǎn)弦公式：可以通過(guò)兩次焦半徑公式得到：

設(shè)兩交點(diǎn)4（玉,y*（%2,為）

當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，

焦點(diǎn)弦只和兩焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)：

過(guò)左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)：|24q=-2。-6（2+%2）,

過(guò)右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)：|A?=-2a+e（X]+x2）.

當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，

過(guò)左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)：|A目=-2a-e（y）+y2）-

過(guò)右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)：目=-2a+e（y+%）?

8.通徑：

定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的相交弦.

2b2

直接應(yīng)用焦點(diǎn)弦公式，得到-

a

【即學(xué)即練1】實(shí)軸長(zhǎng)為4后且過(guò)點(diǎn)A(2,-5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

22?229

BUID.JJ

20162016*一獷1620

【答案】B

【解析】2a=4y[5,/.a=2V5,

??,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則應(yīng)有雙曲線匕的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x應(yīng)滿足IxI>275.

而4點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,不滿足IxlN2百.

J雙曲線的焦點(diǎn)應(yīng)在)，軸上.

22

設(shè)雙曲線的方程為2v--J=

20h2

??,點(diǎn)A(2,—5)在雙曲線上,

254

/.-------=1,h2=16,

20h2

22

.??雙曲線的方程為二-二二1.

2016

【即學(xué)即練2】雙曲線的離心率為亞，則雙曲線的兩條漸近線的夾角是()

A.450B.3O0C.6O0D.9O0

【答案】D

【解析】由特征三角形。4|囪知，cosQAiB尸］==二",

V22

二/048尸45。,...兩漸近線的夾角為90°.

22

【即學(xué)即練3】雙曲線與一0=1的準(zhǔn)線方程為()

a2b2

a2

A.r=±-；=B.y=±

J/yla2+b2

bb2

D.)=士

y[a2+b2

【答案】B

【解析】?；雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，.?.雙曲線的準(zhǔn)線方程為產(chǎn)土

22

【即學(xué)即練4】雙曲線工—21=1的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()

97

7「25「7-25

AA.-B.—C.-—

4444

【答案】C

【現(xiàn)軍析］:々2=9力2=7,，c=4,

???雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±4,0),準(zhǔn)線方程是產(chǎn)土3O.

4

?,?雙曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4一9==,7和4+9==2￡5.

4444

【即學(xué)即練5】準(zhǔn)線方程為產(chǎn)士1,離心率為正的雙曲線的方程是()

A.2x2-2y2=11B.x2-y2=2C.y2—/=2D.y2—x2=-2

【答案】C

【解析】???雙曲線的準(zhǔn)線方程為尸±1，離心率為后，，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，

222

且—=1,—=V2.a-V2,c=2,按=2.雙|11|線的方程為一二+—=1.即y2—x2=2.

ca22

r2y2

【即學(xué)即練6】如果雙曲線^--)-二1上一點(diǎn)尸到它的右焦點(diǎn)的距離為8,那么尸到它的右準(zhǔn)線距離是()

6436

A.10B.莊"C.2V7D.—

75

【答案】D

(解析】雙曲線的離心率e=￡=3=9，設(shè)所求距離為4則§=3..?.仁必.

。84"45

r22

【即學(xué)即練7】雙曲線：^--匕v=1的實(shí)軸長(zhǎng)等于,虛軸長(zhǎng)等于,焦點(diǎn)坐標(biāo)是,離心率

54

是,漸近線方程是.

oRnPc

【答案】2也4Fi(-3,0),F，(3,0)--y=±-----x

55

【即學(xué)即練8］雙曲線2mx2—my2=2的一條準(zhǔn)線是尸1,則m的值為.

【答案】一上4

3

【解析】可知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸匕."VO

22。]a

雙曲線方程可化為卷-工-=1,因此"2=-K/2=_,/=_3

_Z，mmtn

mm

?.?準(zhǔn)線是y=l，序^即-2=.解得，片一土

mVtn3

【即學(xué)即練9】.雙曲線的焦距是兩準(zhǔn)線間距離的4倍，則此雙曲線的離心率等于.

【答案】2

「2/c2

【解析】,**2c=4x-----?\/=4〃2,e2==4,e=2

ca

3

【即學(xué)即練10】已知雙曲線的漸近線方程為尸土，乂則雙曲線的離心率為_(kāi)____.

4

【答案】2或』

43

【解析】?.?雙曲線的漸近線方程為y=±2x,.?.2=3或2=&.當(dāng)2=2時(shí)，e=-；當(dāng)2=9時(shí)，e=-.

