江蘇省南通市啟東中學(xué)創(chuàng)新班2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

江蘇省南通市啟東中學(xué)創(chuàng)新班2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.2．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.3．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明.他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．在平面上有一系列點(diǎn)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，以點(diǎn)為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項(xiàng)之和為，則（）A. B.C. D.6．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.57．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，則x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A. B.C. D.8．“”是“圓與軸相切”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知函數(shù)在處取得極小值，則（）A. B.C. D.10．已知為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體，是底面圓上的弦，為等邊三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A.26 B.39C.104 D.5212．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的漸近線方程為___________.14．若x，y滿足約束條件，則的最小值為___________.15．設(shè)為曲線上一點(diǎn)，，，若，則__________16．如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐的棱AD，BC的中點(diǎn)，，，，則異面直線AB與EF所成的角為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②是與的等比中項(xiàng)，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題：已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，，且滿足___（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{}前n項(xiàng)和注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數(shù).若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）某工廠修建一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元．設(shè)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；（2）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少?21．（12分）已知橢圓C：，右焦點(diǎn)為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點(diǎn)，求|OT||MN|的取值范圍22．（10分）已知點(diǎn)，橢圓：離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A2、D【解析】先求出的坐標(biāo)，再求出其?！驹斀狻恳?yàn)椋?，所以，故，故選：D.3、A【解析】根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、充分性、必要性的定義進(jìn)行求解判斷即可.詳解】當(dāng)時(shí)，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A4、C【解析】對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為，即，∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù)，又由，可得，故選：C.5、C【解析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)的圖象上，即可得到遞推關(guān)系式，通過構(gòu)造等差數(shù)列求得的通項(xiàng)公式，得出，最后利用裂項(xiàng)相消，求出數(shù)列前項(xiàng)和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數(shù)列且，，則，，則，即，故答案選：.6、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，，解得或（舍去），故選：B7、B【解析】作出散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖得出回歸直線中的的符號(hào)【詳解】作出散點(diǎn)圖如圖所示．由圖可知，回歸直線＝x＋的斜率＜0，當(dāng)x＝0時(shí)，＝＞0.故選B【點(diǎn)睛】本題考查了散點(diǎn)圖的概念，擬合線性回歸直線第一步畫散點(diǎn)圖，再由數(shù)據(jù)計(jì)算的值8、A【解析】根據(jù)充分不必要條件的定義和圓心到軸的距離求出可得答案.【詳解】時(shí)，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，此時(shí)圓與軸相切；當(dāng)圓與軸相切時(shí)，因?yàn)閳A的半徑為2，所以圓心到軸的距離為，所以，“”是“圓與軸相切”的充分不必要條件故選：A9、A【解析】由導(dǎo)數(shù)與極值與最值的關(guān)系，列式求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由條件可知，，，解得：，，檢驗(yàn)，時(shí)，當(dāng)，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，當(dāng)，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，滿足條件.所以.故選：A10、B【解析】設(shè)，過點(diǎn)作的平行線，與平行的半徑交于點(diǎn)，找出異面直線與所成角，然后通過解三角形可得出所求角的余弦值.【詳解】設(shè)，過點(diǎn)作的平行線，與平行的半徑交于點(diǎn)，則，，所以為異面直線與所成的角，在三角形中，，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計(jì)算，一般通過平移直線的方法找到異面直線所成的角，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件可得的值，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項(xiàng)之和為，故選：A12、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后求解【詳解】，化簡(jiǎn)得，其漸近線方程故答案為：14、##【解析】作出可行域，進(jìn)而根據(jù)z的幾何意義求得答案.【詳解】如圖，作出可行域，由z的幾何意義可知當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)取得最小值.聯(lián)立，則最小值為.故答案為：.15、4【解析】化簡(jiǎn)曲線方程，得到雙曲線的一支，結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果【詳解】由，得，即，故為雙曲線右支上一點(diǎn)，且分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義，解題時(shí)要先化簡(jiǎn)曲線方程，然后再結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)16、【解析】取的中點(diǎn)，連結(jié)，由分別為的中點(diǎn)，可得(或其補(bǔ)角)為異面直線AB與EF所成的角，在求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連結(jié)由分別為的中點(diǎn)，則所以(或其補(bǔ)角)為異面直線AB與EF所成的角由分別是的中點(diǎn),則，又在中,，則所以,又，所以在直角中，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)選①，可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出，由，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為選②是與的等比中項(xiàng)，可得，由，可得，從而利用累乘法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為選③，由，可得，則數(shù)列為等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式(2)由(1)知，求出，利用錯(cuò)位相減求和法求出小問1詳解】選①.因?yàn)?，，所以是首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列則，從而當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，也符合上式．所以選②.因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合上式，所以選③.由題設(shè)，得，兩式相減，得，整理，得，因?yàn)椋?，所以是首?xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以，則兩式相減，得，所以18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個(gè)法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標(biāo)以及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因?yàn)槊婷?，面面，，面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，可得，令，則，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槊妫云矫?【小問2詳解】，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，令，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.19、.【解析】求得，根據(jù)其在上有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，令，由題意可知在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).又，若，則，故在上為增函數(shù)，這與在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)矛盾，故.當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)不同零點(diǎn)，故，即，即，取，，故在有一個(gè)零點(diǎn)，取，，令，，則，故在為減函數(shù)，因?yàn)?，故，故，故在有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，涉及零點(diǎn)存在定理，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬綜合困難題.20、（1)1600,（平方米）；（2）池底設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)40米的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低造價(jià)為268800元.【解析】（1）根據(jù)題意，由于修建一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時(shí)池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元設(shè)池底長(zhǎng)方形長(zhǎng)為x米，則可知總造價(jià)s=,x=40時(shí)，則.故可知當(dāng)x=40時(shí)，則有可使得總造價(jià)最低,最低造價(jià)是268800元.考點(diǎn)：不等式求解最值點(diǎn)評(píng)：主要是考查了不等式求解最值的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?，易求，當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當(dāng)直線MN斜率為0時(shí)，不妨取直線MN為??=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，，因?yàn)橹本€MN與圓相切，所以，即，又因?yàn)橹本€MN與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)：由，得，則，所以MN中點(diǎn)T坐標(biāo)為，則，，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，∴|O