陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1.2 相關(guān)系數(shù)教案 北師大版選修2-3

陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.1.2相關(guān)系數(shù)教案北師大版選修2-3授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.1.2相關(guān)系數(shù)。該章節(jié)的內(nèi)容包括相關(guān)系數(shù)的定義、計(jì)算方法及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)的收集、整理和描述，以及簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：學(xué)生已掌握的數(shù)據(jù)處理和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為本節(jié)課的相關(guān)系數(shù)學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進(jìn)一步深入理解數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并學(xué)會(huì)運(yùn)用相關(guān)系數(shù)解決實(shí)際問題。同時(shí)，本節(jié)課的內(nèi)容也為后續(xù)的回歸分析學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括：邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)交流。通過學(xué)習(xí)相關(guān)系數(shù)的概念和計(jì)算方法，學(xué)生能夠提高邏輯推理能力，理解并運(yùn)用相關(guān)系數(shù)分析和解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的能力。同時(shí)，通過合作探討和問題解決，學(xué)生能夠提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)交流的能力。在本節(jié)課的教學(xué)過程中，教師將引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過觀察、分析、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感悟相關(guān)系數(shù)在揭示變量之間相關(guān)關(guān)系的作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.相關(guān)系數(shù)的定義和計(jì)算方法。

2.相關(guān)系數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

難點(diǎn)：

1.相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式的推導(dǎo)和理解。

2.相關(guān)系數(shù)在實(shí)際問題中的靈活運(yùn)用。

解決辦法：

1.對(duì)于重點(diǎn)內(nèi)容，通過示例和實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握相關(guān)系數(shù)的定義和計(jì)算方法，通過練習(xí)題鞏固知識(shí)點(diǎn)。

2.對(duì)于難點(diǎn)內(nèi)容，通過圖形和實(shí)際案例的解釋，幫助學(xué)生直觀理解相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，通過小組討論和問題解決，培養(yǎng)學(xué)生的思考和應(yīng)用能力。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.引導(dǎo)法：通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和探索相關(guān)系數(shù)的概念和應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。

2.互動(dòng)式教學(xué)：通過小組討論和問題解決，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生的思考和應(yīng)用能力。

3.實(shí)踐操作：通過實(shí)際案例和練習(xí)題，讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算相關(guān)系數(shù)，加深對(duì)相關(guān)系數(shù)概念的理解和記憶。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：利用多媒體課件和教學(xué)視頻，以圖文并茂的方式呈現(xiàn)相關(guān)系數(shù)的概念和計(jì)算方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理解程度。

2.教學(xué)軟件：運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件或在線教學(xué)平臺(tái)，進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和演示，幫助學(xué)生直觀理解相關(guān)系數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

3.實(shí)物模型：使用相關(guān)系數(shù)模型或圖表，讓學(xué)生直觀感受相關(guān)系數(shù)的大小和意義，增強(qiáng)對(duì)相關(guān)系數(shù)概念的理解。

4.練習(xí)系統(tǒng)：通過在線練習(xí)系統(tǒng)或紙質(zhì)練習(xí)題，提供豐富的練習(xí)題庫(kù)，讓學(xué)生進(jìn)行反復(fù)練習(xí)和自我檢測(cè)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

5.教學(xué)反饋：利用教學(xué)反饋工具，收集學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和問題，及時(shí)進(jìn)行教學(xué)調(diào)整和改進(jìn)，提高教學(xué)效果和效率。教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生對(duì)相關(guān)系數(shù)的興趣和好奇心

過程：教師通過一個(gè)生活中的實(shí)際問題引入相關(guān)系數(shù)的概念，例如分析兩個(gè)人的身高和體重之間的關(guān)系，引發(fā)學(xué)生對(duì)變量之間關(guān)系的思考。

2.相關(guān)系數(shù)的基本概念（10分鐘）

目標(biāo)：學(xué)生能夠理解相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)

過程：教師通過多媒體課件和實(shí)際案例，講解相關(guān)系數(shù)的定義和計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生理解相關(guān)系數(shù)的大小和符號(hào)表示的含義。

3.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法（20分鐘）

目標(biāo)：學(xué)生能夠運(yùn)用相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算

過程：教師通過示例和練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法，學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題，教師進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)和解答疑惑。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力和問題解決能力

過程：教師給出一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)生分組進(jìn)行討論和分析，運(yùn)用相關(guān)系數(shù)的方法解決問題，并進(jìn)行小組匯報(bào)和交流。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：提高學(xué)生的表達(dá)能力和思維邏輯性

