數(shù)學(xué)同步練習(xí)：不等關(guān)系與不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三章不等式3．1不等關(guān)系與不等式1．a(chǎn)≥b可以推出（)A。eq\f（1，a)≥eq\f(1,b）B．a(chǎn)c2≥bc2C.eq\f（a,c2)〉eq\f(b，c2）D．（ac）2≥(bc）22．若eq\f（1，a）〈eq\f（1，b)〈0，則下列結(jié)論不正確的是(）A．a(chǎn)2〈b2B．a(chǎn)b〈b2C。eq\f（b,a)＋eq\f（a,b）>2D．｜a|－｜b｜＝｜a－b|3．設(shè)角α、β滿足－eq\f（π，2)〈α<β<eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍為__________．4．證明:若a〉b>0，c〈d〈0，m〈0，則eq\f(m,a－c)〉eq\f（m，b－d）。答案：1．B∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2.2．D可取特殊值，令a＝－1，b＝－2代入驗證知D不正確．3．－π<α－β<0在利用不等式的性質(zhì)時，要注意α〈β這個隱含條件．∵－eq\f（π,2)<α<eq\f(π，2)，－eq\f(π,2）<β<eq\f（π，2）,∴－π〈α－β〈π.又∵α〈β，∴α－β〈0。綜上，可知－π<α－β〈0。4．證明：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a>b>0,c<d〈0)）?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b>0，－c>－d〉0）)?a－c>b－d〉0?eq\f（1，a－c)〈eq\f（1,b－d).又∵m〈0，∴eq\f（m，a－c)>eq\f（m，b－d)。課堂鞏固1．已知a〈0，－1<b<0，下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)>ab〉ab2B．a(chǎn)b2>ab>aC．a(chǎn)b>a>ab2D．a(chǎn)b〉ab2〉a2．x＝(a＋3)(a－5)與y＝（a＋2)(a－4)的大小關(guān)系為（）A．x>yB．x＝y(tǒng)C．x<yD．不能確定3．若f(x)＝3x2－x＋1,g（x)＝2x2＋x－1,則f(x）與g（x）的大小關(guān)系為__________．4．已知a〉b〉c，且a＋b＋c＝0,則b2－4ac的值的符號為__________．5．若a〉0，b〉0，比較eq\f（b2，a）＋eq\f（a2，b）和a＋b的大小．6．設(shè)x∈R，比較eq\f（1,1＋x）與1－x的大?。鸢福?．D本題可以根據(jù)不等式的性質(zhì)來解，由于－1<b〈0,所以0〈b2〈1?a<ab2〈0,且ab〉0,易得答案D.本題也可以根據(jù)a，b的范圍取特殊值，比如令a＝－1,b＝－eq\f（1,2)，也容易得到正確答案．2．Cx－y＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8）＝－7〈0，∴x〈y。3.f（x)〉g(x)采用作差法可得:f（x）－g(x)＝3x2－x＋1－(2x2＋x－1）＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1,顯然大于0.4．正∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)，b2＝a2＋c2＋2ac?！郻2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c）2?！遖>c，∴(a－c)2>0.∴b2－4ac〉0，即b2－4ac的符號為正．5．解：eq\f（\f(b2,a)＋\f(a2，b),a＋b)＝eq\f（a2－ab＋b2,ab)＝eq\f((a－b)2＋ab,ab)≥eq\f(ab,ab)＝1，∵a>0，b>0,∴a＋b>0.∴eq\f(b2，a）＋eq\f(a2，b）≥a＋b.6．解：eq\f(1，1＋x)－（1－x)＝eq\f（x2,1＋x)。(1)當(dāng)x＝0，即eq\f（x2，1＋x)＝0時,eq\f（1，1＋x)＝1－x。(2）當(dāng)1＋x<0，即x<－1時，eq\f（x2，1＋x)〈0，∴eq\f（1,1＋x）〈1－x.（3）當(dāng)1＋x>0且x≠0,即－1〈x〈0或x>0時，eq\f(x2，1＋x）>0，∴eq\f(1，1＋x)>1－x.1．已知a＋b>0，b〈0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是(）A．a(chǎn)〉b〉－b>－aB．a(chǎn)〉－b>－a>bC．a(chǎn)>－b〉b〉－aD．a(chǎn)>b>－a>－b1．答案:C∵a＋b>0，b〈0,∴a>0，－b>0。又∵a＋b>0，a〉－b且b〉－a，∴a〉－b〉b>－a.2．如果a、b、c滿足c〈b〈a且ac<0,那么下列選項中不一定成立的是（)A．a(chǎn)b>acB．c（b－a）>0C．cb2〈ab2D．a(chǎn)c(a－c）〈02．答案：C∵c<b<a且ac<0，∴a>0，c〈0.∴b可能為0，也可能不為0?！郼b2〈ab2不一定成立．3．若a＝eq\f(ln2，2），b＝eq\f(ln3,3），c＝eq\f（ln5，5),則（）A．a(chǎn)〈b<cB．c<b<aC．c〈a<bD．b〈a<c3．