遼寧省師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月模塊考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年度遼附高二上學(xué)期年10月模塊考試一.選擇題（共8小題）1.若點(diǎn)在圓的外部，則的取值范圍為（）A. B. C. D.2.下列選項(xiàng)中，不正確的命題是（）A.若兩條不同直線，的方向向量為，，則B.若是空間向量的一組基底，且，則點(diǎn)在平面內(nèi)，且為的重心C.若是空間向量的一組基底，則也是空間向量的一組基底D.若空間向量，，共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)，，使3.設(shè)，，，，且，，則（）A. B. C.3 D.4.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B. C. D.5.若直線在軸、軸上的截距相等，且直線將圓的周長(zhǎng)平分，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或6.已知直線：與直線：交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A.2 B. C. D.17.正方體的棱長(zhǎng)為4，為棱中點(diǎn)，為正方形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.8.已知曲線與軸交于不同的兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，則過，，（，，均不重合）三點(diǎn)的圓的半徑不可能為（）A. B. C.1 D.2二.多選題（共3小題）9.已知直線：，：，：不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值可能為（）A.1 B. C. D.10.在正三棱柱中，已知，空間點(diǎn)滿足，則（）A.當(dāng)時(shí)，為正方形對(duì)角線交點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)C.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為D.當(dāng)，且時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得11.如圖，六面體的一個(gè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則下列正確的有（）A.B.直線與直線所成角的余弦值為C.平面與平面所成角的余弦值為D.當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到平面的距離的最小值為1三.填空題（共3小題）12.已知直線：，：，若則實(shí)數(shù)______.13.設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是______.14.已知，空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.用以上知識(shí)解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為______.四.解答題（共5小題）15.如圖，在平行六面體中，，，，，，是的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求異面直線和夾角的余弦值.16.已知直線的方程為：.（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；（2）過點(diǎn)引直線交坐標(biāo)軸正半軸于、兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求的周長(zhǎng).17.如圖，在三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)在棱上，且（1）證明：平面；（2）設(shè)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且平面，求二面角的正弦值.18.如圖，在三棱臺(tái)中，，，為的中點(diǎn)，二面角的大小為.（1）求證：；（2）若，求三棱臺(tái)的體積；（3）若到平面的距離為，求的值.19.已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點(diǎn)，.（1）求的長(zhǎng)；（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值；（3）若為上一點(diǎn)，且滿足，求.

2024-2025學(xué)年度遼附高二上學(xué)期年10月模塊考試參考答案與試題解析一.選擇題（共8小題）1.【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，列式算出，然后根據(jù)點(diǎn)在圓的外部，列式算出，再求交集即可得到本題的答案.【解答】解：方程表示圓，所以，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，所以將點(diǎn)代入圓方程的左邊，得，解得.綜上所述，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元二次方程表示圓的條件、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用、不等式的解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.2.【分析】直接利用向量的共線，向量的線性運(yùn)算，基底的定義，共面向量基本定理判斷A、B、C、D的結(jié)論.【解答】解：對(duì)于A：兩條不同直線，的方向向量為，，則，故A正確；對(duì)于B：若是空間向量的一組基底，且，整理得，所以，故，所以，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且為的重心，故B正確；對(duì)于C：若是空間向量的一組基底，由于，則不是空間向量的一組基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若空間向量，，共面，由共面向量基本定理，則存在不全為0的實(shí)數(shù)，，使，故D正確.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的共線，向量的線性運(yùn)算，基底的定義，共面向量基本定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.3.【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直、平行的性質(zhì)，求出，再結(jié)合向量模公式，即可求解.【解答】解：，且，則，解得，因?yàn)?，且，所以，，所以，所以，所?故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)將軍飲馬的位置與重合時(shí)，將軍飲馬的總路程最短，由此列式算出答案.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，與直線交于點(diǎn)，設(shè)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得，解得，即，當(dāng)將軍飲馬的位置與重合時(shí)，將軍飲馬的總路程最短，因此，“將軍飲馬”的最短路程為.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的方程及其應(yīng)用、兩條垂直與方程的關(guān)系、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.5.【分析】分截距是否為0兩種情況求解即可.【解答】解：由已知圓，直線將圓平分，則直線經(jīng)過圓心，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入上式，解得，當(dāng)直線截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入上式，解得，直線的方程為或.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.6.【分析】將點(diǎn)代入直線的方程，可得的值，求出原點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值.【解答】解：將代入直線的方程可得，解得，所以的方程為：，可得，原點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用，可得和的等式，從而確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再求其長(zhǎng)度即可.【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，則，，所以，，因?yàn)?，所以，即，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，分別在和上取點(diǎn)，，使得，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，而，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，熟練掌握利用向量法求軌跡是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.8.【分析】由已知先確定圓心位置，然后表示圓的半徑，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求半徑的取值范圍，進(jìn)而可求.【解答】解：設(shè)，，，易得，設(shè)過，，的、三點(diǎn)的圓的圓心為，則在對(duì)稱軸上，設(shè)，由題意得，，，由可得，，整理得，，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，即，綜上，，則半徑.