考點(diǎn)學(xué)練測(cè)：4.2 力的分解（解析版）

學(xué)而優(yōu)教有方.2力的分解考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：分力力的分解1.力的分解原則（1）一個(gè)力分解為兩個(gè)力，從理論上講有無數(shù)組解．因?yàn)橥粭l對(duì)角線可以構(gòu)成的平行四邊形有無窮多個(gè)(如圖所示)．（2）把一個(gè)力分解成兩個(gè)分力，僅是一種等效替代關(guān)系，不能認(rèn)為在這兩個(gè)分力方向有兩個(gè)施力物體(或受力物體)．（3）也不能錯(cuò)誤地認(rèn)為F2就是物體對(duì)斜面的壓力，因?yàn)镕2不是斜面受到的力，且性質(zhì)與壓力不同，僅在數(shù)值上等于物體對(duì)斜面的壓力．（4）實(shí)際分解時(shí)，按力的作用效果可分解為兩個(gè)確定的分力．2．按實(shí)際效果分解的幾個(gè)實(shí)例實(shí)例分析（1）拉力F的效果：①使物體具有沿水平地面前進(jìn)(或有前進(jìn)的趨勢(shì))的分力F1②豎直向上提物體的分力F2（2）分力大?。篎1＝Fcosα，F(xiàn)2＝Fsinα（1）重力的兩個(gè)效果：①使物體具有沿斜面下滑(或有下滑的趨勢(shì))的分力F1②使物體壓緊斜面的分力F2（2）2分力大小：F1＝mgsinα，F(xiàn)2＝mgcosα（1）重力的兩個(gè)效果：①使球壓緊板的分力F1②使球壓緊斜面的分力F2（2）分力大小：F1＝mgtanα，F(xiàn)2＝eq\f(mg,cosα)（1）重力的兩個(gè)效果：①使球壓緊豎直墻壁的分力F1②使球拉緊懸線的分力F2（2）分力大小：F1＝mgtanα，F(xiàn)2＝eq\f(mg,cosα)（1）重力的兩個(gè)效果：①對(duì)OA的拉力F1②對(duì)OB的拉力F2（2）分力大?。篎1＝mgtanα，F(xiàn)2＝eq\f(mg,cosα)（1）重力的兩個(gè)效果：①拉伸AB的分力F1②壓縮BC的分力F2（2）分力大?。篎1＝mgtanα，F(xiàn)2＝eq\f(mg,cosα)【例1】將一個(gè)有確定方向的力F＝10N分解成兩個(gè)分力，已知一個(gè)分力F1有確定的方向，與F成30°夾角，另一個(gè)分力F2的大小為6N，則在分解時(shí)()A．有無數(shù)組解 B．有兩組解C．有唯一解 D．無解【解析】B由已知條件可得Fsin30°＝5N，又5N＜F2＜10N，即Fsin30°＜F2＜F，所以F1、F2和F可構(gòu)成如圖所示的兩個(gè)三角形，故此時(shí)有兩組解，選項(xiàng)B正確．【例2】如圖所示，光滑斜面的傾角為θ，有兩個(gè)相同的小球分別用光滑擋板A、B擋住，擋板A沿豎直方向，擋板B垂直于斜面，則兩擋板受到小球的壓力大小之比為多大？斜面受到兩小球的壓力大小之比為多大？【解析】對(duì)小球1所受的重力來說，其效果有二：第一，使小球沿水平方向擠壓擋板；第二，使小球垂直壓緊斜面．因此，力的分解如圖甲所示，由此可得兩個(gè)分力的大小分別為F1＝Gtanθ，F(xiàn)2＝eq\f(G,cosθ).對(duì)小球2所受的重力G來說，其效果有二：第一，使小球垂直擠壓擋板；第二，使小球垂直壓緊斜面．因此，力的分解如圖乙所示，由此可得兩個(gè)分力的大小分別為F3＝Gsinθ，F(xiàn)4＝Gcosθ.由力的相互性可知，擋板A、B受到小球的壓力之比為F1∶F3＝1∶cosθ，斜面受到兩小球的壓力之比為F2∶F4＝1∶cos2θ.甲乙【技巧與方法】力的分解的原理與步驟原理：若兩個(gè)力共同作用的效果與某一個(gè)力作用時(shí)的效果完全相同，則可用這兩個(gè)力“替代”這一個(gè)力．步驟①根據(jù)已知力的實(shí)際效果確定兩個(gè)分力的方向．②根據(jù)兩個(gè)分力的方向作出力的平行四邊形，確定表示分力的有向線段．③利用數(shù)學(xué)知識(shí)解平行四邊形或三角形，計(jì)算分力的大小和方向．【針對(duì)訓(xùn)練】1.(多選)一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的易斷的均勻細(xì)繩，兩端固定在天花板上的A、B兩點(diǎn)．若在細(xì)繩的C處懸掛一重物，已知AC＞CB，如圖所示，則下列說法中正確的是()A．增加重物的重力，BC段先斷B．增加重物的重力，AC段先斷C．將A端往左移比往右移時(shí)繩子容易斷D．將A端往右移比往左移時(shí)繩子容易斷【解析】AC研究C點(diǎn)，C點(diǎn)受重物的拉力，其大小等于重物的重力，即T＝G.將重物對(duì)C點(diǎn)的拉力分解為對(duì)AC和BC兩段繩的拉力，其力的平行四邊形如圖所示．