過程：教師邀請(qǐng)幾名學(xué)生進(jìn)行課堂展示，分享他們的解題過程和結(jié)果，其他學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和提問，教師進(jìn)行總結(jié)和點(diǎn)評(píng)。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：鞏固學(xué)生對(duì)相關(guān)系數(shù)知識(shí)的理解和記憶

過程：教師對(duì)本節(jié)課的主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)潔明了的總結(jié)，提醒學(xué)生重點(diǎn)掌握相關(guān)系數(shù)的定義、計(jì)算方法和應(yīng)用。教師鼓勵(lì)學(xué)生在課后進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的練習(xí)和應(yīng)用，鞏固所學(xué)知識(shí)。知識(shí)點(diǎn)梳理1.相關(guān)系數(shù)的定義：相關(guān)系數(shù)是衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)程度的指標(biāo)，用符號(hào)ρ表示。相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1到1之間，當(dāng)ρ=1時(shí)表示完全正相關(guān)，ρ=-1時(shí)表示完全負(fù)相關(guān)，ρ=0時(shí)表示無關(guān)。

2.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法：相關(guān)系數(shù)可以通過以下公式進(jìn)行計(jì)算：

ρ=cov(X,Y)/(σX*σY)

其中，cov(X,Y)表示X和Y的協(xié)方差，σX和σY分別表示X和Y的標(biāo)準(zhǔn)差。

3.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）對(duì)稱性：ρ(X,Y)=ρ(Y,X)

（2）同方向性：當(dāng)X增大時(shí)，Y也增大，則ρ為正；當(dāng)X增大時(shí)，Y減小，則ρ為負(fù)。

（3）絕對(duì)值大小：|ρ|越接近1，表示X和Y之間的線性關(guān)系越強(qiáng)；|ρ|越接近0，表示X和Y之間的線性關(guān)系越弱。

4.相關(guān)系數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用：相關(guān)系數(shù)可以用于分析兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系，例如在金融市場(chǎng)中分析股票價(jià)格之間的相關(guān)性，在氣象學(xué)中分析氣溫和降水之間的關(guān)系等。通過相關(guān)系數(shù)的大小和符號(hào)，可以判斷變量之間的線性關(guān)系的方向和強(qiáng)度。

5.相關(guān)系數(shù)的局限性：相關(guān)系數(shù)只能衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性關(guān)系，對(duì)于非線性關(guān)系無法進(jìn)行衡量。同時(shí)，相關(guān)系數(shù)受到極端值的影響較大，當(dāng)數(shù)據(jù)中存在異常值時(shí)，相關(guān)系數(shù)的值可能會(huì)受到較大影響。

6.相關(guān)系數(shù)與回歸分析的關(guān)系：相關(guān)系數(shù)是回歸分析中的一個(gè)重要概念。在回歸分析中，通過建立自變量和因變量之間的線性模型，可以得到回歸方程。相關(guān)系數(shù)可以用來衡量回歸方程的擬合程度，即自變量和因變量之間的線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向。

7.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算工具：在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過統(tǒng)計(jì)軟件或在線計(jì)算工具來計(jì)算相關(guān)系數(shù)。這些工具通常提供了友好的用戶界面，用戶只需輸入數(shù)據(jù)即可得到相關(guān)系數(shù)的值。

8.相關(guān)系數(shù)在實(shí)際案例中的應(yīng)用實(shí)例：

（1）分析消費(fèi)者的購(gòu)買行為：通過調(diào)查消費(fèi)者的年齡、收入和購(gòu)買某種商品的數(shù)量，計(jì)算相關(guān)系數(shù)來分析年齡和收入與購(gòu)買數(shù)量之間的關(guān)系。

（2）評(píng)估投資組合的風(fēng)險(xiǎn)：通過計(jì)算不同股票之間的相關(guān)系數(shù)，分析投資組合中各股票之間的相關(guān)性，以評(píng)估投資組合的風(fēng)險(xiǎn)和收益。典型例題講解1.例題1：已知一組數(shù)據(jù)X和Y，其中X的值為1,2,3,4,5，Y的值為5,4,3,2,1。求這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計(jì)算X和Y的平均值，分別為(1+2+3+4+5)/5=3和(5+4+3+2+1)/5=3。然后計(jì)算X和Y的協(xié)方差，協(xié)方差為[(1-3)*(5-3)+(2-3)*(4-3)+(3-3)*(3-3)+(4-3)*(2-3)+(5-3)*(1-3)]/5=[2*2+(-1)*1+0*0+1*(-1)+2*(-2)]/5=[4-1+0-1-4]/5=-2/5。接著計(jì)算X和Y的標(biāo)準(zhǔn)差，X的標(biāo)準(zhǔn)差為sqrt([(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]/5)=sqrt([4+1+0+1+4]/5)=sqrt(2)；“Y的標(biāo)準(zhǔn)差為sqrt([(5-3)^2+(4-3)^2+(3-3)^2+(2-3)^2+(1-3)^2]/5)=sqrt([4+1+0+1+4]/5)=sqrt(2)。最后計(jì)算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(X,Y)/(σX*σY)=(-2/5)/(sqrt(2)*sqrt(2))=-1/5。所以這組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為-1/5。

