江蘇省南京市溧水區(qū)三校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

江蘇省南京市溧水區(qū)三校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為A.10 B.12C.16 D.202．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C.1025 D.20493．設(shè)等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別是，若，則（）A.1 B.C. D.4．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A. B.C. D.5．已知關(guān)于x的不等式的解集為空集，則的最小值為（）A. B.2C. D.46．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和離心率分別是A. B.C. D.7．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.8．某校開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過(guò)初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒(méi)有并列名次），和去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)說(shuō)“很遺?，你和都末拿到冠軍；對(duì)說(shuō)“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種9．函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.10．一個(gè)幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)高度為1的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體積最大值為（）A. B.C. D.111．若數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.12．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是______①過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8②橢圓C上存在點(diǎn)P，使得③橢圓C的離心率為④P為橢圓上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則線(xiàn)段PQ的最大長(zhǎng)度為314．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點(diǎn)P是滿(mǎn)足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為_(kāi)__________________；若點(diǎn)Q為拋物線(xiàn)E：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線(xiàn)x=-1上的射影為H，則的最小值為_(kāi)__________.15．已知雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)且，則______16．一支車(chē)隊(duì)有10輛車(chē)，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)．第一輛車(chē)于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔10分鐘發(fā)出一輛車(chē)．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開(kāi)車(chē)，并都在18時(shí)停下來(lái)休息．截止到18時(shí)，最后一輛車(chē)行駛了____小時(shí)，如果每輛車(chē)行駛的速度都是60km/h，這個(gè)車(chē)隊(duì)各輛車(chē)行駛路程之和為_(kāi)_____千米三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為落實(shí)國(guó)家扶貧攻堅(jiān)政策，某地區(qū)應(yīng)上級(jí)扶貧辦的要求，對(duì)本地區(qū)所有貧困戶(hù)每年年底進(jìn)行收入統(tǒng)計(jì)，下表是該地區(qū)貧困戶(hù)從2017年至2020年的收入統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：（其中y為貧困戶(hù)的人均年純收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代碼1234人均年純收入y/百元25283235（1）在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出A貧困戶(hù)的人均年純收入關(guān)于年份代碼的散點(diǎn)圖；（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程，并估計(jì)A貧困戶(hù)在年能否脫貧.（注：假定脫貧標(biāo)準(zhǔn)為人均年純收入不低于元）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，.18．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，，，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）的左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，記直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，求證：19．（12分）已知拋物線(xiàn)C：經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)C的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；（2）經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)M，N，且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)Q.若，求直線(xiàn)l的方程.20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別為PA和PC的中點(diǎn)（1）證明：直線(xiàn)DM∥平面PBC；（2）求直線(xiàn)BM和平面BDN所成角的余弦值；（3）求二面角M-BD-N正弦值；（4）求點(diǎn)P到平面DBN距離；（5）設(shè)點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)的射影為點(diǎn)H，求線(xiàn)段HA的長(zhǎng)21．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.22．（10分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，、是橢圓上位于直線(xiàn)兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)的斜率為，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結(jié)果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長(zhǎng)，，所以：周長(zhǎng)，由橢圓的第一定義，，所以，周長(zhǎng)故選D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，三角形的周長(zhǎng)的求法，屬于基本知識(shí)的考查2、B【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)得數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為滿(mǎn)足，所以當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即所以，解得或，因?yàn)?，所?所以，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以故選：B3、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式變形求解即可【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以，故選：B4、D【解析】拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題5、D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項(xiàng)系數(shù)大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以的最小值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式，關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系，再將所求的式子運(yùn)用不等式的性質(zhì)降低元的個(gè)數(shù)，運(yùn)用均值不等式，是中檔題.6、A【解析】先根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程公式和離心率定義分別計(jì)算即可.【詳解】雙曲線(xiàn)的，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，離心率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)及離心率，屬于簡(jiǎn)單題.離心率的求解在圓錐曲線(xiàn)的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線(xiàn)的定義來(lái)求解;④根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義求解7、A【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)寫(xiě)出式子，由遞推式及求和公式寫(xiě)出和，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項(xiàng)求和是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因?yàn)?