2023-2024學(xué)年四川省眉山市仁壽縣高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁壽縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題.1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以.故選：B.2.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（）A.32，90 B.32，92 C.30，90 D.30，92〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是10，方差是10，所以的平均數(shù)是，方差是.故選：A.3.圓臺的上底面面積為，下底面面積為，母線長為4，則圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：上、下底面的半徑分別為1和3，所以側(cè)面積為.故選：D．4.已知向量，，若與共線，則（）A. B.4 C. D.或4〖答案〗D〖解析〗由兩向量共線可知，即，解得或.故選：D.5.將函數(shù)的圖象平移后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則進(jìn)行的平移是（）A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為.故選：.6.求值（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?；，所?故選：D.7.如圖，在邊長為3的正三角形中，，，則（）A. B.3 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由題意知，，則，所以.故選：C.8.在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足．則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，整理得，所以，又，則，故，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，所以，即，所以的取值范圍為．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題.9.有下列說法，其中正確的說法為（）A.若，則是等腰三角形B.若，則P是三角形的垂心C.若，則為鈍角三角形D.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得〖答案〗BC〖解析〗對于A，在中，由，得或，則或，則是等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；對于B，由，得，則，同理，，即是三角形的垂心，B正確；對于C，由，得，由正弦定理得，則，為鈍角，為鈍角三角形，C正確；對于D，當(dāng)，時(shí)，顯然有，但此時(shí)不存在，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.D.在上的值域?yàn)椤即鸢浮紸C〖解析〗A選項(xiàng)，設(shè)的最小正周期為，則，故，因?yàn)?，所以，A正確；B選項(xiàng)，由圖象可知，，，將代入〖解析〗式得，故，故，因?yàn)?，所以，故，，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，，故，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，在正方體中，，均為所在棱的中點(diǎn)，是正方體表面上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面B.三棱錐的體積為C.過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為D.若，則點(diǎn)的軌跡長度為〖答案〗BCD〖解析〗選項(xiàng)A，如圖，設(shè)點(diǎn)是棱中點(diǎn)，由均為所在棱的中點(diǎn)，根據(jù)中位線易得，進(jìn)而可得與點(diǎn)共面，所以平面，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，如圖，因?yàn)槊嬖谡襟w前側(cè)面上，所以點(diǎn)到面的距離等于的長，正方形中，則三棱錐的體積為，選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A知過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形，邊長，所以面積為，選項(xiàng)D，由知點(diǎn)軌跡為為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，如圖，由正方體棱長得，交線為三段半徑為的四分之一圓，長度為.故選：BCD.三、填空題.12.已知向量，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，又，所以，解得，，因?yàn)椋栽谏系耐队跋蛄繛?故〖答案〗為：.13.為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動.在了解全校學(xué)生每年平均閱讀了多少本文學(xué)經(jīng)典名著時(shí)，甲同學(xué)抽取了一個(gè)容量為12的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9.84；乙同學(xué)抽取了一個(gè)容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為15.64.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個(gè)容量為20的樣本，則合在一起后的樣本方差為__________.〖答案〗12.4〖解析〗甲同學(xué)抽取的樣本占總樣本的比例為，乙同學(xué)抽取的樣本占總樣本的比例為，總平均數(shù)為，總方差為：.故〖答案〗為：.14.如圖，在邊長為6的正方形中，B，C分別為、的中點(diǎn)，現(xiàn)將，，分別沿，，折起使點(diǎn)，，重合，重合后記為點(diǎn)P，得到三棱錐，則三棱錐的外接球表面積為______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，折疊成的三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，將三棱錐補(bǔ)形成長方體如圖，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，外接球的直徑等于以，，為長、寬、高的長方體的對角線長，，，，所以外接球的表面積.