因?yàn)锳C＞CB，得FBC＞FAC.當(dāng)增加重物的重力G時(shí)，按比例FBC增大得較多，所以BC段繩先斷，因此A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤．將A端往左移時(shí)，F(xiàn)BC與FAC兩力夾角變大，合力T一定，則兩分力FBC與FAC都增大．將A端向右移時(shí)兩分力夾角變小，兩分力也變小，由此可知C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A、C.2．甲、乙兩人用繩子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1000N的力拉繩子，方向如圖所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力最小值為()A．500eq\r(3)N B．500NC．1000N D．400N【解析】B要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必須沿OO′方向．如圖所示，作平行四邊形可知，當(dāng)乙拉船的力的方向垂直于OO′時(shí)，乙的拉力F乙最小，其最小值為F乙min＝F甲sin30°＝1000×eq\f(1,2)N＝500N，故B正確．考點(diǎn)2：力的正交分解1．正交分解的適用情況：適用于計(jì)算三個(gè)或三個(gè)以上共點(diǎn)力的合成．2．正交分解的目的：將力的合成化簡(jiǎn)為同向、反向或垂直方向的分力，便于運(yùn)用普通代數(shù)運(yùn)算公式解決矢量的運(yùn)算，“分”的目的是為了更好地“合”．3．力的正交分解的依據(jù)：分力與合力的等效性．4．正交分解的基本步驟（1）建立坐標(biāo)系：以共點(diǎn)力的作用點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直角坐標(biāo)系x軸和y軸的選擇應(yīng)使盡量多的力落在坐標(biāo)軸上．（2）正交分解各力：將每一個(gè)不在坐標(biāo)軸上的力分解到x軸和y軸上，并求出各分力的大小，如圖所示．（3）分別求出x軸、y軸上各分力的合力，即：Fx＝F1x＋F2x＋…Fy＝F1y＋F2y＋…（4）求共點(diǎn)力的合力：合力大小F＝eq\r(F\o\al(2,x)＋F\o\al(2,y))，合力的方向與x軸的夾角為α，則tanα＝eq\f(Fy,Fx)，即α＝arctaneq\f(Fy,Fx).【例3】在同一平面內(nèi)共點(diǎn)的四個(gè)力F1、F2、F3、F4的大小依次為19N、40N、30N和15N，方向如圖所示，求它們的合力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)【例3】在同一平面內(nèi)共點(diǎn)的四個(gè)力F1、F2、F3、F4的大小依次為19N、40N、30N和15N，方向如圖所示，求它們的合力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)【分析】當(dāng)物體受多個(gè)力作用時(shí)，一般采用正交分解法求解，可按以下思路：eq\x(建立坐標(biāo)系)→eq\x(分解各力)→eq\x(求Fx、Fy)→eq\x(求F合)【解析】如圖甲，建立直角坐標(biāo)系，把各個(gè)力分解到這兩個(gè)坐標(biāo)軸上，并求出x軸和y軸上的合力Fx和Fy，有甲Fx＝F1＋F2cos37°－F3cos37°＝27N，F(xiàn)y＝F2sin37°＋F3sin37°－F4＝27N.因此，如圖乙所示，合力：乙F＝eq\r(F\o\al(2,x)＋F\o\al(2,y))≈38.2N，tanφ＝eq\f(Fy,Fx)＝1.即合力的大小約為38.2N，方向與F1夾角為45°斜向右上．【答案】38.2N，方向與F1夾角為45°斜向右上【技巧與方法】正交分解時(shí)坐標(biāo)系的選取原則與方法（1）原則：用正交分解法建立坐標(biāo)系時(shí)，通常以共點(diǎn)力作用線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并盡量使較多的力落在坐標(biāo)軸上，以少分解力為原則．（2）方法：應(yīng)用正交分解法時(shí)，常按以下方法建立坐標(biāo)軸．①研究水平面上的物體時(shí)，通常沿水平方向和豎直方向建立坐標(biāo)軸．②研究斜面上的物體時(shí)，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐標(biāo)軸．③研究物體在桿或繩的作用下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通常沿桿(或繩)方向和垂直桿(或繩)的方向建立坐標(biāo)軸．