4。4。3。44a33

Q能力拓展

考法01

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：基本思路為“先定位，再定量

(1)定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸.一般地，已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可以確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，而

已知雙曲線的離心率、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距時(shí)，不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，此時(shí)應(yīng)分類(lèi)討論；

(2)設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)建立關(guān)于",仇c之間的關(guān)系或方程(組)；

(4)求出的值；

(5)寫(xiě)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

X2V2I—

【典例1】求與雙曲線二―3=1共漸近線且過(guò)4(3后,-3)的雙曲線的方程.

169

【分析】因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設(shè)出雙曲線系，再把已知點(diǎn)代入，求得K的值即

可.

2222

【解析】設(shè)與*?一g=1共漸近線且過(guò)A（36，一3）的雙曲線的方程為=

則駛匕—上半=2,從而有4=11.所求雙曲線的方程為三一虹=1.

4232161199

【即學(xué)即練11】頂點(diǎn)間的距離為6,漸近線方程為y=土;x的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22X2y2

【答案】匕-二=1或E一班=1.

947

【解析】

【分析】先確定a的值，再分類(lèi)討論，求出〃的值，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由題意2a=6,；?4=3.

3

當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，???雙曲線的漸近線方程為＞=±/X,

22

.b3,9---^-=1

??一=—,.??力=一???方程為981；

322:

4

3

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，??,雙曲線的漸近線方程為y=±gx,

oQ22

.?.±=3,.-,=2..?.方程為上―二=1.

b294

22

y2*2￡._X=1

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：匕-工=1或981.

94J

【即學(xué)即練12】已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,與直線2x+y=0交于兩點(diǎn)，若［4臼=2后,

則該雙曲線的方程為（）

A./-x2=25B./-X2=16C.y2-x2=9D.y2-x2=6

【答案】C

【分析】設(shè)出雙曲線方程，聯(lián)立直線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解

【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為V-爐=根，機(jī)＞0,

由，;:得3%2=加，則工=土工\〃?＞0,不妨假設(shè)巧=需\則力=-2工\

由圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，恒卻=2&5可化為|04|=岳，即欄+4義^=屈，解得加=9,

故雙曲線方程為：V-》2=9,故選：C

考法02

雙曲線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）利用雙曲線的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)先把雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再求出其實(shí)軸

長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.

（2）解析幾何中與雙曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題應(yīng)用利用雙曲線的范圍來(lái)解決.

（3）解題中若能恰當(dāng)使用雙曲線的對(duì)稱(chēng)性常能使問(wèn)題迅速解決.

【典例2】求雙曲線——工=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和漸近線方程.

4

【分析】只要緊扣有關(guān)概念和方法，就易解答.

【解析】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程-—1=1

I222

由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=l,虛半軸長(zhǎng)b=2.

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一1,0）,（1,0）,

c=y/a2+/?2=Vl2+22=V5焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(一行，0)?(亞,0).

漸近線方程為：±微=0,即丁=±2犬.

【即學(xué)即練13】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為g的圓錐曲線的焦點(diǎn)在），軸上，則它的漸近線方程為（)

5「443

AA.y=±-xB.y=±—xC.y=±—xD.y=±—x

,434

【答案】D

5.a1+b2_25.b4

【解析】V-=,??—

a3,a2~9a3

?.?雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，，雙曲線的漸近線方程為產(chǎn)土2工.?.所求雙曲線的漸近線方程為＞'=±-x.

b4

2”2

【即學(xué)即練14】若雙曲線二r-2=1（a＞0方＞0）與直線y=2x沒(méi)有公共點(diǎn)，則該雙曲線的離心率e的取

a~h~

值范圍是（）

A.(^,+oo)B.［芯,+oo)C.(1,君］D.(1,75)

【答案】c

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線與直線y=2x的位置關(guān)系即可得解.

【詳解】雙曲線￡-￡=1（。＞0,。＞0）的漸近線），=±.，

crh-a

雙曲線勺直線y=2x沒(méi)有公共點(diǎn)，則2e*居=/產(chǎn)=5|^板

又因?yàn)殡p曲線離心率大于1,所以C選項(xiàng)符合題意.故選：C叫

【即學(xué)即練151求雙曲線9y2—Ex?=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛\/

半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.Zk]\

【解析】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程匯-烏=1

4232

由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a=4,虛半軸長(zhǎng)b=3.

c=y/a2+b2="2+3、=5

焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,—5）,（0,5）.

5

離心率6=上c=2

a4

34

漸近線方程為x=土二y,即〉=±±工.

