2021年中考復(fù)習(xí)之-平行四邊形存在性問題

存在（ciinzdi）性系列之平行四邊形存在（cHnz立i）性問題

考慮到求證（qiiizheng）平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：

（1）對應(yīng)邊平行（pingxing）且相等；

（2）對角線互相（3x運(yùn)ng）平分.

這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：

X-X=X-X

（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：ABDC

y,-yB=%7c

可以理解為點(diǎn)8移動到點(diǎn)A,點(diǎn)C移動到點(diǎn)。，移動路徑完全相同.

（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：22

以+凡

.2~2

可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn).

【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一:

XXXXx+x=x+x

A-B=D-C-?AcDB

yA-yB^yD-yc

X八+x..XB+X"

,2~2_^[xA+xc=xB+xD

Xi+_yB+yD1以+凡="+媼

2一2

當(dāng)AC和8。為對角線時，結(jié)果可簡記為:A+C^B+D（各個點(diǎn)對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）

以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一

問：若坐標(biāo)系中的4個點(diǎn)A、B、C、。滿足“A+OB+D”，則四邊形A8CD是否一定為平行四

邊形？

反例如(lini)下:

D

c

之所以存在(ciinzQ)反例是因?yàn)椤八倪呅蜛B。是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個點(diǎn)”并

不是(3shi)完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例.

雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題。詢⑴，另外，還需注意對對角線的討論：

(1)四邊形A8CD是平行四邊形：AC,8。一定(yiding)是對角線.

(2)以A、B、C、。四個點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論.

【題型分類】

平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印焙汀皟啥▋蓜印眱纱箢悊栴}.

1.三定一動

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)。使得以A、B、C、。四個點(diǎn)為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

思路：利用對角線互相平分，分類討論：

設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(孫n),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

(1)5c為對角線時，可得以7,6);

(2)AC為對角線時，解得4㈠,4);

⑶A5為對角線時，解得2(3,0).

當(dāng)然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用(btiybng)列方程解，直接列算式即可.

比如(binl)：D=B+C-A,D2=A+C-B,D}=A+B-C.(此處特指點(diǎn)(zhid近n)的橫縱坐標(biāo)相

加減)

2.兩定兩動

已知A(1,1)、B(3,2),點(diǎn)。在x軸上，點(diǎn)。在y軸上，且以A、B、C、。為頂點(diǎn)

(dingd詢n)的四邊形是平行四邊形，求C、。坐標(biāo)(zu6b話o).

【分析】

設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(山，0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,〃)，又A(1,1)、B(3,2).

1+：=m+0,解得/M=4

(1)當(dāng)A5為對角線時，■,故。(4,0)、。(0,3)；

11+2=0+〃〃=3

'"『+0,解得］m=2

(2)當(dāng)AC為對角線時，■,故。(2,0).D(0,-1)；

1J+0=2+〃〃=-1

1+0=3+加，解得＜m=2

(3)當(dāng)為對角線時，.~,故C(.2,0)、D(0,1)

1+〃=2+0n=1

【動點(diǎn)綜述(zOngshii)】

“三定一動”的動點(diǎn)和“兩定兩動”的動點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動”中動點(diǎn)是在平面中，

橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個字母表示(bi&oshi),這樣的我們姑且稱為“全動點(diǎn)”，而有一

些動點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，用一個字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動點(diǎn)”.

從上面例子可以(keyi)看出，雖然動點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個字母表示出4個點(diǎn)坐

標(biāo).若把一個字母稱為一個“未知量”也可理解為：全動點(diǎn)未知量=半動點(diǎn)未知量x2.

找不同圖形的存在(ciinzAi)性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊

形，只能有2個未知量.究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：

(1)對邊平行(pftigxing)且相等;

(2)對角線互相平分.

x+x=x+x

但此兩個性質(zhì)統(tǒng)一成一個等式:AcBl)

yA+%=yB+%

兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只

能存在2個未知量.

由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知動點(diǎn)設(shè)計，由動點(diǎn)設(shè)計可化解問題.

【2022宜賓中考】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知拋物線了=辦2_2x+c與直線y=b+都經(jīng)過/(0,-3)、8(3,0)兩

點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為C.

(1)求此拋物線和直線的解析式；

(2)設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,在射線EB上是否存在一點(diǎn)M,過M作x軸的垂線交拋物

線于點(diǎn)M使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由：

(3)設(shè)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)B面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求面積

的最大值.

【分析（傳nxf）】

2

(1)拋物線：y=x-2x-3f直線(zhixRm)4B：y=x-3;

(2)考慮(kHol(l)EC〃/MN,故若使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形，則EC=MN即可,

,:E(1,-2)、C(1,-4),

:,EC=2,

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（zubbid。）為（m,///-3）（/n>l）,則N點(diǎn)坐標(biāo)（zubbido）為（見加？-2加-3卜

則MN=MN=-2m-3)-(/w-3)|=|/w2-3/w|

由題意得：M?-3司=2,

m2-3m=21解得：m=

}3+,（舍），

對應(yīng),點(diǎn)坐標(biāo)為h”今且

2

m-3m=-29解得：w3=2,m4=1(舍).

