第三章 函數(shù) 綜合（同步）-高中數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊

第三章函數(shù)

一、單選題

,、f1,,、

1.狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個典型函數(shù)：若"X=八xeQ:,則稱y=/x)為狄

0,xwQQ，

利克雷函數(shù).給出以下四個命題：

①對任意xcR,都有〃〃力)=1;

②對任意內(nèi)、再wR,都有-/(電)歸1；

③對任意內(nèi)、x,eR,都有/(玉+9)=/(%)；

④對任意xwR,都有/(力+/(-力=0.

其中，真命題的序號是()

A.①③B.①②C.??D.③?

2.已知函數(shù)/(x)=x-心石+5,當(dāng)1WXW9時(shí)，/(%)>1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

()

A.[8，§)B.(—oo,5)C.(-^，勺D.(-oo,5]

3.若“玉4，2],使2丁_祈_1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是()

A.Y,/B.g，mc.y,i]D.[1,e)

2

4.已知不等式」r-k上+^任k>0對任意的正整數(shù)人成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為()

x-k+l

A.(9,-2)52,3)B.18,一31](2,3)

C.(f—2)U(3,4)D.(F；T)U(3,4)

5.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(1-幻=-/(1+幻，/0)=1,則

/(0)+/(1)+?..+/(2020)=()

A.-1B.0C.1D.2020

6.在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)》=，方(〃為大于0的常數(shù))所表示的曲線叫箕舌線.則箕舌

x+優(yōu)

線可能是下列圖形中的()

7.若/a）,g。）都是奇函數(shù)，且尸（x）=a/a）+〃ga）+2在（o,+g）上有最大值8,則尸（外

在（-8,0）上有（）

A.最小值-8B.最大值-8C.最小值-6D.最小值-4

8.已知“X）是偶函數(shù)，它在［O,M）上是增函數(shù).若/（lgx）＜〃-l）,則冗的取值范圍是

B?B?（電？）C①。）D.（0,1）510,同

二、多選題

9.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的

函數(shù)小）弋:二黑露,稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于〃"，下列說法正確的是（）

A.〃力的值域?yàn)椋?,1］

B./（力的定義域?yàn)镽

C.PxwR,/（/（x））=l

D.任意一個非零有理數(shù)T,〃x+T）=f（x）對任意xcR恒成立

10.關(guān)于函數(shù)〃力斗In|2-刈，下列描述正確的有（）

A.函數(shù)/（力在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)丁=/（另的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.若用工9，但/（芭）=/（毛），則$+%2=4

D.函數(shù)f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)

-x+2,x<1

11.己知/*)=!左,.「［常數(shù)七0),則()

-+A:+2,x>l

x

A.當(dāng)k>0時(shí)，/a)在R上單調(diào)遞減

B.當(dāng)Q-g時(shí)，f(x)沒有最小值

C.當(dāng)&=-1時(shí)，/(?的值域?yàn)?0.+oo)

D.當(dāng)北二一3時(shí)，Vx,>l,叫<1,有/(3)+/(占)=0

12.下列說法正確的是()

A.若方程/+(〃-3)X+。=0有一個正實(shí)根，一個負(fù)實(shí)根，則。<0

B.函數(shù)貝x)=J?=T+成二/是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)

C.若函數(shù)九1)的值域是［-2,2］,則函數(shù)人r+1)的值域?yàn)椋?3,1］

D.曲線y=|3一f|和直線y=a(a￡R)的公共點(diǎn)個數(shù)是小，則根的值不可能是1

三、填空題

13.定義在(TD上的函數(shù)函外滿足/3=g(力-g(T)+l,對任意的%,%6(-1/)3=七，

恒有［/(與)一/(毛)］&一/)>0,則關(guān)于“的不等式/(2x+l)+/(x)>2的解集為

14.已知函數(shù)/(x)=|x+l|-卜-4若對X/xwR,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是.

15.已知定義在R上的函數(shù)/*)滿足〃x+l)=工，當(dāng)%￡(0,1］時(shí)，/(x)=2\則

fM

3

/dog—)+/(2018)=___________.

216

x,x<\,

16.設(shè)函數(shù)〃力=12,,則不等式/(1一兇)+〃2)>0的解集為______.