43

考法03

求雙曲線的離心率（或范圍）的常用方法：（1）若已知a，c,則可直接代入e=￡中求解;

（2）若已知。力，貝！I使用e=求解;

（3）若已知仇c的關(guān)系，則可轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程（或不等式）求解，注意e的范圍為e＞l.

【典例3】如圖8—8,己知梯形ABC。中，IABI=2ICOI,點(diǎn)E分有向線段左所成的比為九雙曲線

?3

過(guò)C、D、E三點(diǎn)、,且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)一VW—時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍.

3--4

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為三-當(dāng)

a2b2

??,雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D,且以A、B為焦點(diǎn)、,由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知C、。關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng).

依題意，記4(―c,0),C(―,h),E(x(),加),

2

其中力是梯形的高.

2

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得的=心生，加=—

2(1+/L)-1+A

?.?點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和右上代入雙曲線方程得:

a

①

②

〃2/2

由①得：勺=代入②并整理得：1

b24e2+2

2

又2女3得：2-<e-1<2

343/+24

解得近三仁師

二.雙曲線離心率的取值范圍為[J7,Vio]

【點(diǎn)睛】2=也可整理為d=巴3=-2+2幾+3=二——2,觀察知近二冬J市.

笳+21-/11-/11-A

22

【即學(xué)即練16】已知雙曲線二-與=1,(。＞0力＞0)的左，右焦點(diǎn)分別為"，居，點(diǎn)P在雙曲線的右支上,

(Th~

且歸用=目尸用，則此雙曲線的離心率e的最大值為()

435

A.-B.-C.2D.-

323

【答案】B

【分析】

根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合已知條件可得歸周=三，再由歸段“-a結(jié)合e=:即可求解.

【詳解】

根據(jù)雙曲線的定義可得歸用-歸國(guó)=2。，

因?yàn)樗膢=5|明，所以附|專(zhuān)，|叫=泉

乙乙

\33

因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線的右支上，所以歸瑪"-%BP-a＞c-a,所以力Nc,所以離心率e=c

22a2

3

所以雙曲線的離心率e的最大值為故選：B.

考法04

雙曲線性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用:

22

【典例3】雙曲線二一21=1與直線產(chǎn)履一1只有一個(gè)公共點(diǎn)，求人的值.

94

【解析】直線y=fcr—1過(guò)(0,—1)點(diǎn)，若使直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，必須直線與雙曲線的漸近線平

行或直線與雙曲線相切.

當(dāng)直線與漸近線平行時(shí)，雙曲線的漸近線方程是廣土|x.；.k=±j.

22

Xy

當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，,石鼠=1=(4—9F)始+18履―45=0

y=kx-l

...△=0即(18無(wú))2+4(4—9/>45=0解得：k^±—.

3

綜上可知：k=土乙或k=土旦.

33

【即學(xué)即練17】若直線/:，=依+2與雙曲線。：/一,2=4的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)攵的取值

范圍是()

A.(-72,-1)B.(1,72)C.(-V2,V2)D.(-1,1)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直線與雙曲線漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線的左支或右支只有一個(gè)交點(diǎn)，然后由直線

/:y=依+2與雙曲線C：/一V=4的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【詳解】當(dāng)直線/：y=fct+2與雙曲線。：/一>2=4的漸近線y=±x平行時(shí)，上=±[,

此時(shí)直線與雙曲線的左支或右支只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

因?yàn)橹本€/：y=京+2與雙曲線C：/一尸=4的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn),

所以人的取值范圍為（一1,1），故選：D.

【即學(xué)即練18】雙曲線爐-丁=1右支上一點(diǎn)p（a,6）到直線y=x的距離為夜，貝lja+b的值是（）

A-4B"C.或gD.2或彳

【答案】B

【分析】23,加點(diǎn)在雙曲線上,則有°2一戶=1,即（a+b）（°-b）=l.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式能夠求出您-力

的值，注意。>人,從而得到的值.

【詳解】???尸（。向點(diǎn)在雙曲線上，，有a?-從印，即3+頌°_方）=1.

???A36）到直線了=。的距離為技，."=器1=&,Ba-b|=2.

又尸點(diǎn)在右支上，則有a>b,.?.a-b=2.，a+6=g,故選：B.