對應(yīng)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1).

(3)鉛垂法可解.

【2022河南中考(zhOngkdo)(刪減)]

如圖，拋物線歹=加+6》+0交x軸于A、B兩點(diǎn),交》軸于點(diǎn)C.直線(zhixiAn)y=x-5經(jīng)過

(jTnggud)B.C.

(I)求拋物線的解析(jiexT)式；

(2)過點(diǎn)/的直線(zhixiAn)交直線5c于點(diǎn)M.當(dāng)8c時，過拋物線上一動(yldOng)點(diǎn)P(不與點(diǎn)

B，C重合)，作直線的平行線交直線BC于點(diǎn)Q,若以點(diǎn)A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【分析】

（1）y=-x2+6x-5;

(2)考慮(kdoKi)到AM〃尸Q,故只需AM二PQ即可.

過點(diǎn)4作8C的平行線，與拋物線交點(diǎn)(jiGodidn)即為尸點(diǎn),

易得直線(zhlxidn)AP的解析0位xi)式：y二工一1,

2

聯(lián)立方程(liGn1ifdngch6ng)：-x+6x-5=x-1,解得：=1(舍)，x2=4,

故對應(yīng)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)；

作點(diǎn)A最新B點(diǎn)的對稱點(diǎn)H,過點(diǎn)A作BC的平行線，

與拋物線的交點(diǎn)亦為題目所求尸點(diǎn)，

易求直線解析式：y=x-9,

2

聯(lián)立方程：-x+6x-5=x-9,解得：x=5+,x2=---

222

故對應(yīng)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(山曳,73+歷)(三亙二12二電'

I22)[22)

'5+?-13+囚）‘5一a-13-

綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)(zubbido)為(4,3)、

、2，2I-2~，2

【2022郴州中考(zhdngkdo)(刪減)]

如圖，已知拋物線夕=-/+版+，與》軸交于/(-1,0),3(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線上

在第一(diyl)象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為7.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線的對稱軸為/,/與x軸的交點(diǎn)(jiaodi*n)為。.在直線(zhixiAn"上是否(shif6u)存在點(diǎn)M,

使得(shide)四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)拋物線：y=-/+2x+3;

(2)由題意可知CP、DM為對角線，

考慮DW在直線4-1上，故CP中點(diǎn)在直線x=-l上，

?.?點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,3),故點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2,代入解析式得P(2,3),

易知M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6).

【三定一動】

(2021?恩施州中考(zhOngkdo)刪減)如圖，已知拋物線交x軸于A、8兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)

(zuGbiao)為(-1,0),0C=2,08=3,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)(dingd詢n).

(1)求拋物線的解析。危xT)式;

(2)P為坐標(biāo)平面(pingmiAn)內(nèi)一點(diǎn)，以8、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)坐標(biāo).

【分析】

2

(1)拋物線：y=-lx+-x+2;

33

(2)設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(”?，〃)，又5(3,0)、C(0,2)、

3+0=6+1Z一/2、

①若8c為對角線，由題意得：8,解得:2，故勺的坐標(biāo)為(2,卜

0+2=〃+—

3

3+1=/w+0機(jī)=4(2、

②若80為對角線，由題意得：8，解得:2,故巴坐標(biāo)為4,4卜

0+—=〃+2〃I3J

3

機(jī)+3=0+1m=-2

③若8P為對角線，由題意得：8,解得:14，故6坐標(biāo)為

〃+0=2+—n=一

3

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-g)、,2,弓).

【兩定兩動：九軸+拋物線】

(2021?濟(jì)寧中考(zhGngkdo)刪減)如圖,已知拋物線y+反+以。/0)經(jīng)過(jinggu。)點(diǎn)力(3,0),

B(-1,0)，0(0,—3)?

(I)求該拋物線的解析。詢xT)式；

(2)若點(diǎn)。在x軸上，點(diǎn)尸在拋物線上，是否(shif6u)存在以點(diǎn)8,C,Q,P為頂點(diǎn)(dingdimn)的四邊

形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

一一

I

【分析】

2

(1)拋物線：y=x-2x-3t

(2)列方程組求：設(shè)尸(犯病-2m-3)、又B(-1,0)、C(0,-3),

?1-14-0=/W+W解得：『=2或『=。(舍)，

①若5c為對角線，由題意得：\,

0-3=w2-2w-3+0〃=-3[n=-1

故對應(yīng)的P(2,-3)；

②若稗為對角線,由題意得：｛:[zw=2_p,[m=0人

解得：或《，(舍)，

n=1[n=-l

故對應(yīng)的P(2,-3)：

③若6。為對角線，由題意得：I"”：。，解得：1=1+4或卜=1一7，

0+0=機(jī)2-2加一3-3=2+V7n=2-\Jl

故對應(yīng)的尸(1+77,3)、(1-77,3).