(x-i)+l,x>l,

四、解答題

已知函數(shù)/(力=署^

17.是定義在(-1，1)上的奇函數(shù)，且/0=1-

(1)確定函數(shù)/(X)的解析式;

(2)用定義法證明/(同在(-L1)上是增函數(shù);

(3)解關(guān)于x的不等式f(xT)+f(x)<0.

18.已知函數(shù)丁=馬把(久〃為正實(shí)數(shù))的圖像是中心對稱圖形，求它的對稱中心的坐標(biāo).

2-a

19.已知函數(shù)/(力=當(dāng)9是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)，且/(1)=5?

(1)用定義證明函數(shù)，(另在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增；

(2)解不等式/(1+I)+/(2〃L2)>0.

20.已知/(可是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，且當(dāng)2,0)時(shí)，f(x)=x2-x.

(1)求函數(shù)/(x)在［-22］上的解析式;

(2)若/(力2加一2卬〃一9對所有xe［—2,2］,恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

21.定義在(-Li)上的函數(shù)/(x)滿足：對任意的…都有"x)+/(y)=f(巖)

(1)求證：函數(shù)〃力是奇函數(shù)；

(2)若當(dāng)x?T,O］時(shí),有f(x)>0,求證：f(x)在(-1,1)上是減函數(shù);

(3)在(2)的條件下，若也)=7，"")?產(chǎn)一2m—1對所有xe-生，恒

成立，求實(shí)數(shù)z的取值范圍.

22.某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知

該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)

之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為-200X+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用

的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.

(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼

多少元才能使該單位不虧損？

參考答案

1.B

【分析】

根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義，然后討論x是有理數(shù)和無理數(shù)兩種情況，進(jìn)而判定各個答案.

【解析】無論x是有理數(shù)或是無理數(shù)，f(x)的值必為有理數(shù)，因此/(/(力)=1恒成立，所

以①對；

對任意X|、|/(5)一/(X2)|的值只能為?；?，所以②對：

當(dāng)再為無理數(shù)，％為有理數(shù)時(shí)，M為無理數(shù)，因此/(芭+9)=0,〃W)=1，所以③錯:

當(dāng)X為有理數(shù)時(shí)，一也為有理數(shù)，因此/(X)+/(T)=2,所以④錯.

故選：B.

2.C

【分析】

通過換元令t=五，函數(shù)可變?yōu)間(。=『-〃"5將/(力>1恒成立可轉(zhuǎn)化為g⑺>1在14Y3

上恒成立.即y=——血+4,止［1,3］大于。恒成立，通過對用與區(qū)間［1,3］之間的關(guān)系討論得

出結(jié)果.

【解析】令34,則由1W9,得7￡口,3］.由題意，得

g")=/一皿+5=，—孩［+5-'>1在［1,3］上恒成立，故有屋，僵>1.①當(dāng)空1,即

用42時(shí)，函數(shù)g(f)在［1,3］上單調(diào)遞增，g(Oniin=^(l)=6-w,由6-5>1,得小<5,因

此加42.

②當(dāng)1告3,即2<帆<6時(shí)，g0min=g(^)=5號，由5—］>1,得-4<〃?<4,因此

2<m<4.

③當(dāng)晟23,即時(shí)，函數(shù)g(/)在［L3］上單調(diào)遞減，^Wniin=^(3)=14-3^,由

14-3/77>1,得〃與m>6矛盾.

3

綜上，m<4.

故選：C.

3.C

【分析】

等價(jià)于WXG[1,2],恒成立，令〃x)=2x」，xe[l,2],求出最小值即得

XX

解.

【解析】解：若“3xw[l,2],使得2f-〃-1<0成立”是假命題，

即“入71,2],使得2>2%」成立”是假命題，

X

故DXG[1,21,4,2x-1恒成立，

X

令/3)=2x-‘，XGU,2],所以f(x)是增函數(shù)(增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù))，

X

所以，(工焉=")=1，

「?4，1,

故選：C.

4.A

【分析】

{x>_3k\x<1c,一3k

由題意轉(zhuǎn)化條件得，，或,對任意的正整數(shù)2成立，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)

[X>k-\[x<kf-\

作出函數(shù)y=f-3X(XN1)與y=/-l(xNl)的圖象，并標(biāo)出X取正整數(shù)的點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可

得解.