2.例題2：某企業(yè)對(duì)兩種不同廣告媒體的宣傳效果進(jìn)行了調(diào)查，記錄了兩種廣告媒體觀看人數(shù)與銷售額的關(guān)系，如下表所示：

廣告媒體觀看人數(shù)銷售額

A10005000

B20008000

C300012000

D400017000

求兩種廣告媒體之間的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計(jì)算觀看人數(shù)和銷售額的平均值，分別為(1000+2000+3000+4000)/4=2500和(5000+8000+12000+17000)/4=10000。然后計(jì)算觀看人數(shù)和銷售額的協(xié)方差，協(xié)方差為[(1000-2500)*(5000-10000)+(2000-2500)*(8000-10000)+(3000-2500)*(12000-10000)+(4000-2500)*(17000-10000)]/4=[-15000000+5000000+7500000+15000000]/4=5000000/4=1250000。接著計(jì)算觀看人數(shù)和銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差，觀看人數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為sqrt([(1000-2500)^2+(2000-2500)^2+(3000-2500)^2+(4000-2500)^2]/4)=sqrt([2500^2+2500^2+2500^2+2500^2]/4)=sqrt(6250000/4)=2500；銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差為sqrt([(5000-10000)^2+(8000-10000)^2+(12000-10000)^2+(17000-10000)^2]/4)=sqrt([5000^2+2000^2+2000^2+7000^2]/4)=sqrt(7050000/4)=17625。最后計(jì)算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(觀看人數(shù),銷售額)/(σ觀看人數(shù)*σ銷售額)=1250000/(2500*17625)=0.48。所以兩種廣告媒體之間的相關(guān)系數(shù)為0.48。

3.例題3：某班級(jí)對(duì)學(xué)生的身高和體重進(jìn)行了測(cè)量，記錄了30名學(xué)生的身高和體重?cái)?shù)據(jù)，如下表所示：

學(xué)生編號(hào)身高（cm）體重（kg）

117060

216555

316862

.........

3018080

求學(xué)生身高和體重之間的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計(jì)算身高和體重的平均值，分別為(170+165+168+...+180)/30和(60+55+62+...+80)/30。然后計(jì)算身高和體重的協(xié)方差，協(xié)方差為[(170-平均身高)*(60-平均體重)+(165-平均身高)*(55-平均體重)+(168-平均身高)*(62-平均體重)+...+(180-平均身高)*(80-平均體重)]/30。接著計(jì)算身高和體重

的標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差為sqrt([(170-平均身高)^2+(165-平均身高)^2+(168-平均身高)^2+...+(180-平均身高)^2]/30)和sqrt([(60-平均體重)^2+(55-平均體重)^2+(62-平均體重)^2+...+(80-平均體重)^2]/30)。最后計(jì)算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(身高,體重)/(σ身高*σ體重)=協(xié)方差/(標(biāo)準(zhǔn)差*標(biāo)準(zhǔn)差)。通過計(jì)算可得到相關(guān)系數(shù)的值。

4.例題4：某地區(qū)對(duì)居民的收入和消費(fèi)水平進(jìn)行了調(diào)查，記錄了500戶居民的收入和消費(fèi)水平數(shù)據(jù)，如下表所示：

居民編號(hào)收入（元）消費(fèi)水平（元）

150003000

260004000

370005000

.........

