數(shù)學(xué)同步測(cè)控反證法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測(cè)控我夯基我達(dá)標(biāo)1.若a、b、c不全為零,必須且只需(）A.abc≠0B。a、b、c中至少有一個(gè)為0C。a、b、c中只有一個(gè)是0D。a、b、c中至少有一個(gè)不為0解析：a、b、c不全為零，a、b、c中至少有一個(gè)不為0.答案:D2.x、y、z中至少有一個(gè)不小于1的含義是（）A。都大于等于1B.有1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)大于等于1C。都小于1D.以上都不對(duì)解析：至少有1個(gè)不小于1，可能有1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)大于等于1。答案:B3。給出三個(gè)等式:①f(x+y)=f（x)+f（y）；②f（xy)=f（x）+f（y）;③f（xy）=f（x)f(y),則不滿足其中任何一個(gè)條件的函數(shù)是(）A.y=x2B。y=sinxC。y=2xD.y=lgx解析：本題的含義為①②③都不滿足的函數(shù).y=x2滿足f（xy）=(xy）2=x2y2=f(x)·f（y),y=2x滿足f(x+y）=2（x+y)=2x+2y=f（x)+f(y),y=lgx滿足f（xy）=lg(xy）=lgx+lgy,只有y=sinx不滿足任何一個(gè)條件。答案：B4。設(shè)a、b、c都是正數(shù),則三個(gè)數(shù)a+，b+，c+…（）A.都大于2B.至少有一個(gè)大于2C.至少有一個(gè)不小于2D.至少有一個(gè)不大于2解析：∵a++b++c+=(a+）+（b+）+（c+)≥2+2+2=6?！嘀辽儆幸粋€(gè)不小于2。否則都小于2,它們的和也應(yīng)小于6,矛盾.答案：C5。下列命題中錯(cuò)誤的是（)A.三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°B.四面體的三組對(duì)棱都是異面直線C.閉區(qū)間［a，b］上的單調(diào)函數(shù)f（x),至多有一個(gè)零點(diǎn)D。設(shè)a、b∈Z，若a+b是奇數(shù),則a、b中至少有一個(gè)是奇數(shù)解析:D中a、b都是奇數(shù),則a+b為偶數(shù)，∴a、b中一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù).答案:D6。已知二次函數(shù)f（x)=x2+2(p—2）x+p，若在區(qū)間[0，1］內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f（c）>0。則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（)A。（1，4）B.（1，+∞)C.(0，+∞）D。(0，1）解析:本題從正面解答較難,可先求使在［0，1］內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)c使得f（c)>0,即在［0,1]上都有f(x）≤0。則即∴p≤0?！嘁趨^(qū)間［0，1］內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c）〉0，則p>0。答案:C7。x、y、z不能同時(shí)大于是指______________.解析：x〉，y>，z>不同時(shí)成立，即至少有一個(gè)不成立。答案:至少有一個(gè)小于或等于8.設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=1，則a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于______________.解析:∵a、b、c∈R+,a+b+c=1,當(dāng)a=b=c=時(shí)滿足.若a、b、c都小于，則a+b+c〈1.∴a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于.答案:我綜合我發(fā)展9?！叭切沃凶疃嘀挥幸粋€(gè)內(nèi)角是直角"的否定是______________。解析：最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角的含義是三個(gè)內(nèi)角都不是直角或三個(gè)內(nèi)角中只有一個(gè)內(nèi)角是直角,其否定為都是直角或有兩個(gè)是直角.答案：至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角10.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎(jiǎng),有人走訪了四位歌手,甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)."乙說(shuō):“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了.”丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是______________。解析:若甲說(shuō)的對(duì),則丙、丁至少有一人說(shuō)的對(duì)，則乙說(shuō)的不對(duì)，則甲、丙至少有一個(gè)人獲獎(jiǎng)是對(duì)的.又∵乙或丙獲獎(jiǎng)，∴丙獲獎(jiǎng)。答案:丙11。求證:正弦函數(shù)沒(méi)有比2π小的正周期.解析:證明否定性命題，可用反證法。證明:假設(shè)正弦函數(shù)y=sinx有比2π小的正周期T(0〈T〈2π)，則sin(x+T)=sinx，對(duì)于任意x都成立,∴x=0時(shí),sinT=0.∴T=π?！鄐in（x+π)=sinx。但當(dāng)x=時(shí),sin(+π)=-1，sin=1,sin（x+π）≠sinx，與sin（x+π)=sinx矛盾.∴正弦函數(shù)沒(méi)有比2π小的正周期.12。設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a≠0)a、b、c均為整數(shù)，且f(0)、f（1）均為奇數(shù),求證：f（x）=0無(wú)整數(shù)根。解析：否定性結(jié)論可用反證法。證明:設(shè)f（x）=0有一個(gè)整數(shù)根k。則ak2+bk=-c.①∵f(0)=c，∴f(1)=a+b+c均為奇數(shù).∴a+b為偶數(shù).當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),顯然與①式矛盾;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),設(shè)k=2n+1(n∈Z）.則ak2+bk=a（2n+1)2+b(2n+1）=（2n+1)(2na+a+b)為偶數(shù)。也與①式矛盾，故假設(shè)不成立.∴方程f（x)=0無(wú)整數(shù)根。13.已知a、b、c均為實(shí)數(shù)且a=x2—2y+,b=y2-2z+，c=z2—2x+,求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于0.解析:本題證a、b、c中至少有一個(gè)大于0情況較多，而反面只有一種情況可用反證法。證明:假設(shè)a、b、c都不大于0,即a≤0，b≤0，c≤0,則a+b+c≤0.而a+b+c=（x2-2y+）+（y2—2z+)+（z2—2x+）=x2—2x+y2—2y+z2—2z+π=（x—1)2+（y-1）2+（z-1)2+π—3≥π—3>0,兩者前后矛盾,∴假設(shè)不成立.∴a、b、c中至少有一個(gè)大于0成立。14。已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd>1。求證：a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).解析:本題要證a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù),是具體有一個(gè)負(fù)數(shù),兩個(gè)負(fù)數(shù)，三個(gè)負(fù)數(shù)，還是四個(gè)負(fù)數(shù)？都有可能，誰(shuí)是負(fù)數(shù)也都有可能。所以正面證明很復(fù)雜，對(duì)于“至多”“至少”性問(wèn)題可用反證法。證明：假設(shè)a、b、c、d都不是負(fù)數(shù),即a≥0，b≥0,c≥0，d≥0.∵a+b=c+d=1，∴b=1-a≥0，d=1-c≥0.∴ac+bd=ac+（1—a)(1-c)=2ac—（a+c)+1=（ac-a)+(ac—c)+1=a（c—1）+c(a-1)+1?！遖（c-1）≤0,c(a—1）≤0，∴a（c—1)+c(a-1)+1≤1，即ac+bd≤1.與ac+bd〉1相矛盾?！嗉僭O(shè)不成立?！郺、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).我創(chuàng)新我超越15.已知a+b+c〉0,abc>0，ab+bc+ca>0.求證：a〉0，b〉0,c>0。解析：本題正面證不太易證，可從反面證明。證明:由abc〉0，可知a、b、c都大于零或兩個(gè)負(fù)數(shù)、一個(gè)正數(shù)。若兩個(gè)負(fù)數(shù)、一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)a>0,b<0，c<0。則由a+b+c〉0,知a>-(b+c).