【解析】?.?不等式上對任意的正整數(shù)k成立，

x-k+l

x-k2+3k>0[x-k2+3A:<0一一一…,

,，八或4,I八對任意的正整數(shù)2成立，

/一%+1>0[x-A:+l<0

丫一女(r<k2-^k

即，?或{f,對任意的正整數(shù)人成立，

x>k-1[x<k-]

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)-3MxN1)與y=xT(xNi)的圖象，并標(biāo)出上取正整數(shù)

的點(diǎn)，如圖:

y>丘2_3ky<l/^—3〃

數(shù)形結(jié)合可知，若要使，，或，，對任意的正整數(shù)上成立，

x>k-\

則X?F-2)U(2,3).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式不等式的求解及二次函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合思

想，屬于中檔題.

5.C

【分析】

由函數(shù)的奇偶性和/(1-幻=-/(1+外可得/⑺是周期為4的函數(shù)，分別求得

/(1)J(2)J(3),進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的周期性求解即可.

【解析】由題，因?yàn)椤癤)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(T)=f(x),

因?yàn)?(1一月=一/(1+工),所以J(xT)=-J(l+x)測〃x-2)=-/G),

所以“元一4)=一/(1一2)=/(耳,所以/(力是周期為4的函數(shù)，

因?yàn)?(1)=一/(1),所以/(1)=0；

因?yàn)椤?)=-〃0)=-1,〃3)=〃—1)=八1)=0,

所以f(O)+〃l)+〃2)+f(3)=O,

所以/(0)+/⑴+??+/(2O2O)=5O5[/(O)+/(1)+/(2)+/(3)]+〃O)=5O5XO+1=1,

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和對稱性判斷函數(shù)周期性,考查利用函數(shù)底期性求值.

6.A

【分析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)特殊值即可判斷；

1a3a3

【解析】解：因?yàn)閥=/(x)=rj定義域?yàn)镽,f(-x)=—.-7=-7—r=/W，故

r+4-(-A)+a-x+a

函數(shù)丁=為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故排除D；

,k

又函數(shù)y=F在(0,出)上單調(diào)遞增，函數(shù))，=,仕>0)在(0,+B)上單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)/(%)=￡產(chǎn)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故排除B；

當(dāng)戈=0時(shí)，f(0)=^—=a>0t故排除C；

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖象的識別，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.D

【分析】

由題意，得到尸(9-2=4(力+次(力是奇函數(shù)，再結(jié)合題設(shè)條件和函數(shù)的奇偶性，即可求

解.

【解析】由題意，尸(文)=4(力+%(力+2,可得戶(同一2=4(力+公(x)

函數(shù)/(力送(力都是奇函數(shù)，

所以F(-x)-2=af(一x)+bg(-x)=-[af[x)+bg(x)]=4F(x)-2],

所以尸(x)—2=4(x)+班(x)是奇函數(shù)，

又由尸㈤在(0,+oo)上有最大值8,即尸(x)?8,所以尸(x)—246,

當(dāng)xw（YO,0）時(shí)，貝lj-xt（0,+oo）,

則F（f）-206,ep-[F（x）-2]<6,所以尸（人）-2之-6,即尸（人）之Y,

所以當(dāng)XW（YO,0）時(shí)，/（力有最個值T.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)值及其意義，其中解答中根據(jù)函數(shù)的奇偶性的

性質(zhì)，構(gòu)造新函數(shù)尸（力-2=4（"+公（力為奇函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【分析】

利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式1）變形為f（|igx|）v〃i）,再由函數(shù)y=在

[0,”）上的單調(diào)性得出但4<1,利用絕對值不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)

果.

【解析】由于函數(shù)y=/（x）是偶函數(shù)，由得〃加可<八1）,

又?.?函數(shù)尸"X）在[0,E）上是增函數(shù)，則即T<lgx<l,解得上<x<10.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，同時(shí)也涉及了對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查

分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

9.BCD

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式和函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷可得選項(xiàng).

1,1=為有理數(shù)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=八班工由知，所以/（X）的值城為｛0浦，故A不正確；

0,x=為無理數(shù)

因?yàn)楹瘮?shù)/（“北：]黑翳所以/（力的定義城為R,故B正確；

因?yàn)閃xeR,〃x)e{0,l},所以/(/(力)=1,故C正確;

對于任意一個非零有理數(shù)7,若x是有理數(shù)，則是有理數(shù)；若x是無理數(shù)，則x+T是無

理數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式，任取一個不為零的有理數(shù)T,都有/（八十7）-/（人）對任意xwR恒

成立，故D正確，

故選：BCD.