故〖答案〗為：.四、解答題.15.庚子新春，“新冠”病毒肆虐，強(qiáng)調(diào)要“人民至上?生命至上，果斷打響疫情防控的人民戰(zhàn)爭?總體戰(zhàn)?阻擊戰(zhàn)”，教育部也下發(fā)了“停課不停學(xué)，停課不停教”的通知.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學(xué)校開展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）求a；（2）若從成績不高于60分的同學(xué)中，采取樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；（3）以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)（結(jié)果保留1位小數(shù)）.解：（1）由，得.（2）因?yàn)椋ㄈ耍?，（人），所以不高?0分的抽取（人）.（3）平均數(shù)分，因?yàn)樵趦?nèi)共有人，在內(nèi)共有人，所以中位數(shù)位于內(nèi)，則中位數(shù)為分.16.函數(shù).若兩相鄰對稱軸之間的距離為.（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，，求.解：（1），由兩相鄰對稱軸之間的距離為，得周期，即，所以，由，可得，所以單調(diào)增區(qū)間為.（2）由，可得，所以，因?yàn)?，所以，若，則，又，所以，所以，所以，所以.17.如圖，為了測量山頂M和山頂N之間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一鉛垂平面內(nèi)．飛機(jī)從點(diǎn)A到點(diǎn)B路程為a，途中在點(diǎn)A觀測到M，N處的俯角分別為，，在點(diǎn)B觀測到M，N處的俯角分別為，．（1）求的面積（用字母表示）；（2）若，，，，，求M，N之間的距離．解：（1）由題意可知，由正弦定理，得，面積.（2）由（1）知，在中，，，在中，，由余弦定理可得，所以.18.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．，若平面與棱交于點(diǎn)．（1）請補(bǔ)全平面與棱柱的截面，并指出點(diǎn)的位置；（2）求證：平面；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，試判斷三棱錐的體積是否為定值?若是，求出該定值及點(diǎn)到平面的距離；若不是，說明理由．解：（1）如圖，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)，則，又，所以，所以四點(diǎn)共面，故平面與棱柱的截面為．（2）證明：因?yàn)樵谂c中，，所以，又，所以，所以，，且平面，所以平面，即平面.（3）由（2）知平面，又平面，所以，又，所以，又，且平面，所以平面，又，所以到平面的距離等于到平面的距離，所以，所以三棱錐的體積為定值．中，，所以，由，可得，所以點(diǎn)到平面的距離為．19.在中，對應(yīng)的邊分別為.（1）求A；（2）奧古斯丁·路易斯·柯西，法國著名數(shù)學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.已知三維柯西不等式：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.在（1）的條件下，若a＝3.（?。┣螅旱淖钚≈?；（ⅱ）若P是內(nèi)一點(diǎn)，過P作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，設(shè)的面積為S，求的最小值.解：（1）在中，，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，所以，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故，又，所?（2）（i）根據(jù)柯西不等式：，（當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)取等號），即：的最小值為108.（ii）.又，，由三維柯西不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以，由余弦定理，得，所以，即，則，令，則.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，則，令，令，則，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)即時(shí)，有最大值，此時(shí)有最小值（此時(shí)與可以同時(shí)取到）.四川省眉山市仁壽縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題.1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以.故選：B.2.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（）A.32，90 B.32，92 C.30，90 D.30，92〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是10，方差是10，所以的平均數(shù)是，方差是.故選：A.3.圓臺的上底面面積為，下底面面積為，母線長為4，則圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：上、下底面的半徑分別為1和3，所以側(cè)面積為.故選：D．4.已知向量，，若與共線，則（）A. B.4 C. D.或4〖答案〗D〖解析〗由兩向量共線可知，即，解得或.故選：D.5.將函數(shù)的圖象平移后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則進(jìn)行的平移是（）A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為.故選：.6.求值（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?；；，所?故選：D.7.如圖，在邊長為3的正三角形中，，，則（）A. B.3 C. D.2〖答案〗C〖解析〗由題意知，，則，所以.故選：C.8.在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足．則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，整理得，所以，又，則，故，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，所以，即，所以的取值范圍為．