數(shù)學(xué)同步測(cè)控：參數(shù)方程的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精同步測(cè)控我夯基，我達(dá)標(biāo)1.已知?jiǎng)訄Ax2+y2-2axcosθ—2bysinθ=0（a、b是正常數(shù)，且a≠b，θ為參數(shù)，θ∈［0，2π）），則圓心的軌跡是（）A．直線B．圓C．拋物線的一部分D．橢圓解析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—acosθ)2+(y—bsinθ）2=a2cos2θ+b2sin2θ，其圓心坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ），于是動(dòng)圓圓心的軌跡方程為消去參數(shù)θ,可得＝1，軌跡為橢圓．答案：D2。直線（t為參數(shù))和圓x2+y2=16交于A、B兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（)A．(3,-3）B．（—,3)C．（,-3）D．（3，-)解析：(1+t）2+（-3+t)2=16，得t2—8t+12=0.∴t1+t2=8,=4,中點(diǎn)為即答案：D3。過(guò)點(diǎn)（1，1),傾斜角為135°的直線截橢圓所得的弦長(zhǎng)為（）A。B。C。D。解析：由題意，可設(shè)直線的參數(shù)方程為代入橢圓方程中，整理得到5t2+6t＋1＝0，｜t1-t2|=，故所求弦長(zhǎng)為|t1—t2|=．答案：B4.拋物線x2-2y-2mx+m2＋２＝6m的頂點(diǎn)的軌跡方程是_______________．解析：拋物線方程可化為(x-m）2=2(y+3m-1），設(shè)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則滿足消去參數(shù)m，可得y=—3x+1，即3x+y－１＝0．答案：3x+y－１＝05.求橢圓的內(nèi)接矩形的最大面積．思路分析：恰當(dāng)選擇參變量,把橢圓內(nèi)接矩形面積用參數(shù)表示出來(lái)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求解．解法一：橢圓的參數(shù)方程為（參數(shù)t∈［0，2π）），設(shè)第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)M(x，y），由橢圓的對(duì)稱性，知內(nèi)接矩形的面積為S=4xy=4×5cost×4sint=40sin2t．當(dāng)t=時(shí)，面積S取得最大值40．此時(shí)x=5cos=，y=4sin=2．因此,矩形在第一象限的頂點(diǎn)為（,2）時(shí)，內(nèi)接矩形的面積最大為40．解法二：設(shè)點(diǎn)M（x，y）是橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn),則=1，且x＞０，y＞０，即１＝（)2+（)2≥2××，∴xy≤10，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．由橢圓的對(duì)稱性知內(nèi)接矩形的面積為S=4xy≤40，也就是內(nèi)接矩形的面積的最大值為40．6.求橢圓上的點(diǎn)到直線3x+4y－64＝０的最大、最小距離．思路分析:利用參數(shù)方程，將圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)形式,這樣減少曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)所含變量的個(gè)數(shù)，將二元函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問(wèn)題．解：將橢圓普通方程化為參數(shù)方程（０≤θ<2π)，則橢圓上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(5cosθ，9sinθ),于是點(diǎn)到直線3x+4y－６４＝０的距離為，其中tanφ=,∴dmax=，此時(shí)sin（θ+φ)＝－１;dmin＝５，此時(shí)sin(θ+φ）＝１．7.如圖，已知點(diǎn)P是圓x2+y2＝16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是x軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為(12，0)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡是什么?思路分析：由于點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)已知，點(diǎn)P在已知圓上,故而點(diǎn)P的坐標(biāo)可以用參數(shù)θ表示，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)也就可以表示了，由此便可以求出線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程,進(jìn)而知道其軌跡．解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）．由于圓的參數(shù)方程為（參數(shù)θ∈［0，2π）），故可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4cosθ，4sinθ)．由線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式,得點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程為(參數(shù)θ∈［0,2π）).∴線段PA的中點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)（６，０)為圓心、２為半徑的圓．我綜合,我發(fā)展8.