10.ABD

【分析】

畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像分析判斷即可

【解析】函數(shù)/（x）=|ln12Tli的圖像如圖所示：

由圖可得：函數(shù)“X）在區(qū)間。,2）上單調(diào)遞增，故A正確；

函數(shù)），=/（力的圖像關(guān)于直線x=2對稱，故B正確；

若不/工2，但/（X）=/（W），則當(dāng)司>2,%2>2時(shí)，X,+X2>4,故C錯誤；

函數(shù)/（力的圖像與x軸有且僅有兩個交點(diǎn)，故D正確.

故選ABD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫出

函數(shù)圖像，根據(jù)圖像求解即可，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題

11.BD

【分析】

根據(jù)不同的女值，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值與值域等，從而可判斷各選項(xiàng).

【解析】％>0時(shí)，-1+2=1,中+%+2=2上+2,2k+2>i,/⑶在R上不是減函數(shù)，A錯;

由上面討論知k>0時(shí)，/（x）在U,+oo）上是減函數(shù)，無最小值.而xvl時(shí)f（x）=-x+2遞減,

也無最小值，因此/")無最小值，

當(dāng)一」5<0時(shí)，X>1,/(人)二幺十&+2是增函數(shù)，/。)=24+2,但2比十2>1,不是/⑸的

2x

最小值，

綜上，“X)無最小值，B正確；

人=一1時(shí)，x<l,/(X)=-X+2G(1,-H?),

xNl時(shí)，/(x)=_L_]+2=_L+]是增函數(shù)，/(1)=0,/(X)=--+IG[OJ),

XXX

???/(力的值域是[O,l)uQ+?O,C錯;

攵=—3時(shí)，%之1時(shí)，/(x)=———1G[―4,—1),而xv1時(shí)，/(x)=—x+2e(1,-HX>),

X

(l,4k(l,*o),因此叫<1,使得/(%)+/(占)=0.D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性與值域，解題關(guān)鍵中根據(jù)女的不同取值，確定函數(shù)

的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的值域.從而判斷各選項(xiàng).

12.AD

【分析】

對A,結(jié)合韋達(dá)定理判斷；對B,先判斷定義域，再結(jié)合奇偶函數(shù)定義判斷；對C,結(jié)合函

數(shù)平移特點(diǎn)可判斷錯誤；對D,畫出/(力=|3-期的圖像，采用數(shù)形結(jié)合方法判斷即可

【解析】設(shè)方程/+5-3)X+。=0的兩根分別為為，X2,則加依=。＜0,故A正確;

函數(shù)危尸g+口的定義域?yàn)?二之

則人=±1,??.兀t)=0,所以函數(shù)凡0既是奇

函數(shù)又是偶函數(shù)，故B不正確:

函數(shù)7U+1)代表函數(shù)/(力向左平移一個單位，故?r+l)的值域與函數(shù)?r)的值域相同，故

C不正確；

曲線)，=|3一/|的圖像如圖，由圖知曲線)，=|3一/|和直線的公共點(diǎn)個數(shù)可能是2,3或

4,故D正確.

y

故選：AD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，奇偶函數(shù)的判斷，函數(shù)圖像的平移與值

域的判斷，數(shù)形結(jié)合法判斷交點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)，解題關(guān)鍵在于：

(1)學(xué)會應(yīng)用韋達(dá)定理處理兩根之和與兩根之積對應(yīng)的系數(shù)問題；

(2)奇偶函數(shù)的判斷，一定要先判斷定義域，再根據(jù)與f")關(guān)系判斷即可；

(3)當(dāng)函數(shù)圖像發(fā)生左右平移時(shí)，函數(shù)值域不變；

(4)數(shù)形結(jié)合法常用于處理兩函數(shù)圖像交點(diǎn)個數(shù)判斷問題.

13.6,。)

【分析】

設(shè)力a)=/(x)T=g(x)-g(-x),由已知不等式得函數(shù)“X)是增函數(shù)，即得A(x)是增函數(shù)，

又由函數(shù)表達(dá)式得函數(shù)為奇函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為人3)的函數(shù)不等式，利用奇偶性變形，再

由單調(diào)性可解.