Av/VA

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3)、(1+近,3)、(l-x/7,3).

【兩定兩動：對稱軸+拋物線】

(2022?包頭(bOot6u)中考(zh6n9kdo)刪減)如圖，在平面(pingm齒n)直角坐標(biāo)系中，已知拋物線

3=62+辰+2(“。)與工軸交于4(-1,0),8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接(liGnj語)BC.

(1)求該拋物線的解析。諳xf)式，并寫出它的對稱軸；

(2)若點(diǎn)N為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以B,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)拋物線：y=--x2+-x+2,對稱軸：直線x=l；

'33

24c

(2)設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為m,——k2+一加+2,N點(diǎn)坐標(biāo)為

33

又8(3,0)、C(0,2)

3+0=m+1

m=2j,一“/

①若BC為對角線，由題意得：，2,4，解得:，故M點(diǎn)為(2,

0+2=——m+—zw+2+〃〃=0

33

2)；

3+1=w+0m=4

②若BN為對角線，由題意得：，2，解得:4，故M點(diǎn)為

0+〃=—m2+-m+2+2n=——

333

4,-§；

加+3=1+0w=-2

③若BM為對角線，由題意得：，24,解得：16，故M點(diǎn)為

—?H—加+2+0=2+〃n=---

333

綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)、卜,號_2_10

【兩定兩動：斜線+拋物線】

(2022?咸寧中考(zh6n9kdo)刪減)如圖，在平面(pfngmi&n)直角坐標(biāo)系中，直線y=-；x+2與x軸交于

點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,拋物線^=-1./+外+0經(jīng)過(jTnggu6)A,8兩點(diǎn)且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析(jidxT)式；

(2)己知￡,b分別(fSnbid)是直線48和拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)3，O，E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形時，直接寫出所有符合條件的E點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】

17

(1)拋物線：y=--X2+-X+2;

22

(2)設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)(zubbido)為+,/點(diǎn)坐標(biāo)(zubbiGo)為+|.〃+2

又B(0,2)、0(0,0),

0+0="+〃

①若08為對角線，由題意⑴yi)得：，113

0+2=——加+2——n+—〃+2

222

町=-2-2&-m=-2+2\/2

解得：_或，2

々=2+2V2n2=2-272

0+m=0+〃

②若0E為對角線，由題意（Hyi）得:I12^

n0——加+2n=2n——n+—〃+2

222

e=2+2>/2w=2-25/2

解得:4

%=2+2及4=2-20

故E點(diǎn)坐標(biāo)為（2+2夜,1-夜）或（2-2夜,1+四）；

o+〃=o+加

③若。尸為對角線，由題意得：1,31，解得:

0——+一“+2=2——〃？+2

222

故E點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）.

【兩定兩動：拋物線+拋物線】

(2022?連云港中考(zh6n9kdo)刪減)如圖，在平面(pingmian)直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線

L,:y=x2+fcv+c過點(diǎn)C(0,-3),與拋物線右：y-《》+2的一個(列9。交點(diǎn)為A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

為2,點(diǎn)尸、。分別(信nbid)是拋物線4、4上的動點(diǎn).

(1)求拋物線。對應(yīng)(duiying)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若以點(diǎn)A、C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

備用圖

【分析】

（1）L］解析（jimxi）式：y=x2-2x-3；

（2）雖然（suirdn）兩個動點(diǎn)均在拋物線上，仍可用設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解.

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（zubbiao）為（加，加-2〃?-3）,Q點(diǎn)坐標(biāo)（zuObido）為-1+2

又C（0,-3）、A（2,-3），

0+2=6+〃

①若C4為對角線，由題意（tiyi）得“,1,3

-3-3=-2m-3——〃-——n+2

22

解得：卜7或1二°（舍），故尸點(diǎn)坐標(biāo)為（.3,12）；

\n=5\n=2

0+/w=2+w

②若CP為對角線，由題意得:

-3+/w2-2m-3=-3--n2-—n+2

22

4

解得：1二3或「一3,故P點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）或巨

1/?=110（39

n-----

3

0+勿=2+加

③若CQ為對角線，由題意得:132

-3——n2—n+2=-3+w-2m-3

22

解得:仁「或仁（舍），故尸點(diǎn)坐標(biāo)為5。）?

綜上所述，尸點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,12）、（3,0）、W裝］、（-1，0）?

【四動點(diǎn)構(gòu)造】

（2022?錦州中考（zhOngkdo）刪減）如圖，在平面（pingm詢n）直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-之工+3的圖像

4

（Uix詢ng）與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于3點(diǎn)，拋物線y=-』+fer+c經(jīng)過（jTnggu。）A,B兩點(diǎn),在第一象

限（xi&ngxi&n）的拋物線上取一點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。CJ_x軸于點(diǎn)C,交直線AB于點(diǎn)E.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式

（2）尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合），點(diǎn)G是線段回上的動點(diǎn).連接。尸，F(xiàn)G,

當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).

【分析】

（1）拋物線：y=-x2+