已知A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求△ABC的重心G的軌跡方程．思路分析：△ABC的重心G取決于△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，為此需要把動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出來(lái)，可考慮用參數(shù)方程的形式．解：由題意知A（6,0）、B（0，3).由于動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6cosθ，3sinθ)，點(diǎn)G的坐標(biāo)設(shè)為(x，y)，由三角形重心的坐標(biāo)公式可得即消去參數(shù)θ得到+(y-1）2＝1。9.過(guò)點(diǎn)P(,0）作傾斜角為α的直線與曲線x2+12y2=1交于點(diǎn)M、N，求｜PM｜·｜PN｜的最大值及相應(yīng)的α的值．思路分析：設(shè)出直線的參數(shù)方程，把|PM|·｜PN|表示成α的函數(shù)．解：設(shè)直線為(t為參數(shù))，代入曲線x2+12y2=1中,整理得（1+11sin2α）t2+(cosα）t+=0，于是|PM｜·|PN|=｜t1t2|=．所以當(dāng)sin2α=0，即α=0時(shí),｜PM|·|PN｜的最大值為，此時(shí)α=0．10。已知點(diǎn)P(x,y）是圓x2+y2=2y上的動(dòng)點(diǎn)，（1）求2x+y的取值范圍；（2）若x+y+a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．思路分析：因?yàn)樗髥?wèn)題中涉及到圓x2+y2=2y上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x與y的關(guān)系，而二者的關(guān)系可用參數(shù)θ表示出來(lái)，故可設(shè)出圓的參數(shù)方程，從而把（1)求2x+y取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于θ的函數(shù)的值域問(wèn)題;對(duì)于(2)x+y+a≥0恒成立a≥—(x+y）恒成立a≥max{—（x+y)｝.解：（1）x2+y2=2y化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y—1)2=1.設(shè)圓的參數(shù)方程為（參數(shù)θ∈[0,2π））,則2x+y=2cosθ+sinθ+1=sin（θ+φ）+1,其中tanφ=2．∵－1≤sin(θ+φ)≤1，∴—+1≤sin(θ+φ)+1≤+1．∴2x+y的取值范圍為［—+1,+1]．(2）x+y+a≥0恒成立a≥—（x+y)恒成立a≥max{-（x+y)}．而—（x+y)=-（cosθ+sinθ)-1=-sin（θ+）-1，∵－1≤sin（θ+)≤1,∴--1≤-sin(θ+）—1≤—1，即—(x+y）的最大值為—1．由a≥—(x+y）恒成立，可知a≥—1．11.已知點(diǎn)A（１，２），過(guò)點(diǎn)（５，－２）的直線與拋物線y2=4x交于另外兩點(diǎn)B、C，試探討△ABC的形狀．思路分析:直線與圓錐曲線的相交問(wèn)題常常設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用整體代入法解決問(wèn)題．解：由拋物線的參數(shù)方程,可設(shè)B(t2，2t),C（s2，2s），s≠t，s≠１，t≠1，則直線BC的斜率為,方程為y—2t=(x—t2)．因直線BC過(guò)點(diǎn)(5，－2），代入上式，并整理得到(s+1）（t＋１）＝－４．因?yàn)閗AB·kAC=·==—1,所以AB⊥AC，從而△ABC是直角三角形．12.直線l：y=2x+b與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)b變化時(shí)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡．解：設(shè)AB中點(diǎn)M(x0，y0),直線l的方程為(tanθ＝２，t為參數(shù)）．代入橢圓方程,有＝１，可得(2cos2θ+3sin2θ）t2+2(2x0cosθ+3y0sinθ）t+2+3—6=0。設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為t1、t2，則有t1+t2＝０。又∵t1+t2=∴2x0cosθ+3y0sinθ＝０．又∵tanθ＝２，∴２x0＋６y0＝０,即x+3y＝０．∴M點(diǎn)的軌跡是直線x+3y＝０在橢圓＝１內(nèi)部的一條線段．13。已知橢圓方程為，橢圓長(zhǎng)軸的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，P是橢圓上任一點(diǎn)，引A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P，且A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．解:設(shè)橢圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，且0≤θ〈2π），則P點(diǎn)坐標(biāo)為（acosθ，bsinθ），由題意知cosθ≠1,sinθ≠0．∵=，=，∴==，==．∴A1Q的方程為y=，①A2Q的方程為y=(x—a）。②①×②得y2=．化簡(jiǎn)整理得＝１即為所求的軌跡方程．我創(chuàng)新，我超越14。當(dāng)s和t取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，(s+5-3｜c(diǎn)ost｜）2+(s-2|sint|）2所能達(dá)到的最小值是多少？思路分析：觀察所求式的結(jié)構(gòu)，可以把它看作點(diǎn)（s＋５，s）與點(diǎn)（3|cost|,2｜sint｜）的距離的平方，而這兩個(gè)點(diǎn)的軌跡都可以用參數(shù)方