【即學(xué)即練19］如圖，設(shè)「，尸2是雙曲線5->2=］（。>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)寫(xiě)作漸近線的平行線交另

外一條漸近線于點(diǎn)A,若的面積為:，離心率滿足l<e〈夜，則雙曲線的方程為（）

B.——y2=1

4-

c.f-/=iD.—-/=1

2

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系列出關(guān)于漸近線傾斜角與面積的等量關(guān)系式，求出漸近線的傾斜角，從而根

據(jù)漸近線方程計(jì)算。的值，確定雙曲線的方程

【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線OA的傾斜角為。€（0,5，則tan6=一，在等腰三角形AOR中，根據(jù)正弦定理

a

可得：匈=用,得|0川=與八，所以=2x—X|OA|xlOT^Ixsin0=Ctan—=a,解得a=2

s1i°n。s1i°n26>112cocs6?加也2111-122a4

或;，又l<e<&，e=、R,所以a>l,從而a=2,所以雙曲的方程為二-/=1，故選：B

/V。4

【點(diǎn)睛】

本題目比較巧妙的地方在于借助漸近線的傾斜角，得到傾斜角與。的關(guān)系，結(jié)合解三角形的方法來(lái)表示三角

形的面積，求出。的值：題目也可以用漸近線方程直接求解

分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

2222

1.雙曲線--—47=1與一、—工7=入（入加）有相同的（）

a2b2a2b2

A.實(shí)軸B.焦點(diǎn)C.漸近線D.以上都不對(duì)

【答案】C

2.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的正倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（）

22222222

A.±-匯=1BX-^=1C.二-上=D.JJ

44444884

【答案】B

a=2

【解析】由方程組＜20+3=拒?2。,得〃=2力=2.

a2+b2=c2

22

?.?雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-二二1.

44

22

3..雙曲線與橢圓r二+v匕=1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線為產(chǎn)一心則雙曲線方程為（）

1664

A.x2—）^=96B.y2—x2=160C.X2—產(chǎn)=80D.y2—x2=24

【答案】D

22

【解析】山橢圓今+上=1得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—4若）、（0,4百）..?.雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，

1664

?.?雙曲線的一條漸近線為尸一X,:.a=b,而c=4后,...屋+於=（4后）2,2/=48,

二〃=24力2=24,.?.雙曲線的方程為y一爐=24.

4.一對(duì)共聊雙曲線的離心率分別是ei和e2，則ei+e2的最小值為（）

A.V2B.2C.2-V2D.4

【答案】C

【解析】設(shè)這對(duì)共朝雙曲線的方程為二一「=1和二-「=13>0/>0）,

a-b-b-a-

yla2+b2+b2

??e\=--------------,62=---------------，

ab

22222222

..a+ba+/?,a+b_.ba.".bQ、

??3+62)一=---1------1-------1------F2------------=2+(——H——)+2,(—I—)>2+2+2x2=8

ab~aha~b-ab

當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)，等號(hào)成立.從而當(dāng)。=匕時(shí)，e+e2取得最小值，而且最小值為2J2.

5.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是（0,—5）、（0,5）,離心率為1.5,則雙曲線的方程為（)

2

A至上IR9)J9x2c*琮=1n9y29x

JU.-----------1

100125100125125100

【答案】B

【解析】Vc-5,-=1.5,

a

?.10...125

..c=5,a=—,?.b-=c2--a?-----,

39

22

?.?雙曲線的焦點(diǎn)在），軸上，.?.雙曲線的方程為志-擊=1.

99

22

6.設(shè)雙曲線0-4=1（0<a<〃）的半焦距為c,設(shè)直線/過(guò)（&0）和（0,與兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線/的距

ab

離為立C,則雙曲線的離心率為（）

4

A.2B.V3C.V2D.^-

3

【答案】A

【解析】由題意：ab=—c2,：.a2（c2—M）=3產(chǎn)

416

4

整理得：3d—16”+16=0,解之得，=4或廬=2,

3

又U〈a<bn〃2</—=/>2〃2=/>2.故e2=4,，e=2.

7.雙曲線的焦點(diǎn)是（±726,0），漸近線方程是產(chǎn)土（x,則它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（）

A駕B±；26C.丑反D.2后

13131313

【答案】A

【解析】Vc-V26.-=-匕或=2,屏=8,兩準(zhǔn)線間的距離為生_=色底.

a2a24c13

8.雙曲線的兩條準(zhǔn)線把兩焦點(diǎn)所連線段三等分，則它的離心率為（）

A.V2B.A/3C,—D.2V3

2

【答案】B

【解析】'：2x-=-x2c,：.-=y[3.

c3a

o2

9.已知雙曲線E：5-方=1（〃>0）的漸近線方程為〉=±后，則E的焦距等于（）

A.72B.2C.4gD.4

【答案】C

【分析】根據(jù)漸近線方程可求匕，從而可求雙曲線的焦距.

