2024屆江蘇省泰州市高三下學(xué)期四模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市2024屆高三下學(xué)期四模數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，即命題“”的否定為“”.故選：B.2.已知為虛數(shù)單位，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.3.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)有意義，等價于，解得，故函數(shù)的定義域為.故選：A.4.已知向量，向量在上的投影向量為，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因向量在上的投影向量為，由題意，，解得.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以，又，所以，所以，綜上，.故選：C.6.已知拋物線的焦點為，點在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則該圓的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于在上，故，即，所以.根據(jù)拋物線的定義，就是點到直線的距離，從而該圓的半徑為.由于圓心到軸的距離為，故該圓被軸截得的弦長為.從而據(jù)已知有，故，解得.所以該圓的半徑為，故面積為.故選：C.7.已知等差數(shù)列的公差大于0且，若，則（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，,解得.故選：B．8.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗因為，由正弦定理得，所以，又因為，所以，所以，即.所以，顯然必為正（否則和都為負，就兩個鈍角），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線和平面，則下列命題中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，，一定有正確．對于B，如圖，在正方體中，平面平面，平面，但平面，B錯誤；對于C，一定有，C正確．對于D，正方體中，平面，平面，但平面與平面不平行，錯誤，故選：．10.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C.為奇函數(shù) D.單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗由題意，在中，A和B項，當(dāng)時，，解得：或，當(dāng)時，則，由于具有任意性，故不成立，∴，A錯誤，B正確；C項，當(dāng)時，，∵，∴為奇函數(shù)，且，C正確；D項，由C項可知，故為增函數(shù)，D正確.故選：BCD.11.已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為．記在處的切線為，平行于OP的直線與交于A，B兩點，則（）A.C的方程B.直線OP與的斜率之積為-1C.直線OP，l與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形D.直線PA，PB與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形〖答案〗ACD〖解析〗橢圓方程為：，故A正確；如圖，因為點在第一象限，取橢圓方程的右半部分得：，則，所以，所以，故B錯誤；，則為等腰三角形，故C正確；，消可得，與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若的展開式中存在常數(shù)項，則的值可以是______（寫出一個值即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一，滿足的即可）〖解析〗二項式展開式的通項為（且），令，則，又且，所以故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，滿足的即可）.13.已知正方體的棱長為3，則以A為球心，為半徑的球面與該正方體表面交線的長度之和為______．〖答案〗〖解析〗正方體的體對角線長為，面對角線長為，因為，以為球心的球與面ABCD，面，面都沒有交點，記球面與上底面交于M，N兩點，則，因為為銳角，所以，同理，所以所以，同理在面和面內(nèi)軌跡長都是，所以，球面與正方體表面交線的長度之和為．14.數(shù)列滿足，，其中為函數(shù)的極值點，則______.〖答案〗〖解析〗為函數(shù)的極值點，，則（*），因則由可得，將（*）代入得，，因在R上遞增，故有則而，兩邊取自然對數(shù)可得，于是，又由，兩邊取自然對數(shù)可得，，故.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個車間有3臺機床，它們各自獨立工作，其中型機床2臺，型機床1臺．型機床每天發(fā)生故障概率為0.1，B型機床每天發(fā)生故障的概率為0.2.（1）記X為每天發(fā)生故障的機床數(shù)，求的分布列及期望；（2）規(guī)定：若某一天有2臺或2臺以上的機床發(fā)生故障，則這一天車間停工進行檢修．求某一天在車間停工的條件下，B型機床發(fā)生故障的概率．解：（1）X的可能值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：01230.6480.3060.0440.002期望．