數(shù)學同步測控：對數(shù)及其運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測控我夯基,我達標1。式子2的值為（)A.2+B.2C.2+D。1+解析：原式==2=25.答案：B2.下列各式中成立的是（）A。logax2=2logaxB。loga|xy｜=loga｜x｜+loga｜y｜C.loga3＞loga2D.loga=logax—logay解析:A、D的錯誤在于不能保證真數(shù)為正，C的錯誤在于a值不定。答案：B3.已知f（x5)=lgx，則f（2）等于()A。lg2B。lg32C.lgD。lg2解析：令x5=t,則x==t?！鄁（t）=lgt=lgt.∴f（2）=lg2.答案：D4。下列四個命題中，真命題是（）A.lg2lg3=lg5B。lg23=lg9C。若logaM+N=b，則M+N=abD.若log2M+log3N=log2N+log3解析：本題易錯選A或B或C.主要問題是對函數(shù)的運算性質不清,在對數(shù)運算的性質中，與A類似的一個錯誤的等式是lg2+lg3=lg5;B中的lg23表示（lg3）2,它與lg32＝lg9意義不同；C中的logaM+N表示（logaM）+N,它與loga(M+N）意義不同；D中等式可化為log2M—log2N=log3M—log3N，即log2=log3，所以M＝N.答案:D5。求下列各式的值：(1)設logbx-logby＝a，則logb5x3—logb5y3＝____________;（2)設loga(x＋y)＝，logax＝1，則logay＝____________；（3)3=_____________.解析:（1）∵logbx-logby＝a，∴l(xiāng)ogb＝a.∴l(xiāng)ogb5x3-logb5y3＝logb＝logb()3＝3logb＝3a。(2）∵loga（x＋y)＝，∴a3＝x＋y。又logax＝1,∴x＝a.∴y＝a—a.從而logay＝loga(a-a).(3)3＝3=3＝32＝9。答案:（1）3a（2)loga（a—a)（3)96.已知函數(shù)f(x）=則f（log23）的值為__________.解析:∵1<log23<2,∴3+log23>4?！鄁（3+log23）=(）=()=()=.又∵當x<4時，f(x+1）=f（x),∴f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23）=f(3+log23）=。答案：7。求下列各式中的x：(1）logx＝；（2)logx5＝；（3）log（x-1）(x2-8x＋7）＝1。分析:根據(jù)式中未知數(shù)的位置或直接轉化成指數(shù)式計算或利用對數(shù)性質進行計算。解：（1）原式轉化為（)=x，所以x=。（2）原式轉化為x=5，所以x=。(3）由對數(shù)性質，得解得x＝8.8。已知lg2=0。3010，lg3=0.4771,求lg。分析：解本題的關鍵是設法將的常用對數(shù)分解為2、3的常用對數(shù)代入計算。解：lg=lg45=lg=（lg9+lg10—lg2）=（2lg3+1-lg2)=lg3+lg2=0。4771+0。5-0.1505=0。8266。我綜合,我發(fā)展9。對于a〉0，a≠1，下列說法中正確的是（）①若M=N，則logaM=logaN②若logaM=logaN，則M=N③若logaM2=logaN2,則M=N④若M=N，則logaM2=logaN2A。①③B.②④C。②D。①②③④解析：在①中，當M=N≤0時，logaM與logaN均無意義,因此logaM=logaN不成立.在②中，當logaM=logaN時，必有M＞0，N＞0，且M=N，因此M=N成立。在③中,當logaM2=logaN2時，有M≠0，N≠0,且M2=N2，即｜M|=|N｜,但未必有M=N，例如，M=2，N=—2時,也有l(wèi)ogaM2=logaN2，但M≠N.在④中,若M=N=0，則logaM2與logaN2均無意義,因此logaM2=logaN2不成立?！嘀挥孝谡_.答案：C10.設logac、logbc是方程x2-3x+1=0的兩根，則logc=__________。解析：依題意，得即即∴（logca—logcb)2=(logca+logcb）2-4logca·logcb=32-4=5.∴l(xiāng)ogca-logcb=±.故log=。答案：±11。已知log189=a,18b=5，則log3645=_______.