2025屆云南省迪慶州香格里拉中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆云南省迪慶州香格里拉中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程（）A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x1) D.－x2＝12．積分（）A. B.C. D.3．原點到直線的距離的最大值為（）A. B.C. D.4．已知空間中四點，，，，則點D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.05．已知是數(shù)列的前項和，，則數(shù)列是（）A.公比為3的等比數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.公比為的等比數(shù)列 D.既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列6．已知橢圓與圓在第二象限的交點是點，是橢圓的左焦點，為坐標原點，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.7．已知，，，則，，的大小關(guān)系是A. B.C. D.8．已知F是拋物線x2＝y(tǒng)的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到x軸的距離為（）A. B.C.1 D.9．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.410．已知向量，且，則的值為（）A.4 B.2C.3 D.111．隨機地向兩個標號分別為1與2的格子涂色，涂上紅色或綠色，在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的概率為（）A. B.C. D.12．在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.或C. D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在正方體中，點是底面內(nèi)（含邊界）的一點，且平面，則異面直線與所成角的取值范圍為____________14．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______15．在一村莊正西方向處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為，距臺風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，則村莊所在地大約有_______小時會受到臺風(fēng)的影響．（參考數(shù)據(jù)：）16．函數(shù)在處的切線方程是_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.18．（12分）設(shè)命題p：實數(shù)x滿足，其中；命題q：若，且為真，求實數(shù)x的取值范圍；若是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍19．（12分）某省食品藥品監(jiān)管局對15個大學(xué)食堂“進貨渠道合格性”和“食品安全”進行量化評估，滿分為10分，大部分大學(xué)食堂的評分在7~10分之間，以下表格記錄了它們的評分情況：分數(shù)段食堂個數(shù)1383（1）現(xiàn)從15個大學(xué)食堂中隨機抽取3個，求至多有1個大學(xué)食堂的評分不低于9分的概率；（2）以這15個大學(xué)食堂的評分數(shù)據(jù)評估全國的大學(xué)食堂的評分情況，若從全國的大學(xué)食堂中任選3個，記X表示抽到評分不低于9分的食堂個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）在二項式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項；（2）若第4項的系數(shù)與第7項的系數(shù)比為，求：①二項展開式中的各項的二項式系數(shù)之和；②二項展開式中各項的系數(shù)之和21．（12分）已知數(shù)列中，，（）.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和為.22．（10分）如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點在上，且.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)雙曲線定義求解【詳解】,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A第II卷（非選擇題2、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B3、C【解析】求出直線過的定點，當時，原點到直線距離最大，則可求出原點到直線距離的最大值；【詳解】因為可化為，所以直線過直線與直線交點，聯(lián)立可得所以直線過定點，當時，原點到直線距離最大，最大距離即為，此時最大值為，故選：C.4、C【解析】根據(jù)題意，求得平面的一個法向量，結(jié)合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點，，，，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點D到平面ABC的距離為.故選：C.5、D【解析】由得，然后利用與的關(guān)系即可求出【詳解】因為，所以所以當時，時，所以故數(shù)列既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列故選：D【點睛】要注意由求要分兩步：1.時，2.時.6、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因為圓，可得，過點作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因為，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】若對數(shù)式的底相同，直接利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可，若底不同，則根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小【詳解】對于的大小：，，明顯；對于的大小：構(gòu)造函數(shù)，則，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，即對于的大?。?，，，故選B【點睛】將兩兩變成結(jié)構(gòu)相同的對數(shù)形式，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，對于結(jié)構(gòu)類似的，可以通過構(gòu)造函數(shù)來來比較大小，此題是一道中等難度的題目8、B【解析】根據(jù)拋物線的方程求出準線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，列出方程求出，的中點縱坐標，求出線段的中點到軸的距離【詳解】解：拋物線的焦點準線方程，設(shè)，，，解得，線段的中點縱坐標為，線段的中點到軸的距離為，故選：B【點睛】本題考查解決拋物線上的點到焦點的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】延長交延長線于N,則選:A.