（2）記事件為“車間停工”，事件為型機床發(fā)生故障”，，，因此，所以某一天在車間停工的條件下，型機床發(fā)生故障的概率為．16.如圖，在直三棱柱中，是棱BC上一點（點D與點不重合），且，過作平面的垂線．（1）證明：；（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求AC與平面所成角的正弦值．（1）證明：在直三棱柱中，平面ABC，因為平面ABC，所以．又平面，所以平面．又因為平面，所以．（2）解：因為，所以當(dāng)三棱錐體積最大時，最大．由（1）可知平面，因為面，所以．又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)最大時，．法1：綜合法如圖，作于，連結(jié)AH.由（1）可知平面，因為面，所以．又平面，所以平面．因此，AC與平面所成的角等于．因為平面平面，所以．在Rt中，，所以，因此,在Rt中，．所以AC與平面所成角的正弦值．法2：向量法在平面內(nèi)，作交于，因為平面ABC，所以平面ABC．分別以DC，DA，DE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則．設(shè)平面的法向量為，易得，可?。颍瑒t，所以AC與平面所成角的正弦值等于．17.函數(shù)的圖象在處的切線為.（1）求的值；（2）求在上零點的個數(shù).解：（1）因為，所以，所以切線斜率為，即，所切線方程為又，所以切點坐標(biāo)為，代入得，解得.（1）由（1）得，令，則，當(dāng)時，恒成立，所以在上遞增，所以，因此在無零點；當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，所以在上存在唯一零點，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；又，，因此在上僅有1個零點；綜上，在上僅有1個零點.18.已知雙曲線的左、右頂點分別為，右焦點為，滿足，且到的漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）已知P，Q是軸上異于原點的兩點，滿足，直線分別交于點，直線的交點為．①直線是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標(biāo)；如果不過定點，請說明理由；②記和的面積分別為．若，求直線MN方程.解：（1）由條件得，即；漸近線方程為，則，又，所以．所以的方程為．（2）①設(shè)．聯(lián)立得，所以，且，法1：由條件易得，即，又，所以，因此，即，整理得，所以，整理得，解得或2．當(dāng)時，直線MN過點，與題意不符，所以，因此直線過定點．法2：設(shè)，則，所以，由求得；由求得所以，則MN方程：，整理得：即，所以直線MN經(jīng)過點．②由①得．聯(lián)立與，解得于是解得或1，所以直線的方程為或．19.已知數(shù)列的前項和為，若存在常數(shù)，使得對任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；（2）設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，則，于是，即，所以數(shù)列具有性質(zhì)．（2）解：①由數(shù)列具有性質(zhì)，得，又等比數(shù)列的公比為，若，則，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；當(dāng)時，，而，整理得，若，則，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；若，則，當(dāng)時，恒成立，滿足題意；當(dāng)且時，，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；所以.②由，得，即，因此，即，則有，由數(shù)列各項均為正數(shù)，得，從而，即，若，則，與為任意正整數(shù)相矛盾，因此當(dāng)時，恒成立，符合題意，所以的最小值為4．江蘇省泰州市2024屆高三下學(xué)期四模數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，即命題“”的否定為“”.故選：B.2.已知為虛數(shù)單位，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.3.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)有意義，等價于，解得，故函數(shù)的定義域為.故選：A.4.已知向量，向量在上的投影向量為，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，因向量在上的投影向量為，由題意，，解得.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以，又，所以，所以，綜上，.故選：C.6.已知拋物線的焦點為，點在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則該圓的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于在上，故，即，所以.根據(jù)拋物線的定義，就是點到直線的距離，從而該圓的半徑為.由于圓心到軸的距離為，故該圓被軸截得的弦長為.從而據(jù)已知有，故，解得.所以該圓的半徑為，故面積為.故選：C.7.已知等差數(shù)列的公差大于0且，若，則（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，,解得.故選：B．8.