【解析】設(shè)h(x)=f(x)-\=g(x)-g(—x),

因?yàn)閷θ我獾睦涔?e(TD，x產(chǎn)W,恒有[/(%)-/優(yōu))](%-當(dāng))>0,

所以函數(shù)fx()在(-1』)上為增函數(shù)，則h(x)在(-1,1)上為增函數(shù)，

又h(-x)=g(-x)-g(x),而h(x)=g(x)-g(-x),所以h(x)+h(-x)=0,

所以〃(x)為奇函數(shù)，綜上，人(劃為奇函數(shù)，且在(-覃)上為增函數(shù),

所以不等式/(2x+l)+f(幻>2等價(jià)于f(2x+1)-1+/(x)-l>0,

即/i(2x+l)+h(x)>0,亦即/i(2x+1)>-h(x)=h(-x),

-1<2X+1<1,

可得-1<工<1,,解得」</<0.

3

2x+\>-x,

故答案為：鳥,0).

14.[4,-KO)

【分析】

去絕對值將/(6轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求出其最大值，〃亞/(初皿即可.

【解析】因?yàn)镈xeR，不等式恒成立，則〃此f(x)a，

-x-l-(3-x),x<-1-4,x<-1

/(JI)=|x+l|-|x-3|=*.r+l-(3-x),-l<x<3=-2A-2,-1<x<3,

x+l-(x-3),xN34,x23

作出函數(shù)〃")的圖象如圖：

所以打24,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[4,y),

故答案為：[4,T8)

【分析】

依題意首先求出函數(shù)的周期，再結(jié)合周期及相關(guān)條件分別求得/[ogz^)和/(2018),進(jìn)而

可得到結(jié)果.

1

【解析】函數(shù)f(x)滿足：〃x+l)=而

可得：對X/xtR,都有小+2)==/(同，???函數(shù)/(x)的周期丁=2.

/(晦￡|=〃吟-5=川。&3)=可。；3-1)=六H，

由/(0)=右=3得〃2018)=f(0)=g,

.?./jlog^)+/(2018)217

2—+—=—.

326

故答案為：7-

6

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：定義在R上的函數(shù)人幻，若存在非零常數(shù)°,使得對^R,都有了("+。)=看'

則函數(shù)的周期7=2〃.

16.(—3,3)

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，把問題中的函數(shù)值大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小比較，從而求得解集.

【解析】由函數(shù)解析式知，。)在/?上單調(diào)遞增，且-F(2)=-2=/(-2),

則“1-附+/(2)>0=/(1-附>-/(2)=/(—2),

由單調(diào)性知1-卜|>-2,解得x?-3,3)

故答案為：(-3,3)

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：找到函數(shù)單調(diào)性，將函數(shù)值大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小比較即可.

17.

(1)小)*

(2)證明見解析

(3)(。，5)

【分析】

(1)由f(O)=O,求得人=0,再根據(jù)/(5=],求得〃的值，即可求得函數(shù)的解析式.

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可證得函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù).

(3)把不等式/(x-l)+/(x)<0轉(zhuǎn)化為=列出不等式組，即可求解.

(1)

(1)由題意，函數(shù)7(力=警^是定義在(一草)上的奇函數(shù)，

可得/(0)=0,即/(力=6=0,可得b=0,即/(司=券，

\_a

又由dm可得」解得。=1,所以/(力=占，

2

⑵51+(1)25\+x

經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)滿足了(-力=-/(力，所以函數(shù)/(力為奇函數(shù).

所以函數(shù)“X)的解析式為/(X)二言，

解：設(shè)e(T，l)且X<*2，

則/($)-/⑸J=57?(1―呼)

人」八"八，i+x2i+x2(1+申(1+4)

因?yàn)?,工2e(T，D且X<Xj?可得七一.<°，1-式/2>°4+x；>0,1+石>0.

所以/(%)一/(巧)<0,即/(%)</(%)，

所以函數(shù)/(力在區(qū)間(7,1)上是增函數(shù).

(3)

(3)因?yàn)楹瘮?shù)/(X)是定義在(-U)上的奇函數(shù)，

則不等式/(x—l)+/(x)vO可化為/(x—l)=—/(x)=/(—x),

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間(一口)上是增函數(shù)，

x-\<-x

可得解得0<x<2，即不等式的解集為(0,3

22

-1<x<1

18.對稱中心的坐標(biāo)為(log?.