（用a，b表示)解析：∵log189=a，∴l(xiāng)og18=1—log182=a?！鄉(xiāng)og182=1—a.又∵18b=5，∴l(xiāng)og185=b.∴l(xiāng)og3645=.答案：12.若26x=33y=62z,求證:3xy-2xz—yz=0。分析:由已知條件到結論,本質就是把指數(shù)式化為對數(shù)式，要把指數(shù)位置上的字母拿下來，唯一的方法就是取對數(shù),通常我們兩邊同時取常用對數(shù)，也可以根據(jù)題目的具體情況取其他數(shù)字（條件中已有的底數(shù)）為底數(shù),總之要同底，然后利用對數(shù)的性質和運算法則化簡計算。證法一:設t=26x=33y=62z,兩邊取常用對數(shù)，則x=,y=,z=.∴3xy—2xz-yz====0。證法二:∵26x=33y=62z，∴兩邊取以3為底的對數(shù)，有6xlog32=3y=2zlog36，由前面的等式,得yz=2xzlog32，由后面的等式，得3xy=2xzlog36.∴3xy—2xz-yz=2xzlog36-2xz-2xzlog32=2xz（log36—1—log32）=2xz(log36-log33—log32)=0.科學是實事求是的學問?！?3。設x、y、z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z.（1）不管x、y、z取何正值，等式＋＝一定成立嗎？請說明理由.（2)比較3x，4y,6z的大小。分析：設3x＝4y＝6z=k,再分別取常用對數(shù)，即可把x、y、z均用lgk表示.從而達到消元的目的,這種多元化為一元的思路是處理方程（組)、比值、恒等式和不等式證明等問題的基本思路，務必認真領悟和熟練掌握。解：（1）設3x＝4y＝6z＝k,∵x、y、z∈(0，＋∞）,∴k＞1。取對數(shù),得x＝,y=，z=.∴+=∴不論x、y、z取何正值，等式＋＝一定成立.(2)3x-4y＝()lgk=lgk=<0,∴3x〈4y.又∵4y-6z＝(）lgk=lgk=〈0，∴4y〈6z.∴3x＜4y＜6z.14。(1）若log3［log4(log5x）］=0，求x.（2）已知logax=logac+b,求x。(3）若lga、lgb是方程2x2-4x+1=0的兩根，求（lg）2。分析：對于第(1）題，要逐層去掉對數(shù)符號；在第(2）題中，由于x作為真數(shù),故可直接利用對數(shù)定義求解;另外，由于等式右端為兩實數(shù)和的形式，b的存在使變形產(chǎn)生困難，故可考慮將logac移到等式左端，或者將b變?yōu)閷?shù)形式.對于第(3)題,可用根與系數(shù)的關系求解。解：（1)∵log3［log4(log5x)］=0,∴l(xiāng)og4（log5x)=30=1.∴l(xiāng)og5x=4.∴x=54=625。(2）解法一:由對數(shù)定義,可知x===c·ab.解法二：由已知移項,可得logax-logac=b，即loga=b，由對數(shù)定義，知=ab?！鄕=c·ab.解法三：∵b=logaab,∴l(xiāng)ogax=logac+logaab=loga（c·ab).∴x=c·ab.(3）由根與系數(shù)的關系，得∴（lg)2=(lga-lgb）2=(lga+lgb)2-4lgalgb=22—4×=2。我創(chuàng)新，我超越15.已知2ylogy4-2y—1=0，（logx)=—logx5.試問:是否存在一個正整數(shù)P，使P=？如果存在，求出此數(shù)；如果不存在，請說明理由.分析：我們在處理解方程的題型時,特別要注意挖掘隱含條件，確定定義域.如本題容易忽視（logx)=—logx5中隱含的條件logx5〈0,從而一錯而全局皆失.本題可通過先探求x、y是滿足什么樣規(guī)律的值，然后運用方程求出x、y即可。解：∵2ylogy4—2y—1=0，∴2y（logy4)=0.而2y〉0，∴l(xiāng)ogy4=.∴y=16.由（logx）=-logx5〉0,得logx=（logx5)2，且logx5〈0，∴l(xiāng)ogx(5x)=(logx5）2，即2（logx5）2-logx5—1=0。∴（2logx5+1）(logx5—1）=0。解之,得logx5=或logx5=1>0(舍去）.∴l(xiāng)ogx5=?！鄕=5，即x=。故P===3。即存在符合條件的正整數(shù)P,P的值是3.16。設a、b、c是直角三角形的三邊長，其中c為斜邊，且c