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗因為，由正弦定理得，所以，又因為，所以，所以，即.所以，顯然必為正（否則和都為負，就兩個鈍角），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線和平面，則下列命題中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，，一定有正確．對于B，如圖，在正方體中，平面平面，平面，但平面，B錯誤；對于C，一定有，C正確．對于D，正方體中，平面，平面，但平面與平面不平行，錯誤，故選：．10.定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C.為奇函數(shù) D.單調(diào)遞增〖答案〗BCD〖解析〗由題意，在中，A和B項，當(dāng)時，，解得：或，當(dāng)時，則，由于具有任意性，故不成立，∴，A錯誤，B正確；C項，當(dāng)時，，∵，∴為奇函數(shù)，且，C正確；D項，由C項可知，故為增函數(shù)，D正確.故選：BCD.11.已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為．記在處的切線為，平行于OP的直線與交于A，B兩點，則（）A.C的方程B.直線OP與的斜率之積為-1C.直線OP，l與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形D.直線PA，PB與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形〖答案〗ACD〖解析〗橢圓方程為：，故A正確；如圖，因為點在第一象限，取橢圓方程的右半部分得：，則，所以，所以，故B錯誤；，則為等腰三角形，故C正確；，消可得，與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若的展開式中存在常數(shù)項，則的值可以是______（寫出一個值即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一，滿足的即可）〖解析〗二項式展開式的通項為（且），令，則，又且，所以故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，滿足的即可）.13.已知正方體的棱長為3，則以A為球心，為半徑的球面與該正方體表面交線的長度之和為______．〖答案〗〖解析〗正方體的體對角線長為，面對角線長為，因為，以為球心的球與面ABCD，面，面都沒有交點，記球面與上底面交于M，N兩點，則，因為為銳角，所以，同理，所以所以，同理在面和面內(nèi)軌跡長都是，所以，球面與正方體表面交線的長度之和為．14.數(shù)列滿足，，其中為函數(shù)的極值點，則______.〖答案〗〖解析〗為函數(shù)的極值點，，則（*），因則由可得，將（*）代入得，，因在R上遞增，故有則而，兩邊取自然對數(shù)可得，于是，又由，兩邊取自然對數(shù)可得，，故.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個車間有3臺機床，它們各自獨立工作，其中型機床2臺，型機床1臺．型機床每天發(fā)生故障概率為0.1，B型機床每天發(fā)生故障的概率為0.2.（1）記X為每天發(fā)生故障的機床數(shù)，求的分布列及期望；（2）規(guī)定：若某一天有2臺或2臺以上的機床發(fā)生故障，則這一天車間停工進行檢修．求某一天在車間停工的條件下，B型機床發(fā)生故障的概率．解：（1）X的可能值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：01230.6480.3060.0440.002期望．（2）記事件為“車間停工”，事件為型機床發(fā)生故障”，，，因此，所以某一天在車間停工的條件下，型機床發(fā)生故障的概率為．16.如圖，在直三棱柱中，是棱BC上一點（點D與點不重合），且，過作平面的垂線．（1）證明：；（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求AC與平面所成角的正弦值．（1）證明：在直三棱柱中，平面ABC，因為平面ABC，所以．又平面，所以平面．又因為平面，所以．（2）解：因為，所以當(dāng)三棱錐體積最大時，最大．由（1）可知平面，因為面，所以．又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)最大時，．法1：綜合法如圖，作于，連結(jié)AH.由（1）可知平面，因為面，所以．又平面，所以平面．因此，AC與平面所成的角等于．因為平面平面，所以．在Rt中，，所以，因此,在Rt中，．所以AC與平面所成角的正弦值．法2：向量法在平面內(nèi)，作交于，因為平面ABC，所以平面ABC．分別以DC，DA，DE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則．設(shè)平面的法向量為，易得，可?。颍瑒t，所以AC與平面所成角的正弦值等于．17.函數(shù)的圖象在處的切線為.（1）求的值；（2）求在上零點的個數(shù).解：（1）因為，所以，所以切線斜率為，即，所切線方程為又，所以切點坐標(biāo)為，代入得，解得.（1）由（1）得，令，則，當(dāng)時，恒成立，所以在上遞增，所以，因此在無零點；當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，所以在上存在唯一零點，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；又，，因此在上