，，，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題能力，屬于難題.8、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問(wèn)題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有種情況故選：D.9、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值點(diǎn)【詳解】，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴函數(shù)在的極大值點(diǎn)為故選：C10、B【解析】根據(jù)題意得到幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為球的直徑時(shí)，長(zhǎng)方體體積最大，設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，得到等量關(guān)系，利用基本不等式求解體積最大值.【詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體時(shí)，體積最大，此時(shí)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為球的直徑，設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為，寬為，則由題意得：，解得：，而長(zhǎng)方體體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B11、C【解析】利用前項(xiàng)積與通項(xiàng)的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：C.12、A【解析】將拋物線(xiàn)的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得到答案；【詳解】拋物線(xiàn)的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合的周長(zhǎng)計(jì)算可判斷①；根據(jù)，可通過(guò)以為直徑作圓，是否與橢圓相交判斷②；求出橢圓的離心率可判斷③；計(jì)算橢圓上的點(diǎn)到圓心的距離的最大值，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由題意知：的周長(zhǎng)等于，故①正確；對(duì)于②，，故以為直徑作圓，與橢圓相交，交點(diǎn)即設(shè)為P，故橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，故②正確；對(duì)于③，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，坐標(biāo)為，則，故，因?yàn)?，所以的最大值?，故線(xiàn)段PQ的最大長(zhǎng)度為2+1=3，故④正確，故答案為：①②④.14、①.②.【解析】（1）利用直譯法直接求出P點(diǎn)的軌跡（2）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到另一個(gè)定點(diǎn)的距離，然后結(jié)合拋物線(xiàn)的定義容易求得的最小值【詳解】設(shè)P（x，y），由阿氏圓的定義可得即化簡(jiǎn)得則設(shè)則由拋物線(xiàn)的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義及幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了阿氏圓定義的應(yīng)用．還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較大15、3【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求出，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)為，所以、，因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：16、①.2.5####②.1950【解析】通過(guò)分析，求出最后一輛車(chē)的出發(fā)時(shí)間，從而求出最后一輛車(chē)的行駛時(shí)間，這10輛車(chē)的行駛路程可以看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以最后一輛車(chē)出發(fā)時(shí)間為15時(shí)30分，則最后一輛車(chē)行駛時(shí)間為18-15.5=2.5小時(shí)，第一輛車(chē)行程為km，且從第二輛車(chē)開(kāi)始，每輛車(chē)都比前一輛少走km，這10輛車(chē)的行駛路程可以看作首項(xiàng)為240，公差為-10的等差數(shù)列，則10輛車(chē)的行程路程之和為（km）.故答案為：2.5,1950三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）散點(diǎn)圖見(jiàn)解析；（2），能夠脫貧.【解析】（1）直接畫(huà)出點(diǎn)即可；（2）利用公式求出與，即可求出，把代入即可估計(jì)出A貧困戶(hù)在2021年能否脫貧.【小問(wèn)1詳解】畫(huà)出y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，如圖所示：【小問(wèn)2詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，，又因?yàn)椋?，，關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，當(dāng)時(shí)，（百元），估計(jì)年A貧困戶(hù)人均年純收入達(dá)到元，能夠脫貧.18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)由可求出，結(jié)合離心率可知，進(jìn)而可求出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意知，，則由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得直線(xiàn)的解析式為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，從而由斜率的計(jì)算公式對(duì)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)從而可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以．又因?yàn)殡x心率，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）證明：由題意知，，，則直線(xiàn)的解析式為，代入橢圓方程，得設(shè)，，則．又因?yàn)?，，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程后，結(jié)合韋達(dá)定理，用表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，從而代入進(jìn)行整理化簡(jiǎn).19、（1）拋物線(xiàn)C的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為（2）或.【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)求出即可得出拋物線(xiàn)方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，表示出弦長(zhǎng)和即可求出.【小問(wèn)1詳解】將代入可得，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由題得，設(shè)直線(xiàn)方程為，，設(shè)，聯(lián)立方程，可得，則，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)Q，則，則，因?yàn)?，所以，解得，所以直線(xiàn)l的方程為或.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）（4）（5）【解析】（1）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，證明與平面的法向量垂直，從而證明直線(xiàn)平面（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直線(xiàn)和平面所成角的余弦值（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值（4）求出的坐標(biāo)，再求出平面的法向量，利用向量法，求出點(diǎn)到平面的距離；（5）設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，從而表示出的坐標(biāo)，求出到平面的距離，列出方程組，求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的長(zhǎng)度.【小問(wèn)1詳解】四棱錐，底面是一個(gè)直角梯形，，平面，所以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，所以，，取，則，所以，平面，所以直線(xiàn)平面.【小問(wèn)2詳解】，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，所以，所以直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為.【小問(wèn)4詳解】，平面的法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問(wèn)5詳解】設(shè)點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)，得解得，，，或者，，（舍）所以.21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及題干條件，可求得，代入公式，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消求和法，即可求得，即可得證.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解