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.二.多選題（共3小題）9.【分析】由題意，可得其中有2條直線平行，或者三線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn).再根據(jù)兩條直線平行的性質(zhì)，三直線共點(diǎn)問題，求出的值即可.【解答】解：直線：，：，：不能圍成三角形，則其中有2條直線平行，或者三線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，若其中有2條直線平行，則，或，解得或.若三線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，則直線：，：的交點(diǎn)在上，所以，解得.故選：BCD.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩條直線平行的性質(zhì)，三直線共點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題.10.【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，坐標(biāo)法，即可分別求解.【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，，，為正方形對(duì)角線交點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，平面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，平面，，，C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，建系如圖，則，，，，，，，，為正方形對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)唯一，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題.11.【分析】根據(jù)線面垂直證明線線垂直判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線線角判斷B；求二面角判斷C；利用點(diǎn)面距離判斷D.【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又由正方形可得，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，是平面的法向量，則，，，則，令，可得因?yàn)椋?，解得：，即，?duì)于B，因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然，平面的法向量，又平面的法向量，則，故C正確；對(duì)于D，由知，在以為球心，半徑為1的球面上，因?yàn)?，所以球心到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離的最小值為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體中位置關(guān)系的證明及利用向量法解決空間角，空間距離，屬于難題.三.填空題（共3小題）12.3【分析】利用直線相互平行的充要條件即可得出.【解答】解：故答案為：3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線相互平行的充要條件，屬于中檔題.13.【分析】可得直線分別過定點(diǎn)和且垂直，可得.設(shè)，則，，，則，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域即可.【解答】解：由題意可知，動(dòng)直線，經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過定點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，時(shí)，也垂直，所以兩直線始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，，.設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.14.【分析】設(shè)直線的方向向量為，由，可求直線的方向向量，為平面的法向量，用向量法可求直線與平面所成角的正弦值為.【解答】解：直線是兩個(gè)平面與的交線，設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，令，解得，則直線的方向向量為，平面的方程為，為平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則.直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的求法，屬基礎(chǔ)題.四.解答題（共5小題）15.【分析】（1）在平行六面體中，由棱長(zhǎng)及夾角，由和向量運(yùn)算可得，平方可得，求出數(shù)量積，可得的大?。唬?）由（1）可得的值，進(jìn)而求出異面直線和夾角的余弦值.【解答】解：（1）在平行六面體中，因?yàn)?，，，，，是的中點(diǎn)，，所以，由題意，，，，，所以，所以；（2），，，所以.設(shè)異面直線和夾角為，則，所以.所以異面直線和夾角的余弦值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用及異面直線所成的角的余弦值的求法，屬于中檔題.16.【分析】（1）將直線方程改寫成形式，解方程組即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)，坐標(biāo)，表示出面積，利用基本不等式求出面積的最小值，進(jìn)一步求得，的坐標(biāo)，則答案可求.【解答】（1）證明：由，可得，令.所以直線過定點(diǎn)；（2）解：由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，由題意可設(shè)直線的方程為，設(shè)直線與軸，軸正半軸交點(diǎn)為，，令，得；令，得，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積最小，此時(shí)，，，則的周長(zhǎng)為.所以當(dāng)面積最小時(shí)，的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查恒過定點(diǎn)的直線，考查基本不等式的應(yīng)用，是中檔題.17.【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可證得，再利用面面垂直的性質(zhì)的定理可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出點(diǎn)為的中點(diǎn)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、所在直線分別為、軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線作軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【解答】證明：（1）由得，，，，由余弦定理可得，則，平面平面，平面平面，平面，平面.解：（2）平面，平面，平面平面，故，而是的中點(diǎn)，故為中位線，得，又，故為中點(diǎn)，由（1）可知平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、所在直線分別為、軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線作軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，，，所以，解得，則，解得，故點(diǎn)，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，可得，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，所以，故故二面角的正弦值為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了利用空間向量求二面角的大小，屬于中檔題.18.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，易得，，再由線面垂直的判定與性質(zhì)定理，即可得證；（2）由二面角的定義知，先證平面，可得三棱臺(tái)的高為，再利用棱臺(tái)的體積公式，求解即可；（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到面的距離，可得關(guān)于的方程，解之即可.【解答】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由題意知，四邊形是等腰梯形，是等邊三角形，所以，，因?yàn)?，、平面，所以平面，又平面，所?（2）解：由（1）知，，，所以就是二面角的平面角，即，若，則，即，因?yàn)?，，所以平面，即三棱臺(tái)的高為，因?yàn)?，，所以，，，所以三棱臺(tái)的體積.（3）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，其中，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為，所以，整理得，即，解得或（舍），故的值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定和性質(zhì)定理，棱臺(tái)的體積公式，利用向量法求點(diǎn)到面的距離是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理鞥能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.19.【分析】（1）根據(jù)新定義，異面直線所成角的求法，即可求解；（2）根據(jù)三垂線定理作二面角，再解三角形，即可求解；（3）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，新定義，向量共線，即可求解.【解答】解：