【針對(duì)訓(xùn)練】3．如圖所示，一物塊置于水平地面上，當(dāng)用與水平方向成60°角的力F1拉物塊時(shí)，物塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)；當(dāng)改用與水平方向成30°角的力F2推物塊時(shí)，物塊仍做勻速直線運(yùn)動(dòng)．若F1和F2的大小相等，則物塊與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為()A.eq\r(3)－1 B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2) D．1－eq\f(\r(3),2)【解析】B將兩種情況下的力沿水平方向和豎直方向正交分解，因?yàn)閮煞N情況下物塊均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故有F1cos60°＝μ(mg－F1sin60°)，F(xiàn)2cos30°＝μ(mg＋F2sin30°)，再由F1＝F2，解得μ＝2－eq\r(3)，故B正確．4．大小均為F的三個(gè)力共同作用在O點(diǎn)，如圖所示，F(xiàn)1、F3與F2之間的夾角均為60°，求它們的合力．【解析】以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)、F1的方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系．分別把各個(gè)力分解到兩個(gè)坐標(biāo)軸上，如圖所示．F1x＝F1，F(xiàn)1y＝0，F(xiàn)2x＝F2cos60°，F(xiàn)2y＝F2sin60°，F(xiàn)3x＝－F3cos60°，F(xiàn)3y＝F3sin60°，x軸和y軸上的合力分別為Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝F1＋F2cos60°－F3cos60°＝F，F(xiàn)y＝F1y＋F2y＋F3y＝0＋F2sin60°＋F3sin60°＝eq\r(3)F，求出Fx和Fy的合力即是所求的三個(gè)力的合力，如圖所示．F合＝eq\r(F\o\al(2,x)＋F\o\al(2,y))，代入數(shù)據(jù)得F合＝2F，tanθ＝eq\f(Fy,Fx)＝eq\r(3)，所以θ＝60°，即合力F合與F2的方向相同．【答案】2F，與F2的方向相同考點(diǎn)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．關(guān)于共點(diǎn)力，下列說法中不正確的是()A．作用在一個(gè)物體上的兩個(gè)力，如果大小相等，方向相反，這兩個(gè)力是共點(diǎn)力B．作用在一個(gè)物體上的兩個(gè)力，如果是一對(duì)平衡力，則這兩個(gè)力是共點(diǎn)力C．作用在一個(gè)物體上的幾個(gè)力，如果它們的作用點(diǎn)在同一點(diǎn)上，則這幾個(gè)力是共點(diǎn)力D．作用在一個(gè)物體上的幾個(gè)力，如果它們的作用線交于同一點(diǎn)，則這幾個(gè)力是共點(diǎn)力【解析】A共點(diǎn)力是幾個(gè)力作用于同一點(diǎn)或力的作用線相交于同一點(diǎn)的力．若受兩個(gè)力平衡的物體，則物體所受的必定是共點(diǎn)力，所以A錯(cuò)，B、C、D對(duì)．2．如圖所示，F(xiàn)1、F2為兩個(gè)相互垂直的共點(diǎn)力，F(xiàn)是它們的合力，已知F1的大小為6N，F(xiàn)的大小等于10N，若改變F1、F2的夾角，則它們的合力大小還可能是()A．0 B．8NC．16N D．18N【解析】BF1、F2為兩個(gè)相互垂直的共點(diǎn)力，合力F的大小等于10N，所以根據(jù)勾股定理可得，F(xiàn)2＝eq\r(F2－F\o\al(2,1))＝eq\r(102－62)N＝8N，兩力合成時(shí)，合力范圍為：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故2N≤F≤14N，所以還可能是B選項(xiàng)．3．下列圖中，F(xiàn)1、F2、F3恰好構(gòu)成封閉的直角三角形，這三個(gè)力的合力最大的是()ABCD【解析】C由矢量合成法則可知A圖的合力為2F3，B圖的合力為0，C圖的合力為2F2，D圖的合力為2F3，因F2為直角三角形的斜邊，故這三個(gè)力的合力最大的為C圖．4．有三個(gè)力，大小分別為13N、3N、29N．那么這三個(gè)力的合力最大值和最小值應(yīng)該是()A．