【分析】

設(shè)函數(shù))，=馬把(。、〃為正實(shí)數(shù))的圖像的對稱中心為。(九〃)，進(jìn)而根據(jù)定義域得

2-67

w=iog2?,再根據(jù)點(diǎn)的對稱性求解得〃=F，進(jìn)而得答案.

2a

【解析】解:記〃月=馬業(yè).設(shè)函數(shù)尸馬吆(。、6為正實(shí)數(shù))的圖像的對稱中心為。(相，)

2-a2-a

因?yàn)楹瘮?shù))，=女的定義域?yàn)?一?陛?a)U0og24K0)，所以勿=嚏2a.

2—a

由題意，對于函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)夕一，其關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)

2"'—a)

P2〃?-玉三也在函數(shù)y=|三的圖像上.

所以“2〃L.%)=2〃-守，即2"胃=u笠對任意工?7),噫0)51唱〃收)

za乙a2a

恒成立.

將吁晦〃代入上式，得2〃一六二募三?

..---卜b

記1=2%,整理得2〃一^~~^=^---,即(2〃〃+6—4)，=2W2—/+"對一切，￡(0,+00)恒成

-----a

2na+b-a=0

立.所以《解得〃=?

2na2-a2+ab=O'2a

綜上所述，函數(shù)y=學(xué)且(a、b為正實(shí)數(shù))的對稱中心的坐標(biāo)為卜。g?4

2-ci\

19.

(1)證明見解析

(2)(V2-1J)

【分析】

(1)先求出的解析式，再利用定義法證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(-22)上單調(diào)遞增;

(2)利用單調(diào)性法解不等式，求出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

(1)

???/(”為定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù),

.\/(0)=^=0,：.b=0.

又則=言f-

?丫一？丫

檢驗(yàn)：當(dāng)4=1,6=0時(shí)，f(x)=—~-,f(-X)=—'=-f(X),

、,9+4v7x2+47

???/(x)為奇函數(shù)，符合題意，

對任意的一2＜芭＜x2＜2,

f(\f(\-3%版2一3口i一工2)(43工2)

/⑷r-/r⑸-齊-而--符付)?

*/-2<x]<x2<2t

-x2<0,xxx2<4,/.4-XjX2>0.

又x：+4>0,x；+4>0,/./(^)-/(x,)<0.

???函數(shù)/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增.

(2)

???〃”為定義在區(qū)間(-2,2)上的函數(shù),

-2</w2+1<2

0<zn<1.

-2<2m-2<2

???/(>+I)+"2〃L2)>0,且〃力為定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù),

???/(加2+1)>/(2—26).

又在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，

/w2+1>2-2m，，機(jī)>夜一1或/〃<一&-1.

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是

20.

x2-x,-2<x<0

(1)/(x)=?(U=0

-X2-A:,0<X<2

(2)[-U]

【分析】

(1)利用奇函數(shù)的定義可得函數(shù)的解析式;

(2)由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)/'(”的最小值，代入不等式，進(jìn)而利用一次函數(shù)的性質(zhì)列

不等式組，可得實(shí)數(shù)加的取值范圍.

(1)

因?yàn)楹瘮?shù)/(力為定義域上的奇函數(shù)，所以"0)=0,

當(dāng)工?0,2］時(shí)，-xe［-2,0),Wf(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x,

因?yàn)?(%)是奇函數(shù)，所以〃一力二一/(X)=f+X,

所以/(力=_%2_工，

x2-x,-2^x<0

所以/(x)=.0,x=0

-x2-x,0<x<2

作出在區(qū)間［-2,2］上的圖象，如圖:

可得函數(shù)/(力在［-2,2］上為減函數(shù)，所以的最小值為〃2)=-6,

要使/(%)之病-2利-9對所有xe［-2,2］,a￡恒成立，

即-62用2_2s〃_9對所有。?-1川恒成立,

令8(。)=-2，3+62-3,ae[-l,l],

2

則|Igp((l-)l)二=6m2—+22機(jī)/一n3-430<0，即f-3</n<1

可得：一1工機(jī)41,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[T5.

21.

(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)(e,—2]U{0}U[2,”)

【分析】

(1)令x=y=O,求出f(O),再令y=T,即可證明;

(2)利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論的步驟證

明即可；

⑶由(2)可得函數(shù)在上的最大值，設(shè)g(a)=-2s+/,則g⑷20對所有

g⑴之。

恒成立,即可得到