故選：B.二、多項(xiàng)選擇題.9.有下列說法，其中正確的說法為（）A.若，則是等腰三角形B.若，則P是三角形的垂心C.若，則為鈍角三角形D.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得〖答案〗BC〖解析〗對于A，在中，由，得或，則或，則是等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；對于B，由，得，則，同理，，即是三角形的垂心，B正確；對于C，由，得，由正弦定理得，則，為鈍角，為鈍角三角形，C正確；對于D，當(dāng)，時(shí)，顯然有，但此時(shí)不存在，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.D.在上的值域?yàn)椤即鸢浮紸C〖解析〗A選項(xiàng)，設(shè)的最小正周期為，則，故，因?yàn)椋?，A正確；B選項(xiàng)，由圖象可知，，，將代入〖解析〗式得，故，故，因?yàn)?，所以，故，，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，，故，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，在正方體中，，均為所在棱的中點(diǎn)，是正方體表面上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面B.三棱錐的體積為C.過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為D.若，則點(diǎn)的軌跡長度為〖答案〗BCD〖解析〗選項(xiàng)A，如圖，設(shè)點(diǎn)是棱中點(diǎn)，由均為所在棱的中點(diǎn)，根據(jù)中位線易得，進(jìn)而可得與點(diǎn)共面，所以平面，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，如圖，因?yàn)槊嬖谡襟w前側(cè)面上，所以點(diǎn)到面的距離等于的長，正方形中，則三棱錐的體積為，選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A知過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形，邊長，所以面積為，選項(xiàng)D，由知點(diǎn)軌跡為為球心，為半徑的球與正方體表面的交線，如圖，由正方體棱長得，交線為三段半徑為的四分之一圓，長度為.故選：BCD.三、填空題.12.已知向量，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，又，所以，解得，，因?yàn)?，所以在上的投影向量?故〖答案〗為：.13.為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動.在了解全校學(xué)生每年平均閱讀了多少本文學(xué)經(jīng)典名著時(shí)，甲同學(xué)抽取了一個(gè)容量為12的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9.84；乙同學(xué)抽取了一個(gè)容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為15.64.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個(gè)容量為20的樣本，則合在一起后的樣本方差為__________.〖答案〗12.4〖解析〗甲同學(xué)抽取的樣本占總樣本的比例為，乙同學(xué)抽取的樣本占總樣本的比例為，總平均數(shù)為，總方差為：.故〖答案〗為：.14.如圖，在邊長為6的正方形中，B，C分別為、的中點(diǎn)，現(xiàn)將，，分別沿，，折起使點(diǎn)，，重合，重合后記為點(diǎn)P，得到三棱錐，則三棱錐的外接球表面積為______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，折疊成的三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，將三棱錐補(bǔ)形成長方體如圖，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，外接球的直徑等于以，，為長、寬、高的長方體的對角線長，，，，所以外接球的表面積.故〖答案〗為：.四、解答題.15.庚子新春，“新冠”病毒肆虐，強(qiáng)調(diào)要“人民至上?生命至上，果斷打響疫情防控的人民戰(zhàn)爭?總體戰(zhàn)?阻擊戰(zhàn)”，教育部也下發(fā)了“停課不停學(xué)，停課不停教”的通知.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學(xué)校開展組織學(xué)生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）求a；（2）若從成績不高于60分的同學(xué)中，采取樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；（3）以樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)（結(jié)果保留1位小數(shù)）.解：（1）由，得.（2）因?yàn)椋ㄈ耍?，（人），所以不高?0分的抽?。ㄈ耍?（3）平均數(shù)分，因?yàn)樵趦?nèi)共有人，在內(nèi)共有人，所以中位數(shù)位于內(nèi)，則中位數(shù)為分.16.函數(shù).若兩相鄰對稱軸之間的距離為.（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，，求.解：（1），由兩相鄰對稱軸之間的距離為，得周期，即，所以，由，可得，所以單調(diào)增區(qū)間為.（2）由，可得，所以，因?yàn)?，所以，若，則，又，所以，所以，所以，所以.17.如圖，為了測量山頂M和山頂N之間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一鉛垂平面內(nèi)．飛機(jī)從點(diǎn)A到點(diǎn)B路程為a，途中在點(diǎn)A觀測到M，N處的俯角分別為，，在點(diǎn)B觀測到M，N處的俯角分別為，．（1）求的面積（用字母表示）；（2）若，，，，，求M，N之間的距離．解：（1）由題意可知，由正弦定理，得，面積.（2）由（1）知，在中，，，在中，，由余弦定理可得，所以.18.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．，若平面與棱交于