吉林省吉林市第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末預測試題含解析

吉林省吉林市第一中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末預測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)a，b，c，若a＞b，則下列不等式成立的是（）A B.C. D.2．已知拋物線的焦點為F，，點是拋物線上的動點，則當?shù)闹底钚r，=（）A.1 B.2C. D.43．已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.5．已知空間向量，，若，則實數(shù)的值是（）A. B.0C.1 D.26．直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓恰好經過橢圓的左焦點，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.7．已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)n的值是（）A. B.C. D.8．若在直線上，則直線的一個方向向量為（）A. B.C. D.9．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應為（）A. B.C. D.10．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.11．下列命題中，正確的是（）A.若a>b，c>d，則ac>bd B.若ac>bc，則a<bC.若a>b，c>d，則a﹣c>b﹣d D.若，則a<b12．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．方程()所表示的直線恒過定點________14．用秦九韶算法求函數(shù)，當時的值時，___________15．已知向量,,并且、共線且方向相同,則______.16．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和18．（12分）已知橢圓左右焦點分別為，，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于M，N兩點，求的取值范圍.19．（12分）已知圓C過點，，它與x軸的交點為，，與y軸的交點為，，且.（1）求圓C的標準方程；（2）若，直線，從點A發(fā)出的一條光線經直線l反射后與圓C有交點，求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.20．（12分）某快餐配送平臺針對外賣員送餐準點情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時間內送達、延遲5分鐘內送達、延遲5至10分鐘送達、其他延遲情況，分別評定為四個等級，各等級依次獎勵3元、獎勵0元、罰款3元、罰款6元.假定評定為等級的概率分別是.（1）若某外賣員接了一個訂單，求其不被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個訂單，且兩個訂單互不影響，求這兩單獲得的獎勵之和為3元的概率.21．（12分）已知橢圓()與橢圓的焦點相同，且橢圓C過點（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點A，B，且，(O為坐標原點)，若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由；（3）P是橢圓C上異于上頂點，下頂點的任一點，直線，，分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值22．（10分）某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克，每種植1萬千克蓮藕，成本增加0.5萬元.種植萬千克蓮藕的銷售額(單位：萬元)是(是常數(shù))，若種植2萬千克蓮藕，利潤是1.5萬元，求：（1）種植萬千克蓮藕利潤(單位：萬元)為的解析式；（2）要使利潤最大，每年需種植多少萬千克蓮藕，并求出利潤的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)不等式的性質逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對于A，因為a＞b，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若a＞b，又，所以，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤.故選：C.2、B【解析】根據(jù)拋物線定義，轉化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點坐標，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準線方程為，，過P作垂直于準線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關鍵點睛：本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是要將取最小值轉化為直線斜率最大，再轉化為拋物線的切線，考查學生的轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題.3、B【解析】直接利用兩點間的坐標公式和直線的斜率的關系求出結果【詳解】解：直線過點且斜率為，與連接兩點，的線段有公共點，由圖，可知，，當時，直線與線段有交點故選：B4、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因為，所以，所以.故選：A5、C【解析】根據(jù)空間向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有.故選：C6、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質以及直線的傾斜角求解出的長度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關系，則橢圓離心率可求.【詳解】設橢圓的左右焦點分別為，如下圖：因為以線段為直徑的圓恰好經過橢圓的左焦點，所以且，所以，又因為的傾斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故選：D.7、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點為，，因為雙曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C8、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個方向向量，又∵，∴是直線的一個方向向量故選：D9、C【解析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】用表示這個數(shù)列，依題意，，則，，第四個數(shù)即.故選：C.10、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故.故選：D.11、D【解析】運用不等式性質，結合特殊值法，對選項注逐一判斷正誤即可.【詳解】選項A中，若，時，則成立，否則，若，則，顯然錯誤，故選項A錯誤；選項B中，若，，則能推出，否則，若，則，顯然錯誤，故選項B錯誤；選項C中，若，則，顯然錯誤，故選項C錯誤；選項D中，若，顯然，由不等式性質知不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等式不變號，即.故選：D12、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因為直線在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將方程化為，令得系數(shù)等于0，即可得到答案.【詳解】方程可化為，由，得，所以方程()所表示的直線恒過定點.故答案為：.【點睛】本題考查了直線恒過定點問題，屬于基礎題.14、0【解析】利用秦九韶算法的定義計算即可.【詳解】故答案為:015、4【解析】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設.由坐標運算求得的值,進而求得.即可求得的值.【詳解】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設由向量的坐標運算可得解方程可得所以.故答案為:【點睛】本題考查了空間向量共線基本定理的應用,根據(jù)向量的共線定理求參數(shù),屬于基礎題.16、【解析】作出該不等式表示的平面區(qū)域，由的幾何意義結合距離公式得出答案.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示過點作直線的垂線，垂足為因為表示原點與可行域中點之間的距離，所以的最小值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)條件列公差與公比方程組，解得結果，代入等差數(shù)列通項公式即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接求解.【詳解】（1）設等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，因為，所以因此；（2）數(shù)列的前n項和【點睛】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式、等比數(shù)列求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.18、（1）（2）【解析】（1）依題意得到方程組，求出、、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出過且與軸垂直時、的坐標，即可得到，當過的直線不與軸垂直時，可設，，直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示得到，將韋達定理代入得到，再根據(jù)函數(shù)的性質求出取值范圍；【小問1詳解】解：由題意可列方程組，解得，所以橢圓方程為：.【小問2詳解】解：①當過的直線與軸垂直時，此時，，，則，.②當過的直線不與軸垂直時，可設，，直線方程為聯(lián)立得：.所以，=將韋達定理代入上式得：.，，，由①②可知.19、（1）；（2）.【解析】（1）設圓C的一般式方程為：，然后根據(jù)題意列出方程，解出D，E，F(xiàn)的值即可得到圓的方程；（2）先求出點關于直線l的對稱點，設反射光線所在直線方程為，利用直線和圓的位置關系列出不等式解出k的取值范圍即可.【詳解】（1）設圓C的一般式方程為：，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圓C過點，，所以有，②，③由①②③得，，，所以圓C的一般式方程為，標準方程為；（2）設關于的對稱點，所以有，解之得，故點，∴反射光線所在直線過點，設反射光線所在直線方程為：，所以有，所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為.【點睛】本題考查圓的方程的求法，直線和圓的位置關系的應用，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于?？碱}.20、（1）（2）【解析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由條件可知兩單共獲得的獎勵為3元即事件，同樣利用互斥事件和的概率，即可求解.【小問1詳解】設事件分別表示“被評為等級”，由題意，事件兩兩互斥，所以，又“不被罰款”，所以.因此“不被罰款”概率為；【小問2詳解】設事件表示“第單被評為等級”，，則“兩單共獲得的獎勵為3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.21、（1）；（2）存在，；（3）證明見解析，定值2【解析】(1)根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)解方程組即可得到C的方程；(2)設出AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)關系，代入由確定方程內即可得到結果；(3)設P點坐標，求出M和N坐標，設出圓G的圓心坐標，求得圓的半徑，由垂徑定理求得切線長|OT|，結合P在橢圓上可證|OT|為定值﹒【小問1詳解】設橢圓C的方程為將點代入橢圓方程有點解得，(舍)∴橢圓的方程為；【小問2詳解】設，當AB斜率存在時，設，代入，整理得，由得，即，由韋達定理化簡得，即，設存在圓與直線相切，則，解得，∴圓的方程為；又若AB斜率不存在時，檢驗知滿足條件，故存在圓心在原點的圓符合題意；【