【點睛】涉及兩焦點問題，往往利用橢圓定義進行轉(zhuǎn)化研究，而角平分線性質(zhì)可轉(zhuǎn)化到焦半徑問題，兩者切入點為橢圓定義.10、A【解析】由題意可得，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示列方程，解方程即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量，，所以，解得，所以的值為，故選：A.11、D【解析】根據(jù)古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色有紅色與綠色兩種情況，其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的情況有1種，所以在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的概率為.故選：D.12、C【解析】計算出等比數(shù)列的公比，即可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過作平面平面，得到在與平面的交線上，連接，證得平面平面，得到點在上，設(shè)正方體的棱長為，且，得到，，設(shè)與所成角為，利用向量的夾角公式，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】過作平面平面，因為點是底面內(nèi)（含邊界）的一點，且平面，則平面，即在與平面的交線上，連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，同理可證平面，所以平面平面，則平面即為，點在線段上，設(shè)正方體的棱長為，且，則，，可得，設(shè)與所成角為，則，當時，取得最小值，最小值為，當或時，取得最大值，最大值為故答案為14、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式運算即可得解.【詳解】解：設(shè)圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎(chǔ)題.15、4【解析】結(jié)合勾股定理求得正確答案.【詳解】如圖，設(shè)村莊為A，開始臺風(fēng)中心的位置為B，臺風(fēng)路徑為直線，因為點A到直線的距離為，∴村莊所在地受到臺風(fēng)影響的時間約為：（小時）.故答案為：本卷包括必考題和選考題兩部分．第17題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答16、【解析】求得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，，，故在處的切線方程是，整理得：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)向量垂直的坐標表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設(shè)，表示點Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因為平面，平面，平面，所以，，又因為，則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，，，，，，所以，，，因為，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設(shè)平面的法向量因為，.所以，即，不妨設(shè)，得.，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為.（3）設(shè)，即，，所以，即，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得，即.【點睛】本題考查利用空間向量求線面垂直、線面角、二面角的求法，向量法求二面角的步驟：建、設(shè)、求、算、?。?、建：建立空間直角坐標系，以三條互相垂直的垂線的交點為原點；2、設(shè)：設(shè)所需點的坐標，并得出所需向量的坐標；3、求：求出兩個面的法向量；4、算：運用向量的數(shù)量積運算，求兩個法向量的夾角的余弦值；5、?。焊鶕?jù)二面角的范圍和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角，再取值.18、(1)(2)【解析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；寫出命題所對應(yīng)的集合，命題p：，命題q：，由是的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件，則A是B的真子集，列不等式組可求解【詳解】解：(1)由，其中；解得，又，即，由得：，又為真，則，得：，故實數(shù)x的取值范圍為；由得：命題p：，命題q：，由是的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件，A是B的真子集，所以，即故實數(shù)m取值范圍為：.【點睛】本題考查了二次不等式的解法，復(fù)合命題的真假，命題與集合的關(guān)系，屬于簡單題19、（1）（2）分布列見解析，【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由題設(shè)可得，故利用二項分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【小問1詳解】設(shè)至多有1個大學(xué)食堂的評分不低于9分為事件，則.所以至多有1個大學(xué)食堂的評分不低于9分的概率為.【小問2詳解】任意一個大學(xué)食堂，其評分不低于9分的概率為，故，所以，，，，的分布列為：0123.20、（1）60（2）①1024；②1【解析】（1）根據(jù)二項式定理求解（2）根據(jù)二項式定理與條件求解，二項式系數(shù)之和為，系數(shù)和可賦值【小問1詳解】若，則，（，…，9）令∴∴常數(shù)項為.【小問2詳解】，（，…，），解得①②令，得系數(shù)和為21、（1）（2）【解析】由已知式子變形可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式易得利用錯位相減法，得到數(shù)列的前項和為解析：（1）由，（）知，又，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，∴（2），，兩式相減得，∴點睛：本題主要考查數(shù)列的證明，錯位相減法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化能力和計算能力．第一問中將已知的遞推公式進行變形，轉(zhuǎn)化為的形式來證明，還可以根據(jù)等比數(shù)列的定義來證明；第二問，將第一問中得到的結(jié)論代入，先得到的表達式，利用錯位相減法，即可得到數(shù)列的前項和為22、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）以為原點，所在的