答案:C采用作商法，易知a，b，c都是正值，eq\f(b,a）＝eq\f(2ln3，3ln2)＝log89〉1，又a＝eq\f（ln2,2)〉0,∴b>a，eq\f（a,c）＝eq\f（5ln2，2ln5)＝log2532〉1?！郺>c。4．實數(shù)a，b，c，d滿足下列三個條件：①d>c,②a＋b＝c＋d，③a＋d〈b＋c，則將a，b，c,d按照從大到小的次序排列為__________．4．答案:b>d〉c>a由③可得，d－b〈c－a；由②可得，c－a＝b－d，于是有d－b<b－d，a－c<c－a，∴d〈b，a<c.再由①d>c可得結(jié)果：b〉d〉c>a。5．若a>b〉0，c〈d〈0,e〈0，則eq\f（e,（a－c）2）__________eq\f（e,（b－d）2）.（填不等號“〉"或“〈"）5．答案：〉∵c<d<0，∴－c〉－d〉0.又a>b〉0，∴a－c〉b－d>0?！啵╝－c)2〉(b－d)2〉0.同邊同乘以eq\f(1，(a－c）2（b－d)2)，得eq\f(1,(a－c)2）<eq\f(1，(b－d）2）。又e<0，∴eq\f（e，（a－c）2)>eq\f(e,（b－d)2)。6．給出下列命題：①若x〈y,則a2x〈a2y；②若x<y，則x2n＋1<y2n＋1(n∈N＋）；③若x〉y>1,則logeq\f（1，x）y>logeq\f（1，y）x。其中正確命題的序號是__________．6．答案：②③對于①，a＝0時，a2x＝a2y，故命題①錯．對于②，由冪函數(shù)y＝x2n＋1（n∈N＋）是增函數(shù)這一性質(zhì)可知：當(dāng)x<y時，有x2n＋1<y2n＋1.故命題②正確．對于③，由x>y〉1，得0<eq\f(1,x）<eq\f（1,y)<1，而函數(shù)y＝logax當(dāng)0<a〈1時，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減,故logeq\f（1,x）y>logeq\f（1,x）x＝－1＝logeq\f(1，y)y〉logeq\f(1,y）x，命題③也正確．7．已知a≥1，試比較M＝eq\r(a＋1)－eq\r（a）和N＝eq\r(a）－eq\r(a－1）的大?。?．答案：解:M－N＝(eq\r(a＋1）－eq\r(a））－(eq\r（a)－eq\r(a－1)）＝eq\f（1,\r(a＋1)＋\r（a)）－eq\f(1，\r（a)＋\r（a－1）)＝eq\f（\r（a－1）－\r(a＋1),（\r(a＋1）＋\r（a)）(\r（a)＋\r（a－1）)），∵a≥1,∴eq\r（a＋1）＋eq\r(a）>0，eq\r(a）＋eq\r(a－1）〉0。又0<a<a＋1，∴eq\r（a－1)〈eq\r（a＋1），即eq\r（a－1）－eq\r（a＋1）〈0.∴M－N〈0.故M<N。8．在等比數(shù)列｛an｝和等差數(shù)列{bn｝中，a1＝b1>0，a3＝b3〉0，且a1≠a3,試比較a2與b2的大?。?．答案:解：設(shè)｛an｝的公比為q，{bn｝的公差為d,則a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d?！遖3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d，即2d＝a1(q2－1)．∴d＝eq\f(1,2)a1（q2－1）．∵a1≠a3＝a1q2,∴q2≠1?！鄎≠±1.∵a2－b2＝a1q－(a1＋d）＝a1q－a1－eq\f（1,2）a1（q2－1）＝－eq\f(1，2)a1(q－1）2<0，∴a2〈b2。9．（1)比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大??；(2)已知a〉0且a≠1，p＝loga（a3＋1),q＝loga(a2＋1）,比較p與q的大?。?．答案:解：（1)(2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f（1，2））2＋eq\f（3，4）?！撸▁＋eq\f（1,2))2≥0,∴（x＋eq\f（1，2))2＋eq\f（3,4)≥eq\f（3,4）〉0。∴(2x2＋5x＋3)－（x2＋4x＋2)>0。∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.（2)p－q＝loga（a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1）。當(dāng)a>1時，a3＋1〉a2＋1，∴eq\f（a3＋1,a2＋1)>1。∴l(xiāng)ogaeq\f（a3＋1，a2＋1）〉0；當(dāng)0<a<1時，a3＋1〈a2＋1,∴0＜eq\f（a3＋1，a2＋1）<1?！鄉(xiāng)ogaeq\f（a3＋1，a2＋1)>0.總之,p－q〉0，∴p>q。點評：(1)比較兩數(shù)式的大小，可將其轉(zhuǎn)化為差運算，即用作差比較法,共分為四點：作差→整理→符號→結(jié)論．（2）第(2)題通過分類討論判斷差的符號可以看到,用作差比較法時，判斷所作的差的符號常用配方法、分解因式法、分類討論法．（3)若都為正數(shù)的兩個單項式比較大小，也可以采用作商比較法．依據(jù)是若a〉0,b>0，eq\f（b,a)〉1，則a<b，注意商與1比較．10．某商品計劃兩次提價,有甲、乙兩種方案(p〉q>0)如下表，經(jīng)過兩次提價后，哪種方案提價幅度大？次方案第一次提價第二次提價甲p％q％乙eq\f(1,2)(p＋q）%eq\f（1，2)(p＋q)%10．答案：解：設(shè)商品原價為a,按甲、乙方案兩次提價后價格分別為N甲、N乙,則N甲＝a(1＋p%）（1＋q％)，N乙＝a［1＋eq\f（1,2）（p＋q