29N,3N B．45N,0NC．45N,13N D．29N,13N【解析】C當(dāng)三個(gè)力同方向時(shí)，合力最大，為45N；任取其中兩個(gè)力，如取13N、3N兩個(gè)力，其合力范圍為10N≤F≤16N，29N不在該范圍之內(nèi)，故合力不能為零，當(dāng)13N、3N的兩個(gè)力同向，與29N的力反向時(shí)，合力最小，最小值為13N，則C正確，A、B、D錯(cuò)誤．5.如圖所示的水平面上，橡皮繩一端固定，另一端連接兩根彈簧，F(xiàn)1、F2和F3三個(gè)力的合力為零．下列判斷正確的是()A．F1>F2>F3B．F3>F1>F2C．F2>F3>F1D．F3>F2>F1【解析】B三個(gè)力的合力為零，即F1、F2的合力F3′與F3等大反向，三力構(gòu)成的平行四邊形如圖所示，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知F3>F1>F2，B正確．6．如圖所示為兩個(gè)共點(diǎn)力的合力F的大小隨兩分力的夾角θ變化的圖像，則這兩個(gè)分力的大小分別為()A．1N和4N B．2N和3NC．1N和5N D．2N和4N【解析】B由題圖知，兩力方向相同時(shí)，合力為5N．即F1＋F2＝5N；方向相反時(shí)，合力為1N，即|F1－F2|＝1N．故F1＝3N，F(xiàn)2＝2N，或F1＝2N，F(xiàn)2＝3N，B正確．二、非選擇題7.如圖所示，有五個(gè)力作用于同一點(diǎn)O，表示這五個(gè)力的有向線段恰分別構(gòu)成一個(gè)正六邊形的兩鄰邊和三條對(duì)角線．已知F1＝10N，則這五個(gè)力的合力大小為多少？【解析】方法一：巧用對(duì)角線特性．如圖甲所示，根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)及平行四邊形定則知：F2與F5的合力恰好與F1重合；F3與F4的合力也恰好與F1重合；故五個(gè)力的合力大小為3F1＝30N.甲乙方法二：利用對(duì)稱法．如圖乙所示，由于對(duì)稱性，F(xiàn)2和F3的夾角為120°，它們的大小相等，合力在其夾角的平分線上，故力F2和F3的合力F23＝2F2cos60°＝2(F1cos60°)cos60°＝eq\f(F1,2)＝5N．同理，F(xiàn)4和F5的合力也在其角平分線上，由圖中幾何關(guān)系可知：F45＝2F4cos30°＝2(F1cos30°)cos30°＝eq\f(3,2)F1＝15N．故這五個(gè)力的合力F＝F1＋F23＋F45＝30N.鞏固提升一、選擇題1．某物體所受n個(gè)共點(diǎn)力的合力為零，若把其中一個(gè)力F1的方向沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過90°，并保持其大小不變，其余力保持不變，則此時(shí)物體所受的合力大小為()A．F1 B.eq\r(2)F1C．2F1 D．0【解析】B物體所受n個(gè)力的合力為零，則其中n－1個(gè)力的合力一定與剩下來的那個(gè)力等大反向，故除F1以外的其他各力的合力的大小也為F1，且與F1反向，故當(dāng)F1轉(zhuǎn)過90°時(shí)，合力應(yīng)為eq\r(2)F1，B正確．2．一根細(xì)繩能承受的最大拉力是G，現(xiàn)把一重為G的物體系在繩的中點(diǎn)，分別握住繩的兩端，先并攏，然后緩慢地左右對(duì)稱地分開，若要求繩不斷，則兩繩間的夾角不能超過()A．45° B．60°C．120° D．135°【解析】C由于細(xì)繩是對(duì)稱分開的，因而兩繩的拉力相等，為保證繩不斷，兩繩拉力的合力大小等于G，隨著兩繩夾角的增大，兩繩中的拉力增大，當(dāng)兩繩的夾角為120°時(shí)，繩中拉力剛好等于G.故C正確，A、B、D錯(cuò)誤．3．如圖所示，物體M在斜向右下方的推力F作用下，在水平地面上恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，則推力F和物體M受到的摩擦力的合力方向()A．豎直向下 B．豎直向上C．斜向下偏左 D．斜向下偏右【解析】A物體M受四個(gè)力作用(如圖所示)，支持力FN和重力G的合力一定在豎直方向上，由平衡條件知，摩擦力Ff和推力F的合力與支持力FN和重力G的合力必定等大反向，故Ff與F的合力方向豎直向下．4．手握輕桿，桿的另一端安裝有一個(gè)輕質(zhì)小滑輪C，支撐著懸掛重物的繩子，如圖所示，現(xiàn)保持滑輪C的位置不變，使桿向下轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，則桿對(duì)滑輪C的作用力將()A．變大 B．不變C．變小 D．無法確定【解析】B物體的重力不