【詳解】由雙曲線E：5-看"小色〉。）可得其漸近線方程為丫=土耳”，

故匕=3,故半焦距°=回與=26，故焦距為46,故選：c.

10.若斜率為血的直線與雙曲線C:《一2t=l（a/>0）,恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍

a1b2

()

A.（1,2）B.（2,-H?）C.（1,百）D.（右,+?）

【答案】D

22

【分析】由斜率為及的直線與雙曲線C:二-馬=l（a,6>0）恒有兩個(gè)公共點(diǎn)可得漸近線的斜率大于上，由

a~h~

此可求離心率的范圍.

22r

【詳解】V斜率為正的直線與雙曲線C：「-2=1（。/>0）恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，.?.->V2,

ab，a

：.~>y/3,：.雙曲線的離心率的取值范圍是（G,+8）,故選：D.

a

題組B能力提升練

丫22

1.已知"、心分別是雙曲線C:0-v4=l（。>0力>0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線C的右支上一點(diǎn)。滿足

ab“

1。。1=|0用，直線片。與該雙曲線的左支交于尸點(diǎn)，且尸恰好為線段耳。的中點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程

為（）

A.>=土；xB.y=±2xC.y=±2>/3xD.y=+3\[2x

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件導(dǎo)出。-，。鳥(niǎo)，再利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理計(jì)算作答.

【詳解】

依題意,令耳IH?，?=，，則有。耳，。鳥(niǎo),

令I(lǐng)。心1=〃，由雙曲線定義得|。耳|=2〃+”,而點(diǎn)P是。B中點(diǎn)且在雙曲線左支上，則

|PQ|=|PFt\=a+t,\PF2\=3a+t,

在用APQ月中，|PQ『+|QE|2=|PK|2,gp(a+t)2+(2t)2=(3a+t)2,解得t=2a,則IQ入l=4a,|Q￡|=6a,

22

在R/A耳Q用中，即36/+16/=4,2,c=]3a,于是得〃=12/,-=2^3,

a

所以雙曲線C的漸近線方程為)，=±2&x.故選：C

2.若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)的橢圓G和雙曲線C?的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn),,B分別是它們的左右焦點(diǎn).設(shè)橢圓離心率為4,

——,—.11

雙曲線周心率為g，若PQP每=0,貝|]二+下=()

e\e2

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】可設(shè)橢圓長(zhǎng)軸為2q,雙曲線的實(shí)軸為2出，焦點(diǎn)為(c,0),設(shè)帆=|兩"=利用橢圓和雙

曲線的定義可得"?+"=2《，加-”|=2%,再利用垂直關(guān)系可得病+/=4。2,

聯(lián)立即可得解.

【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸為24,雙曲線的實(shí)軸為2a2,焦點(diǎn)為(c,0),

設(shè)，〃=|p川，”=,可，所以機(jī)+"=2q,帆_"=2%，

平方和相加可得/+"2=2(。：+42),由斯.麗=0則/耳尸8=90,所以＞+/=(2C)2=4C2,

2211

所以2(必+生2)=4°2,即《2+/2=2。2,生詈_=2,即；r+/=2.

故選：C

2222

3.已知橢圓C：=+與=1(4＞偽＞0)與雙曲線。：4-2=1(的＞(),包＞。)具有共同的焦點(diǎn)耳，尸？,

a~b~a2b~

離心率分別為G，e2,且幺=百.點(diǎn)尸是橢圓C和雙曲線3的一個(gè)交點(diǎn)，且心，則e?=()

e\

A.晅B.見(jiàn)C.收D.亞

324

【答案】c

【分析】設(shè)歸周=4，|p國(guó)=4?根據(jù)圓錐曲線定義與勾股定理可得以="，從而可得4+1=2,結(jié)合

C2e\

旦=百，可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)|尸耳|=「|尸閭=..

在橢圓C中，(2。)’=/+片=(4+4丫-2化=(2々1)2-2竹,

所以2代=4〃；-4/=4".

在雙曲線。中，(2"二片十寸=?-與)2+2皿=(2?2)~+2住，

所以2口=4/一4雨二4砥

所以b；=片,即〃；一°2=。2一%2,

得蠟+a；=2c2,即/+7=2.

因?yàn)榱⒍?，所以=+方=2,解得4=啦.

e2e2

故選：C

4.已知雙曲線G：十南=1(?,>0,4>0)的一條漸近線的方程為>=瓜，且過(guò)點(diǎn)園，橢圓G：

22

￡.+2_=i(?>/7>0)的焦距與雙曲線G的焦距相同，且橢圓G的左右焦點(diǎn)分別為耳解