河北省望都中學2025屆數學高二上期末綜合測試試題含解析

河北省望都中學2025屆數學高二上期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于公差為1的等差數列，；公比為2的等比數列，，則下列說法不正確的是（）A.B.C.數列為等差數列D.數列的前項和為2．在三棱錐中，，D為上的點，且，則（）A. B.C. D.3．下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.4．方程表示的曲線經過的一點是（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角為（）A.0 B.C. D.6．將的展開式按x的降冪排列，第二項不大于第三項，若，且，則實數x的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.8．已知數列滿足，則（）A. B.C. D.9．已知數列的前項和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數列 D.,,成等比數列10．若集合，，則A. B.C. D.11．已知集合，則（）A. B.C. D.12．設正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點F為，過點F的直線交該拋物線的準線于點A，與該拋物線的一個交點為B，且，則______14．將參加冬季越野跑的名選手編號為：，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為的樣本，把編號分為組后，第一組的到這個編號中隨機抽得的號碼為，這名選手穿著三種顏色的衣服，從到穿紅色衣服，從到穿白色衣服，從到穿黃色衣服，則抽到穿白色衣服的選手人數為__________15．已知，，，…，為拋物線：上的點，為拋物線的焦點．在等比數列中，，，，…，．則的橫坐標為__________16．已知等比數列滿足：，，，則公比______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數列的前項和為，，．數列的前項和為，且，（1）分別求數列和的通項公式；（2）若，為數列的前項和，是否存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由18．（12分）已知點A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.(1)求E的方程；(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.19．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值20．（12分）已知圓：，點A是圓上一動點，點，點是線段的中點.（1）求點的軌跡方程；（2）直線過點且與點的軌跡交于A，兩點，若，求直線的方程.21．（12分）已知函數，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有唯一的零點.（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┳C明：.22．（10分）已知數列中，，且滿足（1）求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由等差數列的通項公式判定選項A正確；利用等比數列的通項公式求出，即判定選項B錯誤；利用對數的運算和等差數列的定義判定選項C正確；利用錯位相減法求和，即判定選項D正確.【詳解】對于A:由條件可得，，即選項A正確；對于B：由條件可得，，即選項B錯誤；對于C：因為，所以，則，即數列是首項和公差均為的等差數列，即選項C正確；對于D：，設數列的前項和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項D正確.故選：B.2、B【解析】根據幾何關系以及空間向量的線性運算即可解出【詳解】因為，所以，即故選：B3、B【解析】根據基本初等函數的導數和求導法則判斷.【詳解】，，，，只有B正確.故選：B.【點睛】本題考查基本初等函數的導數公式，考查導數的運算法則，屬于基礎題.4、C【解析】當時可得，可得答案.【詳解】當時可得所以方程表示的曲線經過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C5、D【解析】根據斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】由題的斜率，故傾斜角的正切值為，又，故.故選：D.6、A【解析】按照二項展開式展開表示出第二項第三項，解不等式即可.【詳解】由二項展開式，第二項為：，第三項為：，依題意，兩邊約去得到，即，由知，則，同時約去得到.故選：A.7、A【解析】根據給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點到平面的距離.【詳解】依題意，，設平面的法向量，則，令，得，則點到平面的距離為，所以點到平面的距離為.故選：A8、D【解析】根據給定條件求出數列的通項公式，再利用裂項相消法即可計算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D9、C【解析】寫出數列前幾項，觀察規(guī)律，找到數列變化的周期，再依次去判斷各項的說法即可解決.【詳解】數列中，，，，則此數列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數列的各項是周期為6數值循環(huán)重復的一列數，選項A：，，則.判斷錯誤；選項B：由，可知當時，.