500800010000

求居民收入和消費(fèi)水平之間的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計(jì)算收入和消費(fèi)水平的平均值，分別為(5000+6000+7000+...+8000)/500和(3000+4000+5000+...+10000)/500。然后計(jì)算收入和消費(fèi)水平的協(xié)方差，協(xié)方差為[(5000-平均收入)*(3000-平均消費(fèi)水平)+(6000-平均收入)*(4000-平均消費(fèi)水平)+(7000-平均收入)*(5000-平均消費(fèi)水平)+...+(8000-平均收入)*(10000-平均消費(fèi)水平)]/500。接著計(jì)算收入和消費(fèi)水平的標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差為sqrt([(5000-平均收入)^2+(6000-平均收入)^2+(7000-平均收入)^2+...+(8000-平均收入)^2]/500)和sqrt([(3000-平均消費(fèi)水平)^2+(4000-平均消費(fèi)水平)^2+(5000-平均消費(fèi)水平)^2+...+(10000-平均消費(fèi)水平)^2]/500)。最后計(jì)算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(收入,消費(fèi)水平)/(σ收入*σ消費(fèi)水平)=協(xié)方差/(標(biāo)準(zhǔn)差*標(biāo)準(zhǔn)差)。通過計(jì)算可得到相關(guān)系數(shù)的值。

5.例題5：某研究者對(duì)某疾病的發(fā)病率和濕度進(jìn)行了調(diào)查，記錄了不同地區(qū)的發(fā)病率和濕度數(shù)據(jù)，如下表所示：

地區(qū)編號(hào)發(fā)病率（例/萬人）濕度（%）

12060

22555

33050

.........

104040

求疾病發(fā)病率和濕度之間的相關(guān)系數(shù)。

答案：首先計(jì)算發(fā)病率和濕度的平均值，分別為(20+25+30+...+40)/10和(60+55+50+...+40)/10。然后計(jì)算發(fā)病率和濕度的協(xié)方差，協(xié)方差為[(20-平均發(fā)病率)*(60-平均濕度)+(25-平均發(fā)病率)*(55-平均濕度)+(30-平均發(fā)病率)*(50-平均濕度)+...+(40-平均發(fā)病率)*(40-平均濕度)]/10。接著計(jì)算發(fā)病率和濕度的標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差為sqrt([(20-平均發(fā)病率)^2+(25-平均發(fā)病率)^2+(30-平均發(fā)病率)^2+...+(40-平均發(fā)病率)^2]/10)和sqrt([(60-平均濕度)^2+(55-平均濕度)^2+(50-平均濕度)^2+...+(40-平均濕度)^2]/10)。最后計(jì)算相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)為cov(發(fā)病率,濕度)/(σ發(fā)病率*σ濕度)=協(xié)方差/(標(biāo)準(zhǔn)差*標(biāo)準(zhǔn)差)。通過計(jì)算可得到相關(guān)系數(shù)的值。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

教師通過觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)，了解學(xué)生對(duì)相關(guān)系數(shù)概念的理解和掌握情況。包括學(xué)生的參與度、回答問題的準(zhǔn)確性、對(duì)相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法的掌握程度等。

2.小組討論成果展示：

教師通過觀察學(xué)生的小組討論和成果展示，了解學(xué)生對(duì)相關(guān)系數(shù)應(yīng)用的理解和運(yùn)用能力。教師可以評(píng)價(jià)學(xué)生的討論過程是否積極、合作是否有效、成果是否清晰且有邏輯性。

3.隨堂測(cè)試：

教師可以設(shè)計(jì)一些隨堂測(cè)試題，包括計(jì)算相關(guān)系數(shù)的題目和應(yīng)用相關(guān)系數(shù)的實(shí)際問題。通過測(cè)試結(jié)果，了解學(xué)生對(duì)相關(guān)系數(shù)的理解和應(yīng)用能力。

4.作業(yè)完成情況：

教師可以評(píng)價(jià)學(xué)生完成作業(yè)的情況，包括作業(yè)的準(zhǔn)確性、對(duì)相關(guān)系數(shù)的理解和應(yīng)用能力等。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：

教師根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)、小組討論成果展示、隨堂測(cè)試和作業(yè)完成情況，進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，給出具體的反饋。教師可以指出學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方，鼓勵(lì)學(xué)生的進(jìn)步，并提供進(jìn)一步學(xué)習(xí)的建議。板書設(shè)計(jì)1.相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)是衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)程度的指標(biāo)，用符號(hào)ρ表示。相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1到1之間，當(dāng)ρ=1時(shí)表示完全正相關(guān)，ρ=-1時(shí)表示完全負(fù)相關(guān)，ρ=0時(shí)表示無關(guān)。相關(guān)系數(shù)具有對(duì)稱性、同方向性和絕對(duì)值大小等性質(zhì)。

2.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法

相關(guān)系數(shù)可以通過以下公式進(jìn)行計(jì)算：

ρ=cov(X,Y)/