第三章矩陣的初等變換練習(xí)題參考答案

線性代數(shù)練習(xí)題fengyuan@PAGEPAGE2第三章矩陣的初等變換練習(xí)題參考答案一、判斷題（）1．設(shè)A是n階可逆方陣，則齊次線性方程組只有零解。（）2．若n階矩陣A可逆，則。（×）3．n元非齊次線性方程組有解的充分必要條件。（）4.兩個(gè)n階矩陣A，B行等價(jià)的充要條件是存在n階可逆矩陣P使得。（×）5.任何矩陣都可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行階梯形矩陣，并且化為的行階梯形矩陣是唯一確定的。（×）6.若n階矩陣A的秩為，則A的所有階子式均不為零。（）7.可逆矩陣總可以只經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為單位矩陣。（）8.設(shè)矩陣的秩為，則中所有階子式必為零。（×）9.設(shè)為矩陣，則有無(wú)窮多解。（×）10.只有行等價(jià)的矩陣才具有相同的秩，列等價(jià)的矩陣不具有相同的秩.二、填空題1.矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣為。2.設(shè)是5階方陣，且滿足，則5。3．非齊次線性方程組的增廣矩陣為B=，則當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)方程組有無(wú)窮解。4．設(shè)線性方程組的增廣矩陣為，則該方程組有解的充要條件是。5.設(shè)矩陣A經(jīng)初等行變換可化為行階梯形矩陣B。若A的秩為3，則B中非零行的行數(shù)為3。6.設(shè)矩陣，當(dāng)____9___時(shí)，。三、簡(jiǎn)單計(jì)算題1.設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系式，其中，求矩陣B。解：由得，即。所以。2.設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系，其中。（1）試判定是否可逆，說(shuō)明理由。（2）求矩陣B。解：（1）由于，所以，從而可逆。（2）由得，即。利用初等變換法可求得B：，所以。說(shuō)明：此題目中證明矩陣可逆，可以直接由與單位矩陣行等價(jià)得到結(jié)論。四、綜合計(jì)算題設(shè)，，且矩陣A滿足，其中E是4階單位矩陣，是C的逆矩陣，是C的轉(zhuǎn)置矩陣。求矩陣A。答案：（方法并不唯一）先化簡(jiǎn)關(guān)系式得到。所以。又由于，利用初等變換法可得，所以。2.已知矩陣，若，試至少用兩種方法證明：矩陣的秩.證法一：（利用矩陣的秩的概念證明）由于，所以矩陣有1階子式。又矩陣中任意兩行元素都成比例，所以，且矩陣的任意一個(gè)2階子式也為零。從而矩陣的最高階非零子式的階數(shù)為1，即。證法二：（利用初等行變換化行階梯形矩陣證明）由于，所以，從而對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換可得:。由于，所以矩陣的第一行為非零行，所以。證法三：（利用矩陣的秩的概念和矩陣的秩的性質(zhì)（教材70頁(yè)性質(zhì)⑦）證明）顯然，，則由矩陣的秩的性質(zhì)