判斷錯誤；選項C：，則，即,,成等差數列.判斷正確；選項D：,,則，,即,,不能構成等比數列.判斷錯誤.故選：C10、A【解析】通過解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關系示意圖，可得出選項.【詳解】因為，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點睛】本題考查集合間的交集運算，屬于基礎題.11、D【解析】由集合的關系及交集運算，逐項判斷即可得解.【詳解】因為集合，，所以，，.故選：D.【點睛】本題考查了集合關系的判斷及集合的交集運算，考查了運算求解能力，屬于基礎題.12、D【解析】建立空間直角坐標系，根據空間向量所學點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以，，即，設，所以，，即，設點到平面的距離為，所以，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】作垂直于準線，垂足為，準線與軸交于點，根據已知條件，利用幾何方法，結合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點坐標，準線方程，作垂直于準線于，準線與軸交于點，則，∴.∵，∴，由拋物線的定義得，∴.故答案為：.14、【解析】，所以抽到穿白色衣服的選手號碼為，共15、【解析】利用在拋物線上可求得，結合等比數列的公比可求得，利用拋物線的焦半徑公式即可求得結果.【詳解】在拋物線上，，解得：，拋物線；數列為等比數列，又，，公比，，即，解得：，即的橫坐標為.故答案為：.16、【解析】根據等比數列的通項公式可得，結合即可求出公比.【詳解】設等比數列的公式為q，則，即，解得，又，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）利用數列為等比數列，將已知的等式利用首項和公比表示，得到一個方程組，求解即可得到首項和公比，結合等比數列的通項公式即可求出；將已知的等式變形，得到數列為等差數列，利用等差數列通項公式求出，再結合數列的第項與前項和之間的關系進行求解，即可得到；（2）先利用等比數列求和公式求出，從而得到的表達式，然后利用裂項相消求和法求出，假設存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列，利用等比中項、等差中項以及進行化簡變形，得到假設不成立，故可得到答案【詳解】（1）因為數列為等比數列，設首項為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因為，所以，所以，所以，由，可得，所以數列為等差數列，首項為，公差為1，故，則，當時，，當時，也適合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假設存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列，則有，所以，則，即，因為，所以，即，所以，所以，則，所以，則，所以，即，所以，這與已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），使得，，成等比數列【點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.18、（1）（2）【解析】設出，由直線的斜率為求得，結合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點軸時，不合題意；當直線斜率存在時，設直線，聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設，因為直線的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設由題意可設直線的方程為：，聯立消去得，當，所以，即或時.所以點到直線的距離所以，設，則，，當且僅當，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.19、（1）（2）（3）【解析】（1）根據向量數量積的坐標表示即可得解；（2）求出，再根據空間向量的模的坐標表示即可得解；（3）由，可得，再根據數量積的運算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因為，所以，即，解得.20、（1）；（2）x＝1或y＝1.【解析】(1)設線段中點為，點，用x，y表示，代入方程即可；(2)分l斜率存在和不存在進行討論，根據弦長求出l方程.【小問1詳解】設線段中點為，點，，，，，，即點C的軌跡方程為.【小問2詳解】直線l的斜率不存在時，l為x＝1，代入得，則弦長滿足題意；直線l斜率存在時，設直線l斜率為k，其方程為，即，圓的圓心到l的距離，則；綜上，l為x＝1或y＝1.21、（1）；（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析.【解析】（1）求出，，利用導數的幾何意義即可求得切線方程；（2）（?。└鶕}意對參數分類討論，當時，等價轉化，且構造函數，利用零點存在定理，即可求得參數的取值范圍；（ⅱ）根據（?。┲兴蟮玫脚c的等量關系，求得并構造函數，利用導數研究其單調性和最值，則問題得證.【小問1詳解】當時，，則，故，，則曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】（?。┮驗椋士傻?，因為，則當時，，則，無零點，不滿足題意；當時，若在有一個零點，即在有一個零點，也即在有一個零點，又，則單調遞增，則只需，解得.綜上所述，若在區(qū)間上有唯一的零點